8. Квантовая механика I - Ричард Фейнман

* Перестановка dS1 и dS2 в (2.11) приводит к другому событию, так что оба элемента поверхности обязаны пройтись по всей площади счет­чика. В (2.13) мы рассматриваем dS1 и dS2 как пару и включаем все, что может случиться. Если интегралы опять включают все, что случится, когда dS1 и dS2 поменяются местами, то все считается дважды.

Глава 3

СПИН ЕДИНИЦА

§ 1.Фильтровка ато­мов при помощи прибора Штерна — Герлаха

§ 2.Опыты с про­фильтрованными атомами

§ 3. Последовательно соединенные фильтры Штер­на — Герлаха

§ 4. Базисные состоя­ния

§ 5. Интерферирую­щие амплитуды

§ 6. Механика кван­товой механики

§ 7. Преобразование к другому базису

§ 8. Другие случаи

Повторить: гл. 35 (вып. 7) «Пара­магнетизм и маг­нитный резонанс»

§ 1. Фильтровка атомов при помощи прибора Штерна — Герлаха

В этой главе мы начнем изучать квантовую механику по-настоящему — в том смысле, что мы собираемся теперь описывать квантовомеханическое явление полностью с квантовомеханической точки зрения. Мы не будем искать объяснений в классической механике или пы­таться установить с ней связь. Мы хотим гово­рить на новом языке о чем-то новом. Частный случай, с которого мы начнем, это поведение квантованного момента количества движения для частицы со спином 1. Но мы не хотим упот­реблять такие слова, как «момент количества движения» или другие понятия классической механики, мы несколько отложим их обсужде­ние. Мы избрали этот частный случай лишь потому, что он достаточно прост, хотя и не самый простой из всех. Он достаточно сложен для то­го, чтобы служить образцом, который можно будет обобщить для описания всех квантовомеханических явлений. Стало быть, хотя мы будем иметь дело лишь с частным примером, все законы, которые мы упомянем, могут быть немедленно обобщены; мы так и сделаем, чтобы вам стали ясны общие черты квантовомеханического описания.

Начнем с явления расщепления пучка ато­мов на три отдельных пучка в опыте Штерна — Герлаха. Вы помните, что если имеется неод­нородное магнитное поле, созданное магнитом с острым полюсным наконечником, и если через прибор пропустить пучок частиц, то этот пучок может расщепиться на несколько пучков; их количество зависит от сорта атома и его состояния. Мы разберем случай, когда атом расщепляется на три пучка; такую частицу мы будем называть частицей со спином 1. Вы сможете потом сами разобрать случай пяти пучков, семи пучков, двух и т. д. Вам придется попросту все скопировать, но там, где у нас были три члена, у вас окажется пять, семь, два и т. д. Представьте себе прибор, схематически начерченный на фиг. 3.1.

Фиг. 3.1. В опыте Штерна—Герлаха атомы со спином 1 расщеп­ляются на три пучка.

Пучок атомов (или любых частиц) коллимирован (ограни­чен) какими-то прорезями и проходит сквозь неоднородное поле. Пусть пучок движется по оси y, а магнитное поле и его градиент направлены по оси z. Тогда, глядя со стороны, мы увидим, как пучок расщепляется по вертикали на три пучка. На выходном конце магнит можно поставить Небольшие счетчики, подсчи­тывающие скорость появления частиц в том или ином из трех пучков. Или можно перекрыть два пучка и пропускать только третий.

Предположим, что мы перекрыли два нижних пучка, а са­мый верхний пропустили, введя его во второй прибор Штерна — Герлаха такого же типа (фиг. 3.2).

Фиг. 3.2. Атомы одного из пучков посланы в другой такой же прибор.

Что произойдет? Во втором приборе уже не будет трех пучков; там останется только верх­ний пучок (мы предполагаем, что угол отклонения очень мал). Если считать второй прибор простым продолжением первого, то те атомы, которые в первый раз отклонялись вверх, продолжают отклоняться вверх и вторым магнитом.

Вы видите, что первый прибор создал пучок «очищенных» объектов — атомов, которые отклонились вверх в некотором неоднородном поле. Те атомы, которые входят в первоначаль­ный прибор Штерна — Герлаха, суть атомы трех «разновидно­стей», или три copтa выбирают разные траектории. Отфильтро­вывая одну-единственную разновидность, можно создать такой пучок, будущее поведение которого в приборе того же типа вполне определено и предсказуемо. Такой пучок мы назовем отфильтрованным, или поляризованным, в этом пучке все ато­мы находятся в определенном состоянии.

В дальнейшем будет удобнее рассматривать слегка видоизме­ненный прибор Штерна — Герлаха. На первый взгляд он вы­глядит сложнее, но на самом деле упрощает все рассуждения. Впрочем, раз мы будем делать только «мысленные эксперимен­ты», усложнение оборудования не будет стоить нам ни гроша, (Заметим, кстати, что никто никогда всех этих экспериментов точно таким образом не ставил, а мы тем не менее знаем, что в них произойдет. Мы это знаем из законов квантовой механики, которые, конечно, основаны на других сходных экспериментах. Эти другие эксперименты вначале труднее понять, и мы пред­почитаем описывать какие-то идеализированные, но мыслимые эксперименты.)

На фиг. 3.3, «изображен чертеж «усовершенствованного при­бора Штерна — Герлаха», которым мы и будем пользоваться.

Фиг. 3.3. Воображаемое видоизменение прибора Штерна — Герлаха (а) и пути атомов со спином 1 (б)

Он состоит из последовательности трех магнитов с сильным градиентом ноля. Первый (левый) — это обычный магнит Штерна — Герлаха. Он разделяет падающий пучок частиц со спином 1 на три отдельных пучка. Второй магнит имеет то же сечение, что и первый, но он вдвое длиннее и полярность его магнитного поля противоположна полю в первом магните. Второй магнит отталкивает атомные магнитики в обратную сторону и искривляет их пути снова к оси, как показано на траекториях, начерченных на фиг. 3.3, б. Третий магнит в точ­ности похож на первый; он сводит три пучка снова в одно место и выпускает их через выходное отверстие вдоль оси. Наконец, надо представить себе, что перед отверстием в А имеется какой-то механизм, который разгоняет атомы из состояния покоя, а после выходного отверстия в В имеется замедляющий меха­низм, который опять приводит атомы в В в состояние покоя. Это несущественно, но это все же будет означать, что в нашем анализе нам не придется заботиться об учете каких-либо эффектов движения, когда атомы выходят, и можно будет сосредоточиться на тех вопросах, которые связаны только со спином.

Все назначение «усовершенствованного» прибора в том и состоит, чтобы свести все частицы в одно и то же место, где они имели бы нулевую скорость.

Если мы хотим теперь провести опыт наподобие показанного на фиг. 3.2, то для начала нужно будет получить отфильтрован­ный пучок, вставив внутрь прибора пластинку, которая заго­родит два пучка (фиг. 3.4).

Фиг. 3.4. «Усовершенствованный» прибор Штерна—Герлаха в качестве фильтра.

Если теперь пропустить полученные поляризованные атомы через второй такой же прибор, то все атомы изберут верхний путь; в этом можно убедиться, поставив такие же пластинки на пути различных пучков во втором фильт­ре и наблюдая, пройдут ли частицы насквозь.

Обозначим первый прибор буквой S. (Мы собираемся рас­сматривать всевозможные сочетания приборов, и, чтобы не пу­таться, мы дадим каждому свое имя.) Об атомах, которые избра­ли в S верхний путь, мы скажем, что они находятся в «плюс-состоянии по отношению к S»; о тех, которые пошли по среднему пути,— что они «в нуль-состоянии по отношению к S», и о тех, которые выбрали нижний путь,— что они в «минус-состоянии по отношению к S». (На более привычном языке мы бы сказали, что z-компонента момента количества движения равна +1h. 0 и -1h, но сейчас мы отказались от этого языка.) На фиг. 3.4 второй прибор ориентирован точно так же, как первый, так что отфильтрованные атомы все пойдут по верхнему пути. А если бы в первом приборе загородить верхний и нижний пучки и пропустить только находящиеся в нуль-состоянии, то все отфильтрованные атомы прошли бы через среднюю часть вто­рого прибора. И наконец, если бы загородить в первом приборе все пучки, кроме нижнего, то во втором был бы только нижний пучок. Можно сказать, что в любом случае первый прибор соз­дает отфильтрованный пучок в чистом состоянии по отношению к S (+, 0 или -), и мы всегда можем испытать, какое именно состояние он создает, пропустив атомы через второй такой же прибор.