Ответы на экзаменационные билеты по эконометрике - Ангелина Яковлева

При проверке значимости парного коэффициента корреляции критическое значение t-критерия определяется как tкрит(a;n-h), где а – уровень значимости, (n-h) – число степеней свободы, которое определяется по таблице распределений t-критерия Стьюдента.

При проверке основной гипотезы вида Н0:rxy=0 наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента рассчитывается по формуле:

где ryx – выборочный парный коэффициент корреляции между результативной переменной у и факторной переменной х, который рассчитывается по формуле:

ω(ryx) – величина стандартной ошибки парного выборочного коэффициента корреляции.

Показатель стандартной ошибки парного выборочного коэффициента корреляции для линейной модели парной регрессии рассчитывается по формуле:

Если данное выражение подставить в формулу для расчёта наблюдаемого значения t-критерия для проверки гипотезы вида Н0:rxy=0, то получим:

При проверке основной гипотезы возможны следующие ситуации:

Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) по модулю больше критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т. е.

tнабл|>tкрит, то с вероятностью (1-а) или γ основная гипотеза о незначимости парного коэффициента корреляции отвергается.

Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) по модулю меньше или равно критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т.е. |tнабл|≤tкрит, то с вероятностью а или (1-γ) основная гипотеза о незначимости парного коэффициента корреляции принимается. В этом случае корреляционная зависимость между исследуемыми переменными отсутствует, и продолжение регрессионного анализа считается нецелесообразным.

Применение t-статистики Стьюдента для проверки гипотезы вида Н0:rxy=0 основано на выполнении двух условий:

1) если объём выборочной совокупности достаточно велик (n≥30);

2) коэффициент корреляции по модулю значительно меньше единицы:

0,45≤|ryx|≤0.75.

В том случае, если модуль парного выборочного коэффициента корреляции близок к единице, то гипотеза вида Н0:rxy=0 также может быть проверена с помощью z-статистики. Данный метод оценки значимости парного коэффициента корреляции был предложен Р. Фишером.

Между величиной z и парным выборочным коэффициентом корреляции существует отношение вида:

В связи с тем, что величина z является нормально распределённой величиной, то проверка основной гипотезы о незначимости парного коэффициента корреляции сводится к провреке основной гипотезы о незначимости величины z:

Н0:z=0.

Обратная или конкурирующая гипотеза состоит в предположении о значимости величины z, т. е.

Н1:z≠0.

Данные гипотезы проверяются с помощью t-критерия Стьюдента.

Наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают с критическим значением t-критерия, которое определяется по таблице распределения Стьюдента.

Критическое значение критерия tкрит определяют по таблице нормального распределения (z-распределения) с доверительной вероятностью γ или (1-a).

При проверке основной гипотезы вида Н0:z=0 наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента рассчитывается по формуле:

где β(z) – это величина стандартной ошибки величины z.

Показатель стандартной ошибки величины z для линейной модели парной регрессии рассчитывается по формуле:

При проверке основной гипотезы возможны следующие ситуации:

Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) по модулю больше критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т. е. |tнабл|>tкрит, то с вероятностью (1-а) или γ основная гипотеза о незначимости парного коэффициента корреляции отвергается.

Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) по модулю меньше или равно критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т.е. |tнабл|≤tкрит, то с вероятностью а или (1-γ) основная гипотеза о незначимости парного коэффициента корреляции принимается. В этом случае корреляционная зависимость между исследуемыми переменными отсутствует, и продолжение регрессионного анализа считается нецелесообразным.

24. Проверка гипотезы о значимости модели парной регрессии. Теорема о разложении сумм квадратов

Проверка гипотезы о значимости линейной модели парной регрессии состоит в проверке гипотез о значимости коэффициентов регрессии β0 и β1 или значимости парного коэффициента детерминации r2yx.

Если проверка значимости модели парной регрессии в целом осуществляется через проверку гипотез о значимости коэффициентов регрессии, то выдвигаются основные гипотезы вида Н0:β0=0, или Н0:β1=0, утверждающие, что коэффициенты регрессии являются незначимыми, и, следовательно, модель парной регрессии в целом также является незначимой.

Обратные или конкурирующие гипотезы вида Н1:β0≠0, или Н1:β1≠0  утверждают, что коэффициенты регрессии являются значимыми, и, следовательно, модель парной регрессии в целом также является значимой.

Если проверка значимости модели парной регрессии в целом осуществляется через проверку гипотезы о значимости парного коэффициента детерминации, то выдвигается основная гипотеза вида H0:r2yx=0, утверждающая, что парный коэффициент детерминации является незначимым, и, следовательно, модель парной регрессии в целом также является незначимой.

Обратная или конкурирующая гипотеза вида H0:r2yx≠0, утверждает, что парный коэффициент детерминации является значимым, и, следовательно, модель регрессии в целом также является значимой.

Проверка выдвинутых гипотез осуществляется с помощью F-критерия Фишера-Снедекора.

Наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают с критическим значением F-критерия, которое определяется по таблице распределения Стьюдента.

Критическое значение F-критерия определяется по таблице распределения Фишера-Снедекора в зависимости от: уровня значимости а и числа степеней свободы k1=h-1 и k2=n-h, где n – это объём выборочной совокупности, а h – число оцениваемых по данной выборке параметров.

При проверке гипотезы о значимости модели парной регрессии в целом критическое значение F-критерия определяется как Fкрит(а;n-2).

При проверке основных гипотез о незначимости модели парной регрессии в целом наблюдаемое значение F-критерия рассчитывается по формуле:

При проверке основной гипотезы возможны следующие ситуации:

Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) больше критического значения F-критерия (определённого по таблице распределения Фишера-Снедекора), т. е. Fнабл›Fкрит, то с вероятностью а основная гипотеза о незначимости коэффициентов модели регрессии или парного коэффициента детерминации отвергается, и, следовательно, модель регрессии в целом признаётся значимой.

Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) меньше или равно критического значения F-критерия (определённого по таблице распределения Фишера-Снедекора), т. е. Fнабл>Fкрит, то с вероятностью а основная гипотеза о незначимости коэффициентов модели регрессии или парного коэффициента детерминации отвергается, и, следовательно, модель регрессии в целом признаётся значимой.

Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) меньше или равно критического значения F-критерия (определённого по таблице распределения  Фишера-Снедекора), т.е. Fнабл<Fкрит, то с вероятностью (1-а) основная гипотеза о незначимости коэффициентов модели регрессии или парного коэффициента детерминации принимается, и, следовательно, модель регрессии в целом признаётся незначимой.

Коэффициент детерминации может быть рассчитан не только как квадрат линейного коэффициента парной корреляции или через теорему о разложении общей дисперсии результативной переменной на составляющие, но и через теорему о разложении сумм квадратов результативной переменной.

Теорема. Сумма квадратов разностей между значениями результативной переменной и её средним значением по выборочной совокупности может быть представлена следующим образом:

где

– общая сумма квадратов (Total Sum Square – TSS);

– сумма квадратов остатков (Error Sum Square – ESS);

– сумма квадратов объяснённой регрессии (Regression Sum Square – RSS).

Представим данную теорему в векторной форме:

Общую сумму квадратов можно представить следующим образом:

Если в модель регрессии не включается свободный член β0, то данное разложение также остаётся верным.