Логика для всех. От пиратов до мудрецов - Инесса Раскина

Решение. Все мудрецы знают, что хотя бы один из них в желтом колпаке. Если последний мудрец не видит перед собой желтого колпака, то он скажет: «На мне желтый колпак». Если он назвал другой цвет или не смог определить цвет своего колпака, то он видит перед собой хотя бы одного мудреца в желтом колпаке. Тогда если предпоследний мудрец не видит перед собой желтого колпака, то он скажет: «На мне желтый колпак». Аналогичные рассуждения верны и для следующих мудрецов. Поэтому рано или поздно кто-то скажет, что желтый колпак на нем. Точно так же доказывается, что каждый из трех цветов будет назван хотя бы одним мудрецом.

6) Придумайте ситуацию, в которой верно ответить на вопрос смогут четыре из пяти мудрецов.

Решение. Например, колпаки надеты в таком порядке: желтый, желтый, красный, зеленый, зеленый (а второй красный спрятан). Пятый мудрец не может отличить, красный на нем колпак или зеленый, и ответит «Не знаю». Четвертый видит перед собой два желтых колпака и понимает, что на нем не желтый. А еще он видит красный колпак третьего мудреца и понимает, что если бы на нем тоже был красный колпак, то пятый бы без труда определил цвет своего зеленого колпака. Итак, четвертый понимает, что на нем зеленый колпак, и сообщает об этом.

Третий понимает, что если бы на нем тоже был зеленый колпак, то пятый бы определил цвет своего красного колпака. Третий также видит желтые колпаки первых двух и делает вывод, что на нем красный колпак.

Второй думает: «Если на мне красный колпак, то третий видит перед собой желтый и красный колпаки, а слышал до этого ответы „Не знаю“ и „Зеленый“. Как же третий мог различить, желтый или красный на нем колпак? А если на мне зеленый, то четвертый видел перед собой три разных колпака и слышал от пятого „Не знаю“. Как же он определил цвет своего колпака?» Итак, второй методом исключения тоже поймет, что на нем желтый колпак.

Первый думает: «Пусть на мне красный колпак. Тогда третий видел перед собой желтый и красный колпаки, а слышал до этого ответы „Не знаю“ и „Зеленый“. В таком случае желтый и красный цвета с точки зрения третьего равноправны. Как же он сделал выбор? Значит, на мне не красный колпак. Пусть на мне зеленый колпак. Тогда четвертый видел перед собой три колпака разных цветов, а слышал только ответ „Не знаю“. Как же он мог сделать выбор? Значит, на мне и не зеленый колпак. Остается желтый».

Упрощенный вариант

Сценарий. Обсуждается та же задача 10.13. Учитель приглашает пятерых «мудрецов», просит их закрыть глаза и надевает им пять колпаков, а шестой прячет. Затем мудрецы открывают глаза и, начиная с последнего, либо называют цвет своего колпака, либо говорят «Не знаю». Все ошибки предлагается исправлять на месте с помощью зрителей или учителя. Например, если «мудрец» должен был сказать «Не знаю», но вместо этого случайно верно назвал цвет своего колпака, можно достать спрятанный колпак и сказать: «Но ведь могло быть и так!», после чего «отрубить голову». А если «мудрец» мог бы догадаться, но говорит «Не знаю», подсказать примерно так: «Представь, что на тебе желтый колпак. Что бы тогда видел стоящий за тобой? И что бы он сказал? Почему же он сказал „Не знаю“? Так какой же на тебе колпак?» Если какая-то ситуация пошла с трудом, можно повторить ее, поменяв, например, все желтые колпаки на красные, а красные – на желтые.

Колпаки на мудрецах такие:

1) Красный, красный, желтый, желтый, зеленый (а второй зеленый спрятан).

Ответ. Определить цвет своего колпака могут все.

2) Желтый, зеленый, желтый, зеленый, красный.

Ответ. Определить цвет своего колпака могут все.

3) Красный, желтый, желтый, красный, зеленый.

Ответ. Определить цвет своего колпака могут все.

4) Желтый, красный, зеленый, желтый, красный.

Ответ. Два последних скажут «Не знаю», а три первых назовут цвет.

5) Зеленый, желтый, красный, красный, зеленый.

Ответ. Два последних скажут «Не знаю», а три первых назовут цвет.

6) Желтый, желтый, красный, зеленый, зеленый.

Ответ. Последний скажет «Не знаю», а остальные назовут свой цвет.

7) Красный, желтый, красный, зеленый, зеленый.

Ответ. Пятый и третий скажут «Не знаю», а остальные назовут свой цвет.

Два мудреца и последовательные числа

Задача 10.14. 1) Двум мудрецам написали на лбу по натуральному числу и сообщили, что эти числа последовательные. Когда мудрецы посмотрели друг на друга, между ними состоялся такой диалог:

А: «Я не знаю моего числа».

Б: «А я знаю мое число».

Какие числа были написаны?

Решение. Если бы А увидел число 1, то он бы понял, что у него на лбу число 2. То есть А фактически сообщил Б, что у него не 1. Если Б увидел число 2, то он сделал вывод, что у него самого – 3. Если Б увидел 1, то он независимо от слов А понял, что у него самого 2. А если бы Б увидел другое число, он не смог бы определить свое число.

Ответ. Либо у А написано число 2, а у Б – число 3, либо у А – число 1, а у Б – число 2.

Сценарий. После разбора этой задачи можно поиграть с числами чуть побольше (3 и 4, 4 и 5, 5 и 6). Рисовать каждый раз на лбу необязательно, можно использовать наклейки на лоб, а чтобы зрителям было труднее, можно писать числа на бумажках. Двум школьникам дают написанные на бумажках последовательные числа (причем делать это могут зрители), а они по очереди говорят, знают ли они, что написано на бумажке у второго «мудреца». Когда один из них скажет «Знаю», зрители должны догадаться, какие у них числа, и проверить, не ошибся ли кто-то из «мудрецов». Интересно сравнить, как изменится диалог, если дать мудрецам те же числа, но в обратном порядке. Экспериментируя, школьники могут заметить, что первым догадывается о числе партнера тот из мудрецов, кто видит меньшее число. После этого можно предложить исследовать ситуацию в общем виде.

2) Каждому из двух мудрецов дали бумажку с написанным на ней натуральным числом и сообщили, что эти числа последовательные. Когда мудрецы посмотрели на числа, между ними состоялся такой диалог:

А: «Я не знаю твое число».

Б: «И я не знаю твое число».

А: «И я не знаю твое число».

…

а) Докажите, что рано или поздно кто-то из мудрецов сможет сказать: «Теперь я знаю твое число».

б) От чего (от написанных чисел или от того, кто начал диалог) зависит, кто из мудрецов первым узнает число другого?

в) Докажите, что второй мудрец сможет сказать в ответ: «И я теперь тоже знаю твое число».

Решение, а) Произнося по очереди «Я не знаю твое число», мудрецы сообщают друг другу следующую информацию:

А: «У меня не 1»;

Б: «У меня не 1 и не 2»;

А: «У меня не 1, не 2 и не 3» и так далее, прибавляя по одному числу с каждым новым высказыванием.

Ясно, что это не может продолжаться бесконечно.

б) Пусть одному из мудрецов (неважно, А или Б) написали меньшее число n, а второму – большее число n + 1. До (n — 1) – го высказывания никто из них не знает, какое число у партнера. Если (n — 1) – е высказывание делает второй, то первый поймет, какое у него число, и скажет об этом. Если (n — 1) – е высказывание делает первый, то второй не сможет сразу определить, какое число у первого, n или n + 2, и сделает n-е высказывание: «И я не знаю твое число». А первый теперь все поймет.

в) Как выяснилось в предыдущем пункте, сказав «Теперь я знаю твое число», первый мудрец фактически сообщает: «Мое число меньше твоего». Второму мудрецу остается лишь отнять 1 от своего числа.

3) Каждому из двух мудрецов дали бумажку с написанным на ней натуральным числом и сообщили, что эти числа последовательные. Когда мудрецы посмотрели на числа, между ними состоялся такой диалог:

А: «Я не знаю твое число».

Б: «И я не знаю твое число».

А: «И я не знаю твое число».

Б: «И я не знаю твое число».

После того как каждый сообщил о своем незнании 10 раз, мудрец А сказал: «Теперь я знаю твое число». Какие числа были написаны на бумажках?

Ответ. Либо у А число 20, а у Б число 21, либо у А число 21, а у Б число 22.

Решение. После первой реплики А мудрец Б понимает, что у А не число 1. Если бы у Б было число 2, он бы понял, что у А число 3. По его первой реплике ясно, что это не так (а также что у Б не 1), и мудрец А делает вывод, что у Б не 1 и не 2. Рассуждая аналогично, делаем два вывода. Во-первых, после десятой реплики А мудрец Б понимает, что у А не числа от 1 до 19 включительно. Во-вторых, после десятой реплики Б мудрец А понимает, что у Б не числа от 1 до 20 включительно. Понять после этого, какое у Б число, мудрец А мог в двух случаях: если у него самого число 20, то у Б число 21, а если у А число 21, то у Б – 22.

Дополнительные задачи

Трудные задачи решаем немедленно, невозможные – чуть погодя.