Математика для любознательных - Яков Перельман

3 (х + 5) = 4 (х - 3).

Решив его, находим x = 27. Следовательно, стульев было 27, а учеников 3x(27 + 5) = 96.

4) Обозначим расстояние между домами через х. Молодой человек всего прошел 2х, а доктор вчетверо меньше, т. е. x/2. До встречи доктор прошел половину пройденного им пути, т. е. x/4, а молодой человек - остальное, т. е. 3x/4. Свою часть пути доктор прошел в x/12 часов, а молодой человек - в 3x/16 часов, причем мы знаем, что он был в пути на 1/4 часа дольше, чем доктор. Имеем уравнение:

откуда x = 2,4 километра. Итак, от дома молодого человека до дома доктора - 2,4 километра.

5) Налив 300 граммов воды в чашку весов, отвешиваем этой «водяной гирей» сначала 300 граммов чаю. Затем, положив на одну чашку весов эти 300 граммов чаю, кладем на другую - пряжку, т. е. 650 граммов, и досыпаем на менее нагруженную чашку в отдельный пакет столько чаю, чтобы весы пришли в равновесие, - то есть 350 г. Отвесив еще с помощью пряжки 650 г чаю, имеем 650 г + 350 г = 1000 г, т. е. 1 килограмм.

6) Обозначим себестоимость одного арбуза через х. Тогда чистая прибыль от продажи одного арбуза первой партии равна 36 - х, второй 32 - х, третьей 27 - х, наконец, последнего арбуза 48 - х. Так как чистая прибыль от продажи каждой партии одинакова, то число арбузов в первой партии должно равняться (48-x)/(36-x), во второй (48-x)/(32-x), в третьей (48-x)/(27-x). Все эти выражения, согласно условию задачи, суть целые числа. Надо, следовательно, подобрать для х такое значение, при котором выражения

превращаются в целые числа. Нетрудно найти, путем нескольких испытаний, что этому условию удовлетворяет только х = 24. Тогда первое выражение равно 2, второе - 3, третье - 8. Другими словами, в первой партии было 2 арбуза, во второй 3, в третьей 8. Всего же арбузов было привезено торговцем 2 + 3 + 8 + 1 + 14.

7) Способ второй ученицы удобнее, так как при умножении 1 года 1 мес. 1 1/4 дней на 4 - мы сразу освобождаемся от дроби, и тогда умножение на 9 выполняется легче. Способ первой ученицы таких удобств не дает, он более громоздкий. Поэтому учительница должна была дать второму решению более высокую оценку.

Хитрое разрешение мудреной задачи

Одна баба, торговавшая яйцами, имея у себя к продаже девять десятков яиц, отправила на рынок трех дочерей своих и, вверив старшей и самой смышленной из них десяток, поручила другой 3 десятка, а третьей полсотни. При этом она сказала им:

- Условьтесь наперед между собой насчет цены, по которой вы продавать будете, и от этого условия не отступайтесь; все вы крепко держитесь одной и той же цены; но я надеюсь, что старшая дочь моя, по своей смышленности, даже и при общем между вами условии, по какой цене продавать, сумеет выручить столько за свой десяток, сколько вторая выручит за 3 десятка, да научит и вторую сестру выручить за ее 3 десятка столько же, сколько младшая выручит за полсотни. Пусть выручки всех троих да цены будут одинаковы. При том я желала бы, чтоб вы продали все яйца так, чтобы пришлось круглым счетом не меньше 10 копеек за десяток, а за все 9 десятков - не меньше 90 копеек, или 30-ти алтын.

Задача была мудреная. Дочери, идучи на рынок, стали между собой совещаться, при чем вторая и третья обращались к уму и совету старшей. Та, обдумав дело, сказала:

- Будем, сестры, продавать наши яйца не десятками, как это делалось у нас до сих пор, а семерками: семь яиц - семерик; на каждый семерик и цену положим одну, которой все и будут крепко держаться, как мать сказала. Чур, не спускать с положенной цены ни копейки. За первый семерик алтын, согласны?

- Дешевенько, - сказала вторая.

- Ну, - возразила старшая, зато мы поднимем цену на те яйца, которые за продажею круглых семериков в корзинах у нас останутся. Я заранее проверила, что яичных торговок, кроме нас, на рынке никого не будет. Сбивать цены некому; на остальное же добро, когда есть спрос, а товар на исходе, известное дело, цена возвышается. Вот мы на остальных-то яйцах и наверстаем.

- А почем будем продавать остальные? - спросила младшая.

- По 3 алтына за каждое яичко. Давай, да и только. Те, кому очень нужно - дадут.

- Дорогонько, - заметила опять средняя.

- Что ж, - подхватила старшая; зато первые-то яйца по семеркам пойдут дешево. Одно на другое и наведет.

Согласились.

Пришли на рынок. Каждая из сестер села на своем месте отдельно и продает. Обрадовавшись дешевизне, покупщики и покупщицы бросились к младшей, у которой было полсотни яиц и все их расхватали. Семерым она продавала по семерику и выручила 7 алтын, а одно яйцо осталось у ней в корзине. Вторая, имевшая 3 десятка, продала 4-м покупательницам по семерику и в корзине у ней осталось два яйца: выручила она 4 алтына. У старшей купили семерик, за который она получила один алтын; 3 яйца осталось.

Вдруг явилась кухарка, посланная барыней на рынок с тем, чтобы купить непременно десяток яиц во что бы то ни стало. На короткое время к барыне в гости приехали сыновья ее, которые страшно любят яичницу. Кухарка туда-сюда по рынку мечется: яйца распроданы; всего у трех торговок, пришедших на рынок, осталось только 6 яиц: у одной - одно яйцо, у другой - 2, у третьей - 3. Давай и те сюда!

Разумеется, кухарка прежде кинулась к той, у которой осталось 3, а это была старшая дочь, продавшая за алтын свой единственный семерик. Кухарка спрашивает:

- Что хочешь за свои 3 яйца? А та в ответ:

- По три алтына за яичко.

- Что ты? С ума сошла! - говорит кухарка. А та:

- Как угодно, - говорит - ниже не отдам. Это последние.

Кухарка бросилась к той, у которой 2 яйца в корзине.

- По чем?

- По 3 алтына. Такая цена установилась. Все яйца вышли.

- А твое яичишко сколько стоит? - спрашивает кухарка у младшей.

Та отвечает:

- Три алтына.

Нечего делать. Пришлось купить по неслыханной цене.

- Давайте сюда все остальные яйца.

И кухарка дала старшей за ее 3 яйца - 9 алтын, что и составило с имевшимся у нее алтыном - 10; второй заплатила она за ее пару яиц - 6 алтын; с вырученными за 4 семерика 4-мя алтынами это составило также 10 алтын. Младшая получила от кухарки за свое остальное яичко - 3 алтына и, приложив их к 7-ми алтынам, вырученным за проданные прежде 7 семериков, увидела у себя в выручке тоже 10 алтын.

После этого дочери возвратились домой и отдав матери своей каждая свои 10 алтын, рассказали, как они продавали и как, соблюдая относительно цены одно общее условие, достигли того, что выручки как за один десяток, так и за три десятка и за полсотни, оказались одинаковыми.

Мать была очень довольна точным выполнением данного ею дочерям своим поручения и находчивостью своей старшей дочери, по совету которой оно выполнилось; а еще больше осталась довольна тем, что и общая выручка дочерей - 30 алтын, или 90 копеек - соответствовала ее желанию.

В библиотеке Русского Общества Любителей Мироведения, в Ленинграде, хранится найденная лишь в 1924 г. неопубликованная рукопись поэта В. Г. Бенедиктова, посвященная математическим развлечениям (поэт в последние годы жизни посвящал свой досуг занятиям математикой и астрономией).

Рукопись эта представляет собою, по-видимому, вполне законченное сочинение небольшого объема (около двух печатных листов) и является, по всем признакам, не переводом, а трудом вполне самостоятельным. На рукописи нет даты ее составления, но можно установить, что она относится к 1869-му году, за пять лет до смерти поэта. Указание это извлечено мною из данных одного расчета в последней главе рукописи, где автор говорит о 7376 годах, «насчитываемых от сотворения мира»; это соответствует, по церковному летоисчислению, 1868 году нашей эры.

Заглавие рукописи неизвестно, так как первый лист не сохранился. О характере же труда и его назначении говорится в кратком «вступлении» следующее:

«Арифметический расчет может быть прилагаем к разным увеселительным занятиям, играм, шуткам и т. п. Многие так называемые фокусы (подчеркнуто в рукописи) основываются на числовых соображениях, между прочим и производимые при посредстве обыкновенных игральных карт, где принимается в расчет или число самих карт, или число очков, представляемых теми или другими картами, или и то и другое вместе. Некоторые задачи, в решение которых должны входить самые громадные числа, представляют факты любопытные и дают понятие об этих превосходящих всякое воображение числах. Мы вводим их в эту дополнительную часть арифметики. Некоторые вопросы для разрешения их требуют особой изворотливости ума и могут быть решаемы, хотя с первого взгляда кажутся совершенно нелепыми и противоречащими здравому смыслу, как, например, приведенная здесь, между прочим, задача под заглавием: «хитрая продажа яиц». Прикладная, практическая часть арифметики требует иногда не только знания теоретических правил, излагаемых в чистой арифметике, но и находчивости, приобретаемой через умственное развитие при знакомстве с различными сторонами не только дел, но и безделиц, которым поэтому дать здесь место мы сочли не излишним».