6a. Электродинамика - Ричард Фейнман

Рассмотрим теперь контурный интеграл от Е вдоль замкну­той петли, которая начинается на клемме а, проходит внутри провода до верхней обкладки конденсатора, перескакивает про­межуток между пластинами, проходит с нижней обкладки на клемму b и возвращается к клемме а по пространству снаружи конденсатора. Раз магнитного поля нет, контурный интеграл от Е по этому замкнутому пути равен нулю. Интеграл можно раз­бить на три части:

Интеграл вдоль проводов равен нулю, потому что внутри идеаль­ных проводников электрического поля не бывает. Интеграл от зажима b до а снаружи конденсатора равен разности потенциалов между клеммами со знаком минус. А поскольку мы считаем, что обкладки как-то изолированы от прочего мира, то общий заряд двух обкладок должен быть равен нулю; и если на верх­ней обкладке есть заряд Q, то на нижней имеется заряд —Q. Раньше мы уже видели, что если заряды двух проводников рав­ны и противоположны, +Q и -Q, то разность потенциалов между ними есть Q/C, где С — емкость этих проводников. Из (22.7) следует, что разность потенциалов между зажимами а и b равна разности потенциалов между обкладками. Поэтому

Электрический ток I, втекающий в конденсатор через клемму а (и покидающий его через клемму b), равен dQ/dt — быстроте изменения электрического заряда на обкладках. Записывая dV/dt в виде iwV, можно связь между током и напряжением для конденсатора дать в следующем виде:

или

(22.8)

Тогда импеданс z конденсатора равен

(22.9)

Третий элемент, который нужно рассмотреть,— это сопро­тивление. Но, поскольку мы пока еще не рассматривали элек­трических свойств реальных веществ, мы не готовы обсуждать то, что творится внутри реального проводника. Придется просто принять как факт, что внутри реальных веществ могут суще­ствовать электрические ноля, что эти поля порождают поток электрического заряда (т. е. ток) и что этот ток пропорционален интегралу электрического поля от одного конца проводника до другого. Затем надо представить себе идеальное сопротивление, сделанное так, как показано на фиг. 22.3. Два провода, которые мы считаем идеальными проводниками, тянутся от клемм а и b к двум концам бруска, сделанного из материала, оказываю­щего сопротивление току. Следуя нашей обычной линии рас­суждений, приходим к выводу, что разность потенциалов между зажимами а и b равна контурному интегралу от внешнего элек­трического поля, равному также контурному интегралу от электрического поля по пути, проходящему через брусок.

Фиг. 22.3. Сопротивление.

От­сюда следует, что ток I через сопротивление пропорционален напряжению V на зажимах:

где R называется сопротивлением. Позже мы убедимся, что связь между силой тока / и напряжением V для реальных про­водящих материалов только приближенно можно считать ли­нейной. Мы убедимся также, что считать эту приближенную пропорциональность не зависящей от частоты изменений тока и напряжения можно лишь тогда, когда частота не слишком высо­ка. И тогда для переменных токов напряжение на зажимах ока­зывается в фазе с током, а это значит, что сопротивление — число действительное:

(22.10)

Результаты наших рассуждений о трех сосредоточенных эле­ментах цепи — индуктивности, емкости, сопротивлении — по­дытожены фиг. 22.4. На этом рисунке, как и на предыдущих, напряжение отмечено стрелкой, направленной от одной клеммы к другой. Если напряжение «положительно», т. е. если на клемме а потенциал выше, чем на клемме b, то стрелка указы­вает направление «падения напряжения».

Хотя мы сейчас говорим о переменных токах, конечно, можно включить сюда и особый случай цепей постоянного тока, если перейти к пределу, когда частота w стремится к нулю.

Фиг. 22.4. Идеальные сосредо­точенные элементы цепи (пассив­ные).

При нуле­вой частоте, т. е. при постоянном токе, импеданс индуктивности стремится к нулю; между клеммами наступает короткое замыка­ние. Импеданс же емкости при постоянном токе стремится к бес­конечности; цепь между клеммами размыкается. Принимать в расчет при постоянных токах нужно только обычные сопротив­ления: они не зависят от частоты.

В описанных до сих пор элементах цепи ток и напряжение были пропорциональны друг другу. Если одно равно нулю, то и другое равно нулю. Обычно мы мыслим на таком языке: при­ложенное напряжение «ответственно» за ток или ток «создает» напряжение на клеммах. Элемент словно в некотором смысле «отвечает» на «приложенные» внешние условия. По этой причи­не такие элементы называются пассивными. Тем самым их можно противопоставить активным элементам, таким, как генераторы, которые мы рассмотрим в следующем параграфе и которые пред­ставляют собой источники колебаний токов или напряжений в цепи.

§ 2. Генераторы

Поговорим теперь об активном элементе цепи, источнике и токов и напряжений в ней, т. е. о генераторе.

Пусть у нас имеется катушка, наподобие катушки самоин­дукции, но только витков у нее немного и на магнитное поле ее собственного тока можно внимания не обращать. Эта катуш­ка, однако, находится в переменном магнитном поле, подобном тому, какое создается вращающимся магнитом (фиг. 22.5). (Мы уже видели ранее, что такое вращающееся магнитное поле мож­но также создать с помощью подходящей совокупности катушек с переменными токами.) Сделаем снова несколько упрощающих допущений. Это все те же допущения, которые мы делали, гово­ря об индуктивности. В частности, мы предполагаем, что меняю­щееся магнитное поле ограничено лишь небольшой областью поблизости от катушки и за пределами генератора, в простран­стве

между клеммами, оно не чувствуется.

Фиг. 22.5. Генератор, состоя­щий из закрепленной катушки и вращающегося магнитного поля.

Фиг. 22.6. Обозначение идеального генератора.

Повторяя опять в точности тот же анализ, что и для индук­тивности, рассмотрим контурный интеграл от Е вдоль замкну­той петли, которая начинается на зажиме а, проходит по ка­тушке до зажима b и возвращается к началу по пространству между зажимами. Снова заключаем, что разность потенциалов между зажимами а и b равна всему интегралу от Е вдоль петли:

Этот контурный интеграл равен э.д.с. в цепи, и поэтому разность потенциалов V между выводами генератора тоже равна скорости изменения магнитного потока сквозь катушку:

(22.11)

Предполагается далее, что у идеального генератора магнитный поток через катушку определяется внешними условиями (таки­ми, как угловая скорость вращающегося магнитного поля) и что на него никак не влияют токи, текущие через генератор. Таким образом, генератор (по крайней мере рассматриваемый нами идеальный) — это не импеданс. Разность потенциалов на его зажимах определяется произвольно задаваемой э.д.с. e(t). Такой идеальный генератор представляют символом, по­казанным на фиг. 22.6. Маленькая стрелка дает направление по­ложительной э.д.с. Положительная э.д.с. в генераторе, изобра­женном на фиг. 22.6, создает напряжение V=e с более высоким потенциалом на зажиме а.

Можно сделать генератор и по-другому. Внутри он будет уст­роен совершенно иначе, но снаружи, на зажимах, он ничем не будет отличаться от только что описанного. Представим катуш­ку, которая вращается в неподвижном магнитном поле (фиг.22.7).

Мы изобразили магнитную палочку, чтобы показать наличие магнитного поля, но его можно, конечно, заменить любым дру­гим источником постоянного магнитного поля, скажем добавоч­ной катушкой, по которой течет постоянный ток. Как показано на рисунке, вращающаяся катушка связана с внешним миром скользящими контактами, или «кольцами». Нас опять интересу­ет разность потенциалов, которая появляется между клеммами а и b, т. е. интеграл от электрического поля между а и b по пути снаружи генератора.

Теперь в этой системе уже нет изменяющихся магнитных по­лей и на первый взгляд кажется удивительным, откуда на зажи­мах генератора берется напряжение. Действительно, ведь нигде же внутри генератора нет никаких электрических полей. Мы, как обычно, предполагаем для наших идеальных элементов, что внутри них провода сделаны из идеально проводящего материа­ла; а, как уже неоднократно повторялось, электрическое поле внутри идеального проводника равно нулю. Но это не всегда верно. Это неверно тогда, когда проводник движется в магнитном поле. Правильное утверждение таково: общая сила, действую­щая на произвольный заряд внутри идеального проводника, должна быть равна нулю. Иначе в нем возник бы бесконечный ток свободных зарядов. Так что надо брать сумму электрическо­го поля Е и векторного произведения скорости проводника v на магнитное поле В; это есть полная сила, действующая на еди­ничный заряд, и вот она-то всегда равна нулю: