Для юных математиков. Веселые задачи - Яков Перельман

Плывя по течению, пароход делает 1 версту в 3 минуты; плывя против течения – 1 версту в 4 минуты. На каждой версте пароход в первом случае выгадывает 1 минуту. А так как на всем расстоянии он выгадывает во времени 5 часов, или 300 минут, то, следовательно, от Энска до Иксограда 300 верст.

Действительно:

300/15 – 300/20 = 20 – 15 = 5.

Решение задачи № 86

Если, для удобства обозначения, перенумеровать яйца, то у нас будут

крутое № 1 …………… к1

крутое № 2 …………… к2

всмятку № 1 …………… с1

всмятку № 2 …………… с2

всмятку № 3 …………… с3

Из этих яиц можно составить следующие 10 пар:

к1 к2

к1 с1

к1 с2

к1 с3

к2 с1

к2 с2

к2 с3

с1 с2

с1 с3

с2 с3

Мы видим, что только одна пара – именно первая – состоит из крутых яиц, остальные 9 не дают требуемого сочетания. Значит, у вас только 1 шанс из 10 взять пару крутых яиц; в остальных 9-ти случаях из 10-ти вы проигрываете. И если вы ставите 1 рубль, то ваш партнер, имеющий 9 шансов выиграть, должен, для уравнения шансов, поставить не 5, а 9 рублей. Решение задачи № 87

При 4-х метаниях число всех возможных положений игральной кости равно 6x6x6x6 = 1296. Допустим, что первое метание уже состоялось, причем выпало единичное очко. Тогда при трех следующих метаниях число всех возможных положений, благоприятных для Петра (т. е. выпадений любых очков, кроме единичного) = 5x5x5 = 125. Точно также возможно по 125 благоприятных для Петра расположений, если единичное очко выпадет только при втором, только при третьем или только при четвертом метании. Итак, существует 125+125+125+125 = 500 различных возможностей для того, чтобы единичное очко при 4-х метаниях появилось один и только один раз. Неблагоприятных же возможностей существует 1296-500 = 796 (так как неблагоприятны все остальные случаи).

Мы видим, что у Владимира шансов выиграть больше (796 против 500), чем у Петра.

Решение задачи № 88

Нетрудно сообразить, что все семь друзей могли встречаться только через такое число дней, которое делится и на 2, и на 3, и на 4, и на 5, и на 6, и на 7. Наименьшее из таких чисел есть 420.

Следовательно друзья сходились все вместе только один раз в 420 дней (14 месяцев).

Решение задачи № 89

Каждый из восьми присутствующих (хозяин и 7 друзей) чокается с 7 остальными; всего, значит, сочетаний по два насчитывается 8x8 = 56. Но при этом каждая пара считалась дважды (например, 3-й гость с 5-м и 5-й с 3-м считались за разные пары). Следовательно, стаканы звучали

56/2 = 28 раз.

Решение задачи № 90 Если площадь воловьей шкуры 4 квадр. метра или 4000000 кв. миллиметров, а ширина ремня 1 миллиметр, то общая длина вырезанного ремня (вероятно, Дидона вырезала его из шкуры спирально) – 4000000 миллиметров, то есть 4000 метров, или 4 километра. Таким ремнем можно окружить квадратный участок площадью в 1 кв. километр (около 90 десятин).

Глава Х Обманы зрения

ЗАДАЧА № 91

Две дуги

На этом рисунке изображены две дуги, которые сопровождаются короткими штрихами. Какая дуга сильнее изогнута: верхняя или нижняя?

Рис. 63. Что кривее?

Рис. 64. Что длиннее?

ЗАДАЧА № 92 Три полоски

Какая из трех бумажных полосок, изображенных на чертеже 64-м, самая длинная?

ЗАДАЧА № 93 Два корабля

Перед вами (черт. 65) два корабля: пароход и парусник. У которого из них палуба длиннее?

Рис. 65. Равны ли палубы?

ЗАДАЧА № 94 Где середина?

Школьника спросили, где середина высоты начерченного здесь треугольника. Школьник показал место, обозначенное на фигуре черточкой. По его мнению, эта точка и есть середина. Поправьте его на глаз и затем проверьте его и себя бумажкой.

Рис. 66. Где середина?

ЗАДАЧА № 95 Два прямоугольника

Школьник начертил два прямоугольника, пересеченные прямой линией, и утверждал, что эти прямоугольники равны. Почему он думал, что они равны?

Рис. 67. Одинаковы ли эти прямоугольники?

ЗАДАЧА № 96 Шляпа иностранца

Я показывал своим знакомым картинку, представленную здесь на черт. 68-м, и они утверждали, что прямоугольник, описанный около шляпы этого иностранца, имеет форму квадрата. В чем их ошибка?

Рис. 68. Квадрат ли?

ЗАДАЧА № 97 Продолжить линию

Если продолжить прямую линию ab черт. 69-го, то куда она упрется: выше точки с или ниже?

Рис. 69. Куда упрется линия?

ЗАДАЧА № 98 Что длиннее?

Какая из линий ab , cd или ef  на черт. 70-м самая длинная?

Рис. 70. Сравните ab , cd и ef .

ЗАДАЧА № 99 Поместится ли?

Поместится ли в промежутке между АВ и CD (черт. 71) изображенный здесь кружок?

Рис. 71. Поместится ли кружок между АВ и CD?

ЗАДАЧА № 100 Два кружка

На черт. 72-м вы видите два заштрихованных кружка, которые кажутся одинаковых размеров. Но после того, как вы изощрили свой глазомер предыдущими упражнениями, вы, конечно, не попадете впросак. Вам нетрудно поэтому будет ответить на вопрос: какой кружок больше?

Рис. 72. Какой кружок больше?

ОТВЕТЫ НА ЗАДАЧИ №№ 91-100

№ 91. Обе дуги одинаковы.

№ 92. Все полоски одинаковой длины.

№ 93. Палубы у обоих кораблей изображены одинаковой длины.

№ 94. Середина указана правильно.

№ 95. Потому что они действительно равны.

№ 96. Ошибки нет: фигура вокруг шляпы – квадрат.

№ 97. Прямая упрется в точку с.

№ 98. Все три линии одинаковой длины.

№ 99. Кружок не помещается.

№ 100 (задача-ловушка). Кружки равны.

Приложение «ТАНГРАММЫ»

Примечания

1

Для знакомых со школьной арифметикой предназначается другая книга того же автора: «Загадки и диковинки в мире чисел». Петроград. 1923 г.

2

Тиражи: 1-го издания 1916 г. – 4000 экз., 2-го – 40000 экз. В этих изданиях книжечка была выпущена под заглавием «Веселые задачи».

3

На некоторых дорогах рельсы 6-метровые. Выйдя из вагона на станции, вы можете, измеряя рельсы шагами, узнать их длину; каждые 8 шагов можно принять за 5 метров.

4

Кузьмы Пруткова.

5

Точнее, не перегнать, а отстать от Земли, т. е. двигаться по ее поверхности в сторону, обратную ее движению, так быстро, чтобы продлить для себя продолжительность суток.

6

Человек может обогнать землю и пешком – в 50-ти километрах от полюса.

7

Отсюда ясно, между прочим, что часто встречающееся в учебниках определение поверхности, как «границы тела» – несостоятельно; поверхность Мебиуса никакого тела ограничивать не может, а между тем она – поверхность.

8

Вы можете отрезать страницы Приложения по пунктирной линии, наклеить их на плотные листы бумаги, вырезать фигурки и составить из них различные силуэты.

9

Первое издание разошлось в 4000 экз., второе (1919 г.) – в 15000 экз., третье (1920 г.) – в 25000 экз.

10

Для знакомых с школьным курсом арифметики мною составлен другой сборник математических упражнений: «Загадки и диковинки в мире чисел» (Лгр., 1923, изд. 2-е).

11

Водоизмещение корабля равно наибольшему грузу, какое он может поднять (включая и вес самого судна). Тонна – около 62,5 пудов.

12

Я не сообщил этой цифры в условии задачи потому, что самая величина потери – 8-я, или 10-я, или 20-я часть – для решения задачи не имеет значения.

13

Их удобнее всего наклеивать на четыре стороны квадратного бруска.

14

Столько горошин помещается в куб. сантиметре при рыхлом сложении; при более же плотной укладке, когда одна горошина частью помещается в промежутке между соседними, горошин должно поместиться больше.

15

Впрочем, полвека тому назад такая работа была выполнена одним учителем чистописания в Англии: он аккуратно расставил в толстой тетради миллион точек, по тысяче на каждой странице.

16

Эта задача заимствована из обширного старинного русского учебника математики Ефима Войтяховского, конца XVIII века.