Искусство большего. Как математика создала цивилизацию - Майкл Брукс

Определение дальности полета пушечного снаряда с помощью треугольников

Вертикальная скорость равняется v sin A (где v – начальная скорость). Эта вертикальная скорость падает до нуля, когда снаряд достигает максимальной высоты. Та же сила, которая замедляет его полет, – гравитация – теперь ускоряет его движение к земле, и снаряд начинает падать, а поскольку никаких новых сил на него не воздействует, падение занимает то же время, что и взлет. Горизонтальная скорость равняется v cos A и остается неизменной (как помните, мы не принимаем в расчет сопротивление воздуха). Алгебра позволяет нам вычислить время до столкновения снаряда с землей, а также преодоленное снарядом горизонтальное расстояние. Если нам известно, на какое расстояние мы хотим послать снаряд, мы можем скорректировать угол A, чтобы обеспечить себе идеальную дальность стрельбы.

Работа Тартальи стала первым из множества применений алгебры в военной сфере. Еще одно – определение размера лагеря в зависимости от числа солдат, которых необходимо в нем разместить. Также алгебра позволяет рассчитать, какое денежное содержание и снабжение требуется для батальона. Из самых простых задач – оценка количества солдат, необходимых для прокладки траншеи определенной длины за заданное время. Или расчет количества пороха для оружия. В книге “Арифметический военный трактат, или Стратиотик”, опубликованной в 1579 году, Леонард Диггес объясняет, как решать все перечисленные задачи с помощью алгебры[78]. Так, он отмечает, что если вам известно количество пороха, необходимое для оружия, которое вдвое меньше вашего, то нельзя просто увеличить количество пороха вдвое, чтобы получить достаточный уже вам объем. Нужно произвести расчеты на основе “чисел, полученных при кубическом умножении”, поскольку “правило пропорции здесь просто не работает”. Иными словами, если ружье вдвое больше, вам потребуется в 23 (то есть в 8) раз больше пороха, а не в 2 раза больше. Диггес также задает следующий вопрос о распределении вооружения:

В распоряжении у сержанта-майора 60 знамен, у каждого знамени по 160 копейщиков и пехота с оружием ближнего боя. Генералы хотят, чтобы он сформировал одну большую роту и окружил ее семью шеренгами копейщиков. Сколько копейщиков и сколько алебардистов ему понадобится, чтобы сформировать наибольшую роту, и сколько шеренг должно быть в войске?

По тем временам этот вопрос был насущным: командующим нужно было понимать, как лучше всего распределять оружие между различными подразделениями пехоты, чтобы максимизировать их эффективность, при этом защищая пехотинцев от кавалерийских атак противника. На том этапе истории битвы в основном велись подразделениями, выстроенными в геометрические формации. Правильное построение было вопросом жизни и смерти для солдат, и часто от него зависели успехи государства. Чтобы решить задачу Диггеса, нужно прибегнуть к алгебраическому поиску неизвестной величины. Ответ на первый вопрос: 2520 копейщиков.

Примерно тогда же, когда Тарталья работал над алгеброй пушечного огня, математику превращали в оружие и совершенно другим способом. В те годы алгеброй владели немногие, и этот навык производил немалое впечатление, а потому с помощью него один математик мог доказать свое превосходство над другим и даже отнять у него работу. Серьезные последствия таких математических дуэлей – потерпев поражение, математик вполне мог умереть с голоду, – ускорили дарвиновскую эволюцию новых алгебраических методов. В математике тогда выживал действительно сильнейший, но выжившим следовало соблюдать осторожность, и профессиональные математики тщательно отбирали учеников, которым передавали тайные алгебраические знания. Им вовсе не хотелось, чтобы какой-нибудь ученик раскрыл их секреты конкурентам или вступил в противостояние с учителем, надеясь занять его место. В результате математика распространялась медленно, а недоверие между математиками росло. Мы редко связываем математику с замалчиванием, ревностью и паранойей, но в истории о том, как мы пришли от квадратных уравнений к кубическим (x3) и уравнениям четвертой степени (x4), все это есть.

Битва за куб

Наш рассказ начинается со знакомого имени – Лука Пачоли. В книге “Сумма арифметики”, опубликованной в 1494 году, Пачоли заявил, что, хотя существует общая формула для решения квадратных уравнений (квадратичная формула, которую мы разбирали ранее в этой главе), представляется невозможным вывести общую формулу для решения кубических уравнений, где x возведен в третью степень. Иными словами, для уравнений следующего вида[79]:

ax3 + bx2 + cx + d = 0

Заявление Пачоли было интересно исключительно в интеллектуальном плане, поскольку применения кубическим уравнениям пока не находилось. Тем не менее болонский математик Сципион дель Ферро, однажды выступивший соавтором Пачоли, взялся за эту задачу. Он нашел способ решить родственное кубическое уравнение, где b равняется нулю, в результате чего получается уравнение “пониженной степени” без x2:

ax3 + cx + d = 0

Как и любой здравомыслящий математик того времени, дель Ферро ни с кем не поделился своим решением. Пока не оказался при смерти. Поняв, что ему осталось недолго, он послал за своим учеником Антонио Фиоре и зятем Аннибалом делла Наве, которым и раскрыл секрет.

Поверенные дель Ферро оказались совсем разными людьми. Его зять осознал, какая честь ему оказана, и никому не рассказал, что у него есть доступ к ценному математическому знанию. Фиоре, напротив, был алчен и амбициозен. Он счел решение кубического уравнения пониженной степени смертоносным оружием. И решил, что первой своей жертвой сделает Никколо Тарталью.

В 1535 году, когда Фиоре устроил состязание, Заика жил в Венеции и преподавал теоремы Евклида. Фиоре мечтал занять его место и по правилам вызвал Тарталью на математическую дуэль. Они предложили друг другу по 30 задач. Все задачи Фиоре были вариациями математических решений кубического уравнения пониженной степени. Тарталья сразу понял, что у Фиоре, очевидно, есть формула, а значит, сохранить работу он сможет только в том случае, если найдет решение сам. Будучи талантливым математиком, он справился с задачей. 12 февраля Тарталья нашел способ решить кубическое уравнение пониженной степени x3 + px = q. На следующий день он понял, как решить уравнение вида x3 = px + q. Вскоре после этого он сумел решить уравнение x3 + q = px. Тарталья справился со всеми кубическими уравнениями пониженной степени, предложенными Фиоре. Фиоре, однако, задачи Тартальи оказались не по плечу. Поединок закончился триумфом Тартальи, который сохранил работу и еще сильнее укрепил свою репутацию, публично отказавшись от 30 изобильных пиров, положенных победителю. Как поверженный Румпельштильцхен, униженный Фиоре исчез из публичной сферы.

И все же Тарталью не ждал счастливый конец. Когда состоялась его дуэль с Фиоре, прославленный миланский математик Джероламо Кардано занимался грандиозным проектом: писал книгу, в которой подробно излагал