Живой учебник геометрии - Перельман Яков Исидорович

В рассмотренном сейчас случае мы изображали рост человека и животных в у м е н ь ш е н н о м масштабе. Бывают, однако, случаи, когда надо пользоваться для диаграммы не уменьшенным, а увеличенным масштабом. Пусть, мы желаем составить себе наглядное представление о малости бактерии, длина которой равна 0,004 мм. Сопоставим ее длину, например, с толщиною волоса (0,05 мм). Изберем масштаб «0,001 мм в 1 мм». Тогда толщина волоса изобразится отрезком в 50 мм, а длина бактерии-всего в 4 мм (черт. 10). Когда мы смотрим на такой чертеж, крошечные размеры бактерии представляются нам гораздо нагляднее, чем раньше.

Подобным же способом можно изображать не только соотношение длин, но также соотношение в е с о в, промежутков в р е м е н и, – вообще, всякого рода величин. Мы можем, например, представить на диаграмме соотношение в е с а различных животных. На черт. 11 мы имеем диаграмму веса свиньи (120 кг). кодовы (400 кг) и лошади (440 кг). На этом чертеже каждой миллиметр отвечает 10 килограммам веса. Поэтому вес свиньи изображен отрезком в 12 мм, коровы – 40 мм, лошади – 44 мм. Наконец, рассмотрим, как изображаются на диаграмме промежутки в р е м е н и, – например, продолжительность жизни человека и некоторых животных. Крупные черепахи могут жить до 300 лет; слон – до 200, человек – до 100 лет, орангутанг – до 60 лет, лошадь – до 50 лет, жаба – до 40 лет, олень – до 30 л., курица – до 20 л, собака – до 12 л., кролик – до 7 л. Будем изображать один год каким-нибудь отрезком, например, в 1/5 мм (выбираем мелкий масштаб, чтобы чертеж уместился на листке бумаги). Тогда век черепахи изобразится отрезком в 60 мм, слона – в 40 мм, человека – в 20 мм, и т. д. до собаки и кролика, продолжительность жизни которых надо будет изображать черточками в 2 мм и в 11/2 мм. (Начертите это в вашей тетради.)

II. УГЛЫ. ПЕРВЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОКРУЖНОСТИ. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ[2]

§ 4. Углы и их обозначения

Когда прямые линии встречаются, они образуют в местах встречи «углы». Угол – две прямые, исходящие из одной точки. Прямые эти называются с т о р о н а м и угла, а точка, в которой они сходятся, – вершиной угла.

Для обозначения углов употребляют три буквы: две ставятся у сторон, третья – у вершины. Называя угол, начинают с буквы, стоящей у одной стороны, затем называют букву у вершины и, наконец, – букву возле другой стороны. В том же порядке и записывают углы. Например, верхний угол фигуры черт. 12 есть ABC(или СВА); левый угол той же фигуры – ВАС, правый – АСВ (последние два угла можно также назвать CAB и ВСА).

Употребляются и иные способы обозначения углов. Можно, например, называть одну только букву, стоящую у вершины: верхний угол фигуры черт. 12 можно по этому способу назвать: у г. В. Но угол ВАС нельзя назвать «уг. А», так как у точки А лежат вершины двух углов: ВАС и BAD.

Нередко обозначают угол м а л о й буквой или цифрой, ставя их в н у т р и угла, близ вершины. Например, уг. ABCможно обозначить как «уг. а», уг. ВАС – как «уг. 1». Между сторонами угла проводят иногда для ясности дужку (см. уг. 1 черт. 12).

Повторительные вопросы

Какая фигура называется углом? – Покажите на чертеже, где вершина угла, и где его стороны? – Какие вы знаете способы обозначения углов?

§ 5. Сравнение углов. Сложение и вычитание углов

Углы различают по их величине. Большим считается не тот угол, стороны которого длиннее, а тот, стороны которого сильнее расходятся врозь. На черт. 13 уг. EDF больше, чем угол 2, потому, что у первого стороны сильней расходятся врозь. Встречаются углы, стороны которых расходятся врозь совершенно одинаково; такие углы можно наложить один на другой так, что их вершины совпадут, а стороны сольются. Углы, которые можно таким образом наложить друг на друга, считаются равными, хотя бы стороны их были неодинаковой длины.

На черт. 13 равны, например, уг. DEH и уг. DFH, уг. 2 и уг. а; вы можете убедиться в этом, есля обведете один угол на прозрачной бумаге и покроете им другой.

Если при наложении сравниваемых углов их вершины и одна сторона совпали, вторая же сторона накладываемого угла оказалась внутри или вне другого угла, то такие углы, конечно, не равны. Тот угол, который оказался внутри другого, считается меньшим.

Рассмотрите на том же черт. 13 углы, вершины которых лежат в точке D. Здесь три угла: уг. EDF, уг. EDHи уг. HDF. Вы видите, что оба меньших угла как раз заполняют собою уг. EDF, который составляется из них, как целое из своих частей. Когда углы так расположены, то говорят, что уг. EDFесть с у м м а углов EDHи HDF. С л о ж и т ь два угла значит найти их сумму, т. е. тот угол, который составится, если приложить их друг к другу, как показано на чертеже 13.

Если на черт. 13 от угла EDFотнять угол EDH, то останется уг. HDF; этот. угол называется р а з н о с т ь ю углов EDFи EDH. Вычесть один угол из другого значит найти их разность.

Повторительные вопросы

Какие углы называются равными? – Зависит ли величина угла от длины сторон? – Покажите на чертеже, что называется суммой и разностью двух углов.

§ 6. Развернутый угол

Представьте себе, что мы разводим врозь стороны какого-нибудь угла, – напр. уг. 1 (черт. 14). От этого угол станет увеличиваться: он превратится сначала в уг. 2, потом в уг. 3 и, наконец, в уг. 4, стороны которого составляют одну прямую линию. Такие углы, как уг. 4, называются р а з в е р н у т ы м и углами.

Может ли один развернутый угол быть больше или меньше другого развернутого? Конечно, нет: ведь всякие прямые линии, если их наложить одну на другую, сливаются между собою; значит, должны слиться при наложении и всякие развернутые углы. Итак:

В с е р а з в е р н у т ы е у г л ы р а в н ы м е ж д у с о б о ю.

§ 7. Смежные углы. Прямой угол

На черт. 15 вы видите углы 1 и 2, которые расположены так, что вершины их совпадают (в точке А) и одна сторона (AD) у них общая, т. е. принадлежит одновременно обоим углам, другие же стороны АВ и АС этой пары углов составляют одну прямую линию. Углы, которые так расположены, называются с м е ж н ы м и. На черт. 16 вы видите несколько пар смежных углов: уг. 1 и уг. 2; уг. 3 и уг. 4; уг. 5 и у г. 6; у г. а и у г. b; уг. с и у г. d, и др.

Если углы, составляющие одну пару смежных углов, равны между собою, – как уг. 7 и 8 на черт. 16, – то каждый из них называется прямым углом. Значит:

П р я м о й у г о л е с т ь о д и н и з д в у х р а в н ы х с м е ж н ы х у г л о в.

Так как оба равных смежных угла составляют вместе один развернутый угол, то прямой угол есть половина развернутого угла. Но все развернутые углы равны друг другу; поэтому равны и их половины, т. е. прямые углы. Значит:

В с е п р я м ы е у г л ы р а в н ы д р у г д р у г у.

Прямые линии, встречающиеся под прямым углом (черт. 17), называются перпендикулярными друг к другу. На черт. 17, например, уг. 1 = уг. 2, а так как эти углы смежные и притом равные, то они – прямые. Поэтому CDперпендикулярно к АВ и АВ перпендикулярно к CD.

Слово «перпендикулярный» не надо смешивать со словом «вертикальный». В е р т и к а л ь н о й, или о т в е с н о й, называют всякую прямую линию, имеющую направление свободно свешивающейся нагруженной нити.