5b. Электричество и магнетизм - Ричард Фейнман

§ 4. Уравнения электростатики для диэлектриков

Давайте теперь свяжем полученные нами результаты с тем, что мы уже узнали в электростатике. Основное уравнение имеет вид

(10.17)

где r — плотность всех электрических зарядов. Поскольку уследить за поляризационными зарядами непросто, удобно разбить r на две части. Обозначим снова через rпол заряды, появляющиеся за счет неоднородной поляризации, а остальную часть назовем rсвоб. Обычно rсвоб означает заряд, сообщаемый проводникам или распределенный известным образом в про­странстве. В этом случае уравнение (10.17) приобретает вид

или

(10.18)

Уравнение для ротора от Е, конечно, не меняется:

(10.19)

Подставляя Р из уравнения (10.8), получаем более простое уравнение:

(10.20)

Это и есть уравнения электростатики в присутствии диэлектри­ков. Они, конечно, не дают ничего нового, но имеют вид, более удобный для расчетов в тех случаях, когда rсвоб известно, а поляризация Р пропорциональна Е.

Заметьте, что мы не вытащили «константу» диэлектрической проницаемости x за знак дивергенции. Это потому, что она может не быть всюду одинаковой. Если она повсюду одинакова, то ее можно выделить в качестве множителя и уравнения станут в точности обычными уравнениями электростатики, где только rсвоб нужно поделить на x. В написанной нами форме уравне­ния годятся в общем случае, когда в разных местах поля рас­положены разные диэлектрики. В таких случаях решить урав­нения иногда бывает очень трудно.

Здесь следует отметить один момент, имеющий историческое значение. На заре рождения электричества атомный механизм поляризации не был еще известен и о существовании rпол не знали. Заряд rсвоб считался равным всей плотности зарядов. Чтобы придать уравнениям Максвелла простой вид, вводили новый вектор D как линейную комбинацию Е и Р:

(10.21)

В результате уравнения (10.18) и (10.19) записывались в очень простом виде:

(10.22)

Можно ли их решить? Только когда задано третье уравне­ние, связывающее D и Е. Если справедливо уравнение (10.8), то эта связь есть

(10.23)

Последнее уравнение обычно записывается так:

(10.24)

где e — еще одна постоянная, описывающая диэлектрические свойства материалов. Она также называется «проницаемостью». (Теперь вы понимаете, почему в наших уравнениях появилось e0, это «проницаемость пустого пространства».) Очевидно.

(10.25)

Сейчас мы рассматриваем эти вещи уже с другой точки зрения, а именно что в вакууме всегда имеются самые простые уравнения, и если в каждом случае учесть все заряды, какова бы ни была причина их возникновения, то они всегда справед­ливы. Выделяя часть зарядов либо из соображений удобства, либо потому, что мы не хотим вникать в детали процесса, мы всегда можем при желании написать уравнения в любой удоб­ной для нас форме.

Сделаем еще одно замечание. Уравнение D = eE пред­ставляет собой попытку описать свойства вещества. Но веще­ство исключительно сложно по своей природе, и подобное уравнение на самом деле неправильно. Так, если Е становится очень большим, D перестает быть пропорциональным Е. В некоторых веществах пропорциональность нарушается уже при достаточно слабых полях. Кроме того, «константа» про­порциональности может зависеть от того, насколько быстро Е меняется со временем. Следовательно, уравнение такого типа есть нечто вроде приближенного уравнения типа закона Гука. Оно не может быть глубоким, фундаментальным уравнением. С другой стороны, наши основные уравнения для Е (10.17) и (10.19) выражают наиболее полное и глубокое понимание электростатики.

§ 5. Поля и силы в присутствии диэлектриков

Мы докажем сейчас ряд довольно общих теорем электроста­тики для тех случаев, когда имеются диэлектрики. Мы уже видели, что емкость плоского конденсатора при заполнении его диэлектриком увеличивается в определенное число раз. Сейчас можно показать, что это верно для емкости любой формы, если вся область вокруг двух проводников заполнена одно­родным линейным диэлектриком. В отсутствие диэлектрика уравнения, которые требуется решить,

такие:

Когда имеется диэлектрик, первое из этих уравнений изменяет­ся, и мы получаем

(10.26)

Далее, поскольку мы считаем и всюду одинаковой, последние два уравнения можно записать в виде

(10.27)

Следовательно, для хЕ получаются такие же уравнения, как для Е0, и тогда они имеют решение хЕ = Е0. Другими сло­вами, поле всюду в х раз меньше, чем в отсутствие диэлектрика. Поскольку разность потенциалов есть линейный интеграл от поля, она уменьшится во столько же раз. А так как заряд на электродах конденсатора в обоих случаях тот же самый, то уравнение (10.2) говорит, что емкость в присутствии всюду однородного диэлектрика увеличивается в х раз.

Зададимся теперь вопросом, как взаимодействуют два за­ряженных проводника в диэлектрике. Рассмотрим жидкий диэлектрик, повсюду однородный. Мы уже видели раньше, что один из способов найти силу — это продифференцировать энер­гию по соответствующему расстоянию. Если заряды на про­водниках равны и противоположны по знаку, то энергия U — QZ/2C, где С — их емкость. С помощью принципа вир­туальной работы любая компонента силы получается некоторым дифференцированием; например,

(10.28)

Поскольку диэлектрик увеличивает емкость в х раз, все силы уменьшатся в такое же число раз.

Однако все это не так просто. Сказанное справедливо, только если диэлектрик жидкий. Любое перемещение провод­ников, окруженных твердым диэлектриком, изменяет условия механических напряжений в диэлектрике и его электрические свойства, а также несколько меняет механическую энергию диэлектрика. Движение проводников в жидкости не меняет свойств жидкости. Жидкость перетекает в другое место, но ее электрические свойства остаются неизменными.

Во многих старых книгах по электричеству изложение на­чинается с «основного» закона, по которому сила, действующая между двумя зарядами, есть

(10.29)

а эта точка зрения абсолютно неприемлема. Во-первых, это не всегда верно; это справедливо только в мире, заполненном жидкостью; во-вторых, так получается лишь для постоянного значения х, что для большинства реальных материалов вы­полняется приближенно.

Гораздо легче начинать со всегда справедливого (для непод­вижных зарядов) закона Кулона для зарядов в вакууме.

Что же происходит с зарядами в твердом теле? На это трудно ответить, потому что даже не вполне ясно, о чем идет речь. Если вы вносите заряды внутрь твердого диэлек­трика, то возникают всякого рода давления и напряжения. Вы не можете считать работу виртуальной, не включив сюда также механическую энергию, необходимую для сжатия тела, а отличить однозначным образом электрические силы от механических, возникающих за счет самого материала, вообще говоря, очень трудно. К счастью, никому на самом деле не бывает нужно знать ответ на предложенный вопрос. Иногда нужно знать величину натяжений, которые могут возникнуть в твердом теле, а это можно вычислить. Но результаты здесь оказываются гораздо сложнее, чем простой ответ, полученный нами для жидкостей.

Неожиданно сложной оказывается следующая проблема в теории диэлектриков: почему заряженное тело подбирает ма­ленькие кусочки диэлектрика? Если вы в сухой день причесы­ваетесь, то ваша расческа потом легко будет подбирать маленькие кусочки бумаги. Если вы не вдумались в этот вопрос, то, вероятно, сочтете, что на расческе заряды одного знака, а на бумаге противоположного. Но бумага ведь была сначала элект­рически нейтральной. У нее нет суммарного заряда, а она все же притягивается. Правда, иногда бумажки подскакивают к расческе, а затем отлетают, сразу же отталкиваясь от нее. Причина, конечно, заключается в том, что, коснувшись рас­чески, бумага сняла с нее немного отрицательных зарядов, а одноименные заряды отталкиваются. Но это все еще не дает ответа на первоначальный вопрос. Прежде всего, почему бу­мажки вообще притягиваются к расческе?

Ответ заключается в поляризации диэлектрика, помещен­ного в электрическое поле. Возникают поляризационные заряды обоих знаков, притягиваемые и отталкиваемые расческой. Однако в результате получается притяжение, потому что поле поблизости от расчески сильнее, чем вдали от нее, ведь расческа не бесконечна. Ее заряд локализован. Нейтральный кусочек бумаги не притянется ни к одной из параллельных пластин конденсатора. Изменение поля составляет существенную часть механизма притяжения.