Магия математики: Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин

Это справедливо в отношении всех четырех пар смежных углов, то есть

Если вычесть второе уравнение из первого, получится, что a – c = 0. Следовательно,

А вычитание третьего уравнения из второго приведет нас к

Так у нас получаются еще две пары углов – a и с и b и d, которые называются вертикальными. Ну а теорему вертикальных углов, утверждающую их равенство, мы с вами только что доказали.

Осторожно, двери закрываются! Следующая остановка – доказательство того, что сумма углов абсолютно любого треугольника равна 180°. Но сначала – несколько фактов о параллельных прямых. Две прямые считаются параллельными, если они никогда – ни на видимом отрезке, ни в бесконечности – не пересекаются. Посмотрите на рисунок: вот две параллельные прямые (l1 и l2), а вот – третья прямая (l3), непараллельная им и, следовательно, пересекающая их в точках P и Q соответственно. Приглядитесь чуть внимательнее: l3 «разрезает» l1 и l2 абсолютно одинаково, под одним и тем же углом, то есть a = e. Углы a и e в таком случае являются соответственными (равно как b и f, c и g, d и h). Равенство их настолько очевидно, что вполне может считаться аксиоматичным, хотя и не может быть доказано ни одним из пяти евклидовых постулатов. Значит, теперь у нас есть новая аксиома.

Аксиома соответственных углов: Соответственные углы всегда равны.

В соединении с теоремой вертикальных углов аксиома говорит нам, что, согласно рисунку выше,

(Книги по математике в большинстве своем предлагают специальные названия для каждой из возможных пар: углы a и g, например, образующие фигуру, которая напоминает латинскую букву Z, называются внутренними накрест лежащими.) Эти равенства говорят нам, что любой из этих 8 углов равен своему парному вертикальному, своему парному соответственному и своему парному внутреннему накрест лежащему. Понимание этого нужно нам, чтобы доказать одну из основных теорем геометрии.

Теорема: Сумма углов любого треугольника равна 180°.

Доказательство: Возьмем треугольник ABC (см. рисунок) с углами a, b и c. Через его вершину (то есть точку B) проведем прямую, параллельную его же основанию (то есть прямой, проходящей через точки A и С).

Образовавшиеся при этом углы d и e вместе с углом b образуют линию, поэтому d + b + e = 180°. Обратите внимание, что углы a и d и углы c и e при этом являются внутренними накрест лежащими, следовательно, d = a, а e = c, что приводит нас к a + b + c = 180°, что и требовалось доказать.

Теорема о сумме углов треугольника, равной 180°, крайне важна для понимания сути планиметрии. В других же геометрических системах она не работает совершенно: для примера можно спроецировать тот же треугольник на сферу-«глобус», причем так, чтобы он начинался на «северном полюсе», спускался к «экватору» вдоль любой из «линий долготы», там заворачивал направо в первый раз, а после прохождения четверти «планеты» – и во второй, возвращаясь к «северному полюсу». Получившийся таким образом треугольник будет иметь три прямых угла, дающих вместе не 180, а целых 270°. В сферической геометрии сумма углов треугольника есть величина непостоянная: она все больше отдаляется от значения в 180° при малейшем увеличении его площади и находится к ней в прямой пропорциональной зависимости.

На занятиях по геометрии в школе или университете очень много внимания уделяется доказательству конгруэнтности объектов: это значит, что, перемещая, вращая или отображая зеркально одну фигуру, мы можем получить совпадающую с ней другую. Например, изображенные на рисунке треугольники ABC и DEF являются конгруэнтными, поскольку при смещении влево треугольник DEF полностью совпадет с треугольником ABC. На рисунке это показано с помощью специальных меток: если соответствующие стороны или углы двух фигур маркированы одинаковым количеством черточек, они равны.

Для этого даже есть специальный математический символ – ≅; наша запись, таким образом, будет выглядеть как ABC ≅ DEF, что значит, что стороны обоих треугольников и их углы идеально друг с другом совпадают: стороны AB, BC и CA равны сторонам DE, EF и FD (соответственно), а углы по вершинам A, B и C равны углам по вершинам D, E и F (также соответственно). Именно это мы и имеем в виду, когда отмечаем одинаковым количеством черточек совпадающие стороны и углы этих двух по сути разных (хоть и равных) треугольников.

Остальное – дело техники. Если вы, например, имеете дело с двумя равносторонними треугольниками и знаете, что углы двух из трех пар равны (допустим, ∠A = ∠D и ∠B = ∠E), вы можете смело утверждать, что равными будут углы и третьей пары – а значит, треугольники являются конгруэнтными. Информации тут даже больше, чем нужно: нам вполне достаточно знать, что равными будут боковые стороны треугольников (AB = DE и AC = DF) и углы между ними (∠A = ∠D). А дальше все просто: BC = EF, ∠B = ∠E, а ∠C = ∠F. Из этого вытекает аксиома конгруэнтности треугольников по двум сторонам и лежащему между ними углу.

Это именно аксиома, а не теорема, поскольку доказать ее с помощью уже существующих аксиом невозможно. Зато, принятая на веру, она ложится в основу других не менее полезных теорем конгруэнтности а) по трем сторонам; б) по одной стороне и двум прилежащим к ней углам; и в) по двум углам и прилежащей к одному из них стороне. (Не существует только теоремы конгруэнтности по двум сторонам и прилежащему к одной из них углу: для стопроцентной уверенности угол все же должен находиться между сторонами.) Самой интересной из них мне кажется теорема а), ведь изначально в ней вообще никак не упоминаются углы, равенство которых доказывается через равенство сторон.

Но вернемся к аксиоме по двум сторонам и углу между ними и докажем с ее помощью одну замечательную теорему, касающуюся равнобедренных треугольников. Равнобедренным называется такой треугольник, две из трех сторон которого имеют одинаковую длину. (И кстати, уж коли об этом зашла речь – есть и другие виды треугольников: равносторонние – в которых все три стороны равны; прямоугольные – в которых один угол равен 90°; остроугольные – в которых все три угла меньше 90°; и, наконец, тупоугольные – в которых один угол больше 90°.)

Теорема о равнобедренном треугольнике: Если в равнобедренном треугольнике ABC стороны AB и AC равны, противолежащие этим сторонам углы будут также равны.

Доказательство: Из точки A проведем линию так, чтобы она делила ∠A ровно пополам и пересекала отрезок BC в точке X, как на рисунке. Это биссектриса угла A.

Получившиеся таким образом треугольники BAX и CAX являются конгруэнтными согласно аксиоме по двум сторонам и лежащему между ними углу: BA = CA (что следует из понятия равнобедренности), ∠BAX = ∠CAX (что следует из понятия биссектрисы), а AX = AX (вернее, не так: отрезок AX не уникален, он появляется одновременно в двух треугольниках и не меняет свою длину). А так как BAX ≅ CAX, также равны будут и остальные стороны и углы, в том числе ∠B = ∠C, что и требовалось доказать.◻