Том 37. Женщины-математики. От Гипатии до Эмми Нётер - Хоакин Наварро

Джулия с мужем Рафаэлем Робинсоном.

Джулия и Рафаэль хотели завести ребенка, и Джулия стала уделять математике меньше времени, готовясь стать матерью. Она забеременела, но, к несчастью, потеряла плод. Возможно, тем самым она спасла себе жизнь: врач обнаружил в митральном клапане Джулии рубцовую ткань и сообщил супругам, что ее слабое сердце не выдержит еще одной беременности. Более того, доктор признался мачехе Джулии, что если ее падчерица доживет до 40 лет, это будет чудом. Молодая пара была вынуждена остаться бездетной. Чтобы справиться с депрессией, Джулия при поддержке Рафаэля с головой ушла в математику.

В 1946 году она получила степень доктора под руководством выдающегося математика Альфреда Тарского (1902–1983), защитив диссертацию о проблемах разрешимости в арифметике рациональных чисел (Definability and Decision Problems in Arithmetic). Джулия столкнулась с подобными проблемами впервые, и, по всей видимости, они произвели на нее неизгладимое впечатление. Именно Тарский первым заговорил с подопечной о диофантовых уравнениях.

За исключением всего двух важных статей, все математические труды Джулии Робинсон касались десятой проблемы Гильберта (о ней мы более подробно поговорим далее) и проблем разрешимости. Первая из этих двух статей (A Note on Exact Sequential Analysis) была посвящена аналитико-статистической задаче и написана в период совместной работы с Нейманом. Во второй статье, опубликованной в 1951 году, во время короткого периода работы в корпорации RAND (ведущем американском мозговом центре), рассматривалось решение проблемы равновесия Нэша в теории игр, в то время находившейся на пике популярности, называлась эта работа «Итеративный метод решения игр» (An Iterative Method of Solving a Game).

Как видите, Джулия Робинсон и диофантовы уравнения были словно созданы друг для друга.

Диофантово уравнение — это уравнение с одной или несколькими неизвестными с целыми коэффициентами, решения которого принадлежат множеству целых чисел . Эти уравнения названы в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского (ок. 200–214 — ок. 284–298), который посвятил им целый трактат — «Арифметику». Примером диофантового уравнения является уравнение с тремя неизвестными

х2 + у2 = z2.

Как вы знаете, это уравнение выражает теорему Пифагора, и еще с глубокой древности известно, что оно имеет бесконечно много решений. В параметрическом виде решениями этого уравнения являются тройки чисел вида:

х = m2 — n2,

у = 2mn,

z = m2 + n2,

где m и n — целые числа. Такие тройки чисел называются пифагоровыми и известны уже много веков. Намного интереснее выглядят тройки ненулевых чисел х, у, z, когда выполняется условие

хn + уn = zn, n > 2.

В этом случае указанное диофантово уравнение не имеет решений. Так формулируется знаменитая теорема Ферма, доказанная в 1995 году. Десятая проблема Гильберта была не столь «простой» и звучала принципиально иначе: в ней требовалось найти алгоритм, позволяющий определить, имеет ли решения произвольное диофантово уравнение. К счастью, сегодня мы знаем, что такого алгоритма не существует. Для решения десятой проблемы Гильберта потребовалось не 300 лет, как на доказательство теоремы Ферма, но целых 70, а также ряд блестящих идей.

В 1961 году, когда Джулии было чуть за 40, прогнозы врачей подтвердились: ей потребовалась операция на сердце. К счастью, кардиохирургия в те годы была уже достаточно развитой, и лечение прошло успешно. Однако сердце Джулии было слишком слабым, и ей нельзя было перенапрягаться. В результате, когда в 1976 году она стала профессором Калифорнийского университета в Беркли, руководству пришлось согласиться с тем, что преподавать Джулия будет всего на четверть ставки. После операции Джулии порекомендовали езду на велосипеде, и она отдалась этому занятию с такой страстью, что стала покупать велосипеды один за другим, стремясь найти самый легкий и управляемый. Ее муж жаловался: «Другие жены покупают пальто или бриллиантовые браслеты, а моя жена покупает велосипеды».

В 1984 году у Джулии Робинсон обнаружили лейкемию. Благодаря лечению болезнь отступила, но ненадолго: исследовательница умерла в 1985 году.

Десятая проблема Гильберта

На математическом конгрессе 1900 года Давид Гильберт, ведущий математик мира, представил список из 23 нерешенных задач. Решение этих задач, по его мнению, означало бы существенное развитие математики. Гильберт предполагал (для тех времен такая точка зрения была вполне логичной), что любая проблема имеет решение, и рано или поздно все 23 его проблемы будут решены. Сегодня нам известно, что Гильберт ошибался: спустя много лет Курт Гёдель доказал, что существуют задачи, парадоксальным образом не имеющие решения. Между прочим, одной из подобных неразрешимых проблем оказалась континуум-гипотеза — первая же проблема в списке Гильберта. Вне зависимости от того, будем мы считать континуум-гипотезу истинной или ложной, в рамках формальной логики мы никогда не придем к какому-либо противоречию.

Диофантовыми называются полиномиальные уравнения вида

Р(х1, х2, …, хn) = 0

с решениями и коэффициентами на множестве . Проблема Гильберта под номером 10 звучала так: существует ли алгоритм или метод, позволяющий определить, имеет ли решения произвольное диофантово уравнение? В конце концов в 1970 году было доказано, что такого алгоритма не существует. Десятая проблема Гильберта допускает бесконечное множество случаев. Известны подмножества случаев, для которых искомый спасительный алгоритм существует, однако в задаче требуется найти универсальный алгоритм для всех возможных случаев. К примеру, алгоритм Евклида позволяет решить диофантовы уравнения вида

ax ± by = с,

но не уравнения произвольного вида (указанные уравнения имеют решения тогда и только тогда, когда НОД (а, Ь) является делителем с). Путь к решению десятой проблемы Гильберта непрост, и многие не сразу поймут его. Но мы все же попытаемся описать ее решение, пусть и очень поверхностно.

В 1950 году Джулия Робинсон, применив некоторые свойства уравнения Пелля, не смогла доказать, что определенное числовое множество, которое мы обозначим JR в честь Джулии Робинсон (его нельзя построить, но можно определить в терминах общей арифметики), является диофантовым (см. врезку, посвященную Алану Тьюрингу), но не вычислимым. Множество JR обладало некоторыми интересными свойствами — в частности, его элементы возрастали по экспоненциальному закону.