Математические головоломки профессора Стюарта - Иэн Стюарт

Стандартный метод нахождения численных аппроксимаций начинается со случайно выбранного комплексного числа; затем особым образом вычисляется второе число, а затем процесс повторяется, пока числа не сблизятся. Результат, полученный таким образом, близок к решению. К какому именно из трех решений он близок, зависит от того, где вы начинаете, и происходит это весьма хитроумным образом. Предположим, мы окрасим точки на комплексной плоскости в соответствии с тем, к какому решению они ведут: пусть, к примеру, это будет серый цвет, если решение x = 1, светло-серый, если решение и темно-серый, если решение Тогда точки, окрашенные в заданный оттенок серого, обозначат область, и можно доказать, что все три области имеют одну и ту же границу.

В отличие от построения Вады, области здесь не являются связными: они разбиваются на бесконечное множество отдельных кусочков. Однако поразительно, что области такой сложности возникают естественно в такой фундаментальной задаче численного анализа.

Последний лимерик Ферма[28]

И стар и млад в науке шаткойЛет триста бились над загадкой.Наконец-то решенье:Прав Ферма, прочь сомненья…Толстый том плюс к той записи краткой.

Ошибка Малфатти

Из мемуаров доктора Ватсапа

– Необычайно! – воскликнул я.

Сомс бросил в мою сторону недовольный взгляд, очевидно раздраженный тем, что его прервали, – в тот момент он с упоением копался в своей обширной коллекции гипсовых отпечатков беличьих следов.

– Ответ кажется очевидным, но тем не менее, судя по всему, неверен! – воскликнул я.

– С очевидным это бывает, – заметил Сомс. – В смысле, оказывается неверным, – добавил он тоном пояснения.

– Слышали когда-нибудь о Джан-Франческо Малфатти? – спросил я.

– Убийца с топором?

– Нет, Сомс, это был Фрэнк Макавити по прозвищу Хакер.

– Ах. Мои извинения, Ватсап, вы, разумеется, правы. Я отвлекся. Мой образец следов Ratufa macroura разрушается. Большехвостая гигантская белка.

– Малфатти был итальянским геометром, Сомс. В 1803 г. он заинтересовался вопросом о том, как высечь из клиновидного куска мрамора три цилиндрические колонны так, чтобы максимизировать их суммарный объем. Он предположил, что эта задача эквивалентна тому, чтобы вычертить на треугольном сечении куска мрамора три окружности так, чтобы максимизировать их суммарную площадь.

– Наивное, но, вероятно, верное предположение, – отозвался Сомс. – Хотя колонну, конечно, можно высечь и наискось.

– О-о, я не имел в виду… Но допустим, что его предположение было верным, поскольку вопрос всегда можно нужным образом переформулировать. Малфатти считал очевидным, что решение должно состоять из трех кругов, касающихся друг друга и двух внешних сторон треугольника.

– Понятно, в чем тут промах, – сказал Сомс тем раздражающе небрежным тоном, которым он часто пользуется, когда ему удается мгновенно схватить суть дела, не доступную большинству прочих смертных.

– А я, откровенно говоря, не понимаю, – сказал я. – Ведь если круг лежит внутри треугольника, не перекрывается другими кругами и не касается сторон и соседей так, как описано, то его можно увеличить.

– Верно, – отозвался Сомс. – Но это лишь доказывает достаточность, но не необходимость условий касания.

– Это я понимаю, Сомс. Но… как еще могли бы располагаться круги?

– Ну, касание может быть организовано и другими способами, конечно. К примеру, Ватсап: вы рассматривали простейший случай, с равносторонним внешним треугольником?

– Во-первых, – сказал Сомс, – есть вариант Малфатти, на рисунке слева. Но как насчет варианта справа? Здесь опять же ни один круг не может быть увеличен, но схема касаний иная. Маленькие круги касаются большого, но не касаются друг друга. Вместо этого есть большой круг, который касается всех трех сторон треугольника.

Я вгляделся в рисунки.

– На глаз, Сомс, в первом варианте площадь больше.

Он рассмеялся.

– Что показывает лишь, насколько легко наш глаз обмануть, Ватсап. Предположим, что стороны треугольника имеют единичную длину. Тогда вариант Малфатти имеет площадь 0,31567, но площадь второго варианта составляет 0,31997, то есть немного больше.

Бывают моменты, когда от эрудиции Сомса буквально перехватывает дыхание.

– Может быть, разница и невелика, Сомс, но вывод ясен. Малфатти ошибся.

– В самом деле. Мало того, Ватсап, разница между вариантом Малфатти и правильным решением в некоторых случаях может оказаться намного больше. К примеру, если треугольник будет длинным, тонким и равнобедренным, то верным решением будет расположить круги один на другом, и площадь такого варианта будет почти вдвое превосходить вариант Малфатти.

Он сделал паузу, чтобы швырнуть раскрошившийся гипсовый отпечаток следов Ratufa macroura через всю комнату в камин.

– Ирония в том, – добавил он наконец, – что вариант Малфатти никогда не бывает лучшим. «Жадный» алгоритм – вписать в треугольник наибольший возможный круг, затем найти наибольший круг, который вписывается в оставшиеся промежутки, и напоследок проделать то же самое в третий раз – всегда лучше и всегда приводит к верному ответу.

Дополнительную информацию см. в главе «Загадки разгаданные».

Квадратные остатки

Полные квадраты заканчиваются на одну из цифр 0, 1, 4, 5, 6 или 9. Они не могут заканчиваться на 2, 3, 7 или 8. Более того, последняя цифра квадрата числа зависит только от последней цифры этого числа.

Если число заканчивается на 0, то его квадрат тоже заканчивается на 0.

Если число заканчивается на 1 или 9, то его квадрат заканчивается на 1.

Если число заканчивается на 2 или 8, то его квадрат заканчивается на 4.

Если число заканчивается на 5, то его квадрат тоже заканчивается на 5.

Если число заканчивается на 4 или 6, то его квадрат заканчивается на 6.

Если число заканчивается на 3 или 7, то его квадрат заканчивается на 9.

Специалисты по теории чисел предпочитают описывать подобные эффекты с помощью целых чисел по некоторому модулю. Если взять модуль 10, то достаточно рассмотреть только числа 0–9: возможные остатки от деления любого числа на 10. Их квадраты (по модулю 10) равны

0 1 4 9 6 5 6 9 4 1

и приведенный выше список правил для определения последней цифры квадрата по последней цифре числа – это всего лишь другой способ сказать то же самое.

За исключением начального 0, список квадратов (по модулю 10) симметричен: числа 1, 4, 9, 6 после 5 повторяются в обратном порядке: 6, 9, 4, 1. Симметрия возникает благодаря тому, что квадраты n и 10 – n по модулю 10 равны. В самом деле, 10 – n – то же, что – n (mod 10), а n² = (−n)². Поэтому данные четыре числа в списке фигурируют дважды; 0 и 5 встречаются там только по одному разу, а 2, 3, 7, 8 не встречаются вовсе. Это не слишком демократично, но это так.

Что происходит, если мы берем другой модуль? Величины квадратов по этому модулю называются квадратичными вычетами. (Здесь под «вычетом» подразумевается остаток от деления на модуль.) Остальные цифры при этом становятся квадратичными невычетами.

Предположим, к примеру, что модуль равен 11. Тогда возможные полные квадраты (чисел, меньших 11) равны

0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100.

По модулю 11 это дает

0 1 4 9 5 3 3 5 9 4 1.

Таким образом, квадратичные вычеты (по модулю 11) – это

0 1 3 4 5 9.

А невычеты – это

2 6 7 8.

Приведем небольшую таблицу.

На первый взгляд, никаких особенных закономерностей, кроме уже упомянутых, не заметно. На самом деле этим отчасти и интересна данная область математики: хотя шаблоны существуют, отыскать их непросто. Многие величайшие математики, в том числе Эйлер и Карл Фридрих Гаусс, уделяли внимание этой области.

Возводя число в квадрат, мы умножаем его на самого себя, а там, где речь заходит об умножении, в теории чисел главную роль всегда играют простые числа. Поэтому стоит начать с простых модулей – 2, 3, 5, 7, 11 – в приведенном списке. Модуль 2 уникален: единственные возможные вычеты по модулю 2 – это 0 и 1, и оба они являются полными квадратами. Для всех остальных простых чисел примерно половина вычетов являются квадратами, а остальные – не являются. Точнее, если p – простое число, то существует (p + 1)/2 различных квадратичных вычетов и (p − 1)/2 невычетов. Квадратичные вычеты обычно являются квадратами двух различных чисел, n² и (– n)² для подходящего n. Однако 0 встречается в списке лишь однажды, потому что –0 = 0.