Истина в пределе. Анализ бесконечно малых - Антонио Дуран

Однако один из аспектов математики Архимеда и древнегреческой математики вообще радикально изменился. Речь идет о логической строгости изложения. Математика XVII века была намного менее строгой и четкой, чем древнегреческая. Может показаться, что это был шаг назад, однако именно эта смена парадигмы в итоге позволила преодолеть границы, обозначенные в древнегреческой математике, и, в частности, создать математический анализ. В отличие от ученых Древней Греции, математиков XVII века интересовали открытия, а не безупречно строгие доказательства.

Чем была вызвана эта смена парадигмы? Этому можно привести различные объяснения, в том числе и философские: ученые XVII века не находились под влиянием философии Платона, которой и была обусловлена строгость логического изложения, свойственная греческой математике. Причины этому могут носить исторический характер: XVI и XVII века были временем самых разнообразных открытий: географических (открытие Америки в конце XV века стало результатом не точных логических рассуждений, а, напротив, ошибки Колумба при вычислении радиуса Земли), астрономических (гелиоцентрическая теория Коперника), медицинских (кровообращение) и технических (изобретение книгопечатания Гуттенбергом, создание микроскопа и телескопа).

Математики предпочитали уделять основное внимание разработке новых методов, с помощью которых можно было совершать открытия, не заботясь о логической строгости этих методов. В рамках такого подхода бесконечность использовалась без аристотелевских ограничений, и бесконечно малые и бесконечно большие величины стали применяться очень широко. Изначально они применялись для вычисления площадей, объемов, углов наклона касательных, центров тяжести, максимумов, минимумов и так далее. Решением этих задач занималась целая плеяда математиков начала XVII века, так называемые предшественники математического анализа. Позднее бесконечно малые позволили Ньютону и Лейбницу создать две похожие версии анализа бесконечно малых. Наконец, уже в XVIII веке Эйлер, несомненно, великий знаток бесконечного, создал математический анализ, в котором функции изучались с помощью методов анализа бесконечно малых.

Если говорить об обстоятельствах, способствовавших созданию исчисления, следует упомянуть еще об одном крупном направлении в математике XVII века — аналитической геометрии.

Существует еще одна причина, которую можно назвать теологической, благодаря которой в XVII веке бесконечность стала использоваться более свободно, чем в Древней Греции. Это связано с восприятием бесконечности как атрибута всемогущего христианского Бога. Следуя заветам Аристотеля, богословы отказывали человеку в возможности понять актуальную бесконечность, но им не оставалось другого выбора, кроме как перевести это понятие в область богословия. Так, Фома Аквинский рассматривал Бога как полную и всеобъемлющую актуальную бесконечность.

Такая трактовка достаточно часто встречается в трудах философов XVII века. Подтверждение этому мы находим у Декарта: «Мыслю некоего вышнего Бога — вечного, бесконечного, всеведущего, всемогущего, творца всех сущих, помимо него самого, вещей», а также: «Что же до Бога, я считаю его столь бесконечным, что к его совершенству ничего уже нельзя добавить»; у Спинозы: «Под Богом я разумею существо абсолютно бесконечное (ens absolute infinitum), то есть субстанцию, состоящую из бесконечно многих атрибутов, из которых каждый выражает вечную и бесконечную сущность», а также у Лейбница: «Следует считать, что эта божественная субстанция, неделимая, универсальная и непреложная, не должна иметь пределов и содержать всю реальность, какую только возможно».

Некоторые из этих философов также были учеными и математиками. Лейбниц, например, был одним из создателей математического анализа. Ньютон, еще один из отцов-основателей анализа, также был богословом и верил во всемогущего Бога.

Аналитическая геометрия позволила сопоставить кривым уравнения. Например, окружности единичного радиуса, то есть кривой, все точки которой отстоят на одну единицу от фиксированной точки, называемой центром, соответствует уравнение x2 + y2 = 1. Также стало возможным сопоставить уравнениям кривые, в результате чего математики смогли изучить намного больше кривых. Теперь, чтобы задать новую кривую, вместо определения ее геометрических свойств требовалось лишь написать соответствующее уравнение. Кроме того, стало возможным применение алгебраических методов для решения геометрических задач, в частности задач на вычисление площадей, определение углов наклона касательных и так далее.

На смену частным геометрическим методам пришли более общие — алгебраические. Например, расчет угла наклона касательной для разных кривых радикально отличался, а методы алгебры, в частности нахождение производной, позволяли определять угол наклона касательной одним и тем же способом для всех кривых. Для этого достаточно было использовать алгоритм, созданный на основе правил вычисления производной.

Следует осознать всю важность открытия этих общих правил, скрытых за неимоверным числом частных результатов, которые были накоплены за первые три четверти XVII века, Именно общие правила аналитической геометрии позволили Ньютону и Лейбницу стать первооткрывателями математического анализа.

Вычисление квадратуры и кубатуры

Вернемся в начало XVII века и расскажем подробнее о методах анализа бесконечно малых, ставших основой математического анализа. Начнем с методов вычисления площадей и объемов, или, говоря языком той эпохи, расчета квадратур и кубатур.

Из всех методов, появившихся в первой трети этого столетия для решения подобных задач, наиболее важным был метод неделимых, предложенный учеником Галилея, преподавателем Болонского университета Бонавентурой Кавальери (1598— 1647). В одном ряду с ним стоят только методы вычисления объема, разработанные Кеплером, которые использовались австрийскими виноделами при изготовлении бочек.

Можно сказать, что в основе метода неделимых лежали принципы, предложенные еще Архимедом. Кавальери рассматривал площади фигур как множество линий, объемы — как множество плоских сечений. Множество линий, образующих плоскую фигуру, Кавальери называл omnes linae («все линии»). Стало возможным сравнение площадей любых двух плоских фигур путем сравнения соответствующих им omnes linae: согласно Кавальери, «фигуры относятся друг к другу, как все их линии, взятые по любой регуле», как показано на иллюстрации.

Метод Кавальери был применим не только для расчета площадей, но также для расчета объемов тел. Он попытался разработать целую теорию неделимых, которая позволила бы доказать полученные им результаты без использования понятия бесконечности (как строили свои доказательства древнегреческие математики). Однако в его рассуждениях очевидно используется актуальная бесконечность. Это стало определенным преимуществом, так как именно явное присутствие бесконечности привело к тому, что метод Кавальери оказался более гибким, пусть и менее строгим, чем метод исчерпывания, к которому прибегали греки. С помощью своего метода неделимых Кавальери вычислил площадь фигур, ограниченных параболой общего вида xn для n = 3, 4, 5, 6 и 9. Тем самым он намного опередил Архимеда, который провел расчеты площади лишь для параболы и спирали, которым соответствовала функция х2.

По сравнению с открытыми позднее способами вычисления площадей и объемов метод неделимых Кавальери обладает рядом недостатков: он недостаточно общий, слишком зависит от геометрических рассуждений, не говоря уже о логической небезупречности. Однако этот метод позволил найти новые квадратуры и кубатуры и превзойти результаты, полученные древнегреческими математиками.

Кроме того, недостатки этого метода вскоре удалось преодолеть. Так, Эванджелиста Торричелли (1608—1647), друг Кавальери, мастерски использовал этот метод и нашел различные строгие доказательства в стиле древнегреческих математиков, а Ферма, Паскаль и Валлис, а также Роберваль (1602—1675) и его метод бесконечно малых преобразовали геометрический метод Кавальери в алгебраический, благодаря чему он стал более общим и его стало возможно применять более широко.

Перед рассказом о том, как Валлис усовершенствовал метод Кавальери, остановимся на личности Грегуара де Сен-Венсана (1584—1667), иезуита, ученика Христофора Клавия и придворного учителя короля Испании Филиппа IV. По поручению папы Григория XIII Сен-Венсан разработал новый календарь и поощрял занятия математикой среди иезуитов. Он совершил значимые открытия во многих областях. Так, он расширил геометрический метод интегрирования, который позднее оказал влияние на работы Паскаля. Однако эта работа была опубликована с заметным опозданием — лишь в 1647 году, хотя была завершена в конце 1620-х годов. К тому времени Сен-Венсан стал уделять больше внимания алгебраическим методам, разработанным под влиянием аналитической геометрии. Он также был автором работы о геометрических рядах, которую Гюйгенс рекомендовал к изучению Лейбницу. Результаты, полученные в этой работе, Сен-Венсан использовал в обсуждении знаменитой апории Зенона об Ахиллесе и черепахе. Он указывал, что Зенон не учел, что отрезки, которые нужно пройти Ахиллесу, образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2 и, несмотря на то что эта прогрессия имеет бесконечное множество членов, ее сумма является конечной. Однако наиболее значимым вкладом Сен-Венсана, на наш взгляд, является обнаружение связи между логарифмами и площадью фигуры, ограниченной гиперболой. Выражаясь языком той эпохи, он доказал, что если длина интервалов возрастает геометрически, то площадь фигуры увеличивается арифметически, что показано на иллюстрации.