Математические головоломки профессора Стюарта - Иэн Стюарт

(только более длинное и сложное), где e означает «ничего не делать». Записав формулы для четырех отражений и воспользовавшись подходящими алгебраическими методами, можно доказать, что такое уравнение не выполняется никогда. Подробности см.:

T. J. Dekker, On reflections in Euclidean spaces generating free products, Nieuw Archief voor Wiskunde 7 (1959) 57–60.

M. Elgersma and S. Wagon, Closing a Platonic gap, Mathematical Intelligencer in the press.

J. H. Mason, Can regular tetrahedrons be glued together face to face to form a ring? Mathematical Gazette 56 (1972) 194–197.

H. Steinhaus, Problem 175, Colloquium Mathematicum 4 (1957) 243.

S. Swierczkowski, On a free group of rotations of the Euclidean space, Indagationes Mathematicae 20 (1958) 376–378.

S. Swierczkowski, On chains of regular tetrahedra, Colloquium Mathematicum 7 (1959) 9–10.

Невозможный маршрут

– Как вы правильно сказали, вы их не видите, – сказал Сомс. – Вы же знаете мои методы: воспользуйтесь ими.

– Очень хорошо, Сомс, – ответил я. – Вы всегда говорили, что нужно отбросить все несущественное. Поэтому я повторю свои рассуждения, а чтобы устранить всякую мыслимую возможность ошибки, представлю задачу в простейшем виде. Я пронумерую области на карте – вот так. Их пять. Затем я нарисую диаграмму – кажется, она называется графом, – на которой схематически покажу эти области и связи между ними.

Он молчал с непроницаемым выражением лица.

– Мы должны попасть из области 1 в область 5, причем мост A должен быть последним. Если начинать из 1, единственным оставшимся вариантом будет пересечь мост B, затем неизбежно последуют C и D. Далее мы должны воспользоваться мостом E или F. Скажем, мы выбрали мост E. Далее мы не можем воспользоваться F, потому что это приведет нас в область 4, из которой далее пути для нас нет. Однако мы не можем воспользоваться и мостом A, потому что это приведет нас в область 1, из которой пути нет. То же произойдет, если мы выберем F вместо E. Я закончил.

– Почему, Ватсап?

– Потому, Сомс, что я исключил невозможное, – он поднял бровь. – Поэтому то, что останется, каким бы невероятным оно ни казалось, – продолжал я, – должно быть…

– Продолжайте.

– Но, Сомс, ничего не остается! Следовательно, задача не имеет решения!

– Неверно. Я уже сказал вам, что решений здесь восемь.

– Тогда вы, вероятно, солгали мне об условиях задачи.

– Нет.

– Тогда я в тупике. Что я упустил?

– Ничего.

– Но…

– Вы кое-что впустили, Ватсап. Вы слишком многое приняли за данность. Вы ошибочно решили, что маршрут не должен выходить за пределы нарисованной мной карты.

– Но вы же сказали, что дальше реки текут до границ Швейцарии и дальше, а нам нельзя пересекать границу.

– Да. Но на карте изображена не вся Швейцария. Откуда течет эта река?

– О-ох! – я хлопнул себя ладонью по лбу.

– Кто? Бог?

– Просто непроизвольное выражение. Я браню себя за собственную глупость, Сомс. Не «Бог», скорее просто «О-ох!».

– Я посоветовал бы вам избегать этого выражения, Ватсап. Оно вам не идет, да и модным никогда не станет.

– Как скажете, Сомс. Моя вспышка была вызвана тем, что я понял: мою вторую попытку можно завершить, если обогнуть исток реки и пройти по мосту A.

– Верно.

– Так что области 1 и 4 на моем рисунке – на самом деле одна и та же область.

– В самом деле. Это, – сказал я через мгновение, – было нечестно. Откуда мне знать, что исток реки находится в границах Швейцарии? Он не показан на вашей карте.

– Но ведь я сказал вам, Ватсап, что существует по крайней мере один маршрут, удовлетворяющий всем условиям. Из этого однозначно следует, что исток реки должен находиться в Швейцарии.

Туше. Я вспомнил также, что он говорил про восемь маршрутов.

– Я вижу второй маршрут, Сомс: достаточно поменять местами мосты E и F. Но остальные шесть, признаюсь, от меня ускользают.

– Ах. Ваше утверждение, что начинать мы должны непременно с моста B, теряет смысл, если области 1 и 4 сливаются. Позвольте мне перерисовать вашу упрощенную схему правильно.

– Я изобразил мост A пунктирной линией в качестве напоминания о том, что его мы должны оставить напоследок. Обратите внимание: начиная с области 1 мосты, кроме A, образуют два различных замкнутых контура: BCD или DCB, а также EF или FE. Более того, мы можем начать с любого из этих контуров, а затем перейти к другому. Наконец, в конце мы должны поставить мост A. Получаем следующие маршруты:

– Всего восемь.

– Теперь я ясно вижу свою ошибку, Сомс, – признал я.

– Вы видите конкретную свою ошибку, Ватсап, но не общую закономерность, которая за ней стоит и которая затрагивает все аргументы об исключении невозможного.

Я в недоумении покачал головой.

– Что вы имеете в виду?

– Я имею в виду, Ватсап, что вы не рассмотрели все возможные варианты. А причиной тому было…

Я снова хлопнул себя ладонью по лбу, но на этот раз воздержался от каких бы то ни было звуков, не желая служить мишенью для насмешек Сомса.

– Я забыл, что, размышляя над задачей, необходимо выйти за рамки.

Ссылки на источники

«О форме апельсиновой кожуры». Слева и в центре рисунки: Laurent Bartholdi and André Henriques. Orange peels and Fresnel integrals, Mathematical Intelligencer 34 No. 4 (2012) 1–3.

"О форме апельсиновой кожуры". Справа рисунок: Luc Devroye.

"Дело о картонных коробках". Концепция загадки с коробками: Moloy De.

"Пифилология, пиэмы и пиллиш". Отрывок из Not A Wake: Mike Keith.

"Математические хайку". Хайку: Daniel Mathews, Jonathan Alperin, Jonathan Rosenberg.

"Загадка гусиного клина". Фото: http://getyournotes.blogspot.co.uk/2011/08/why-do-some-birds-fly-in-v-formations.html

"Поразительные квадраты". Поразительные квадраты: Moloy De и Nirmalya Chattopadhyay.

"Загадка тридцати семи". Загадка тридцати семи: основана на наблюдениях Stephen Gledhill.

"Четыре псевдоку без указаний". Псевдоку без указаний: Gerard Butters, Frederick Henle, James Henle and Colleen McGaughey. Creating clueless puzzles, Mathematical Intelligencer 33 No. 3 (Fall 2011) 102–105.

"Загадки простого числа". Рисунок: Eric W. Weisstein, «Гипотеза Брокара» с сайта MathWorld: http://mathworld.wolfram.com/BrocardsConjecture.html

"Оптимальная пирамида". Справа фото: Steven Snape.

"Путаница с инициалами". Фото: с разрешения архива Университета Висконсина в Мэдисоне.

"Загадка песков". Сверху слева фото: [George Steinmetz, с разрешения Anastasia Photo].

"Загадка песков". Сверху справа фото: снимок камеры HiRISE на спутнике Марса Mars Reconnaissance Orbiter, NASA.

"Загадка песков". Снизу справа рисунок: Rudi Podgornik.

"Загадка песков". Снизу слева рисунок: Veit Schwämmle and Hans J. Herrmann. Solitary wave behaviour of sand dunes, Nature 426 (2003) 619–620.

"Бросание монетки – несправедливый жребий". Рисунок: Persi Diaconis, Susan Holms and Richard Montgomery, Dynamical basis in the coin toss, SIAM Review 49 (2007) 211–223.

"Непериодическая мостовая". 3-тий и 4-ый рисунки: Joshua Socolar and Joan Taylor. An aperiodic hexagonal tile, Journal of Combinatorial Theory Series A 118 (2011) 2207–2231; http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00283-011-9255-y

«Кольца из правильных многогранников». Рисунки: Michael Elgersma and Stan Wagon, Closing a Platonic gap, The Mathematical Intelligencer (2014) готовится к выходу.

Следующие рисунки перепечатываются в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution 3.0 Unported с указанием источника, как требуется в оригинальной публикации:

«Загадки простого числа», «График зависимости». Krishnavedala.

"Оптимальная пирамида". Рисунок слева Ricardo Liberato.

"Оптимальная пирамида", "Все, что осталось от Черной пирамиды Аменемхета III". Tekisch.

"Сила мидий". Andreas Trepte, www.photo-natur.de

"Озера Вады". Braindrain0000.

"Озера Вады", "Три области, соответствующие решениям кубического уравнения". LutzL

"Грек-интегратор". Балтимор, музей Walters Art Museum.

Сноски

1

Многие куски данного собрания, не имеющие прямого отношения к криминальным случаям, взяты из рукописных заметок. Некоторые из них, такие как «Копилка аналитических аномалий доктора Ватсапа», уже были собраны и изданы с разрешения Сомса и будут воспроизведены здесь без дополнительных ссылок. Некоторые относятся к более поздним датам и добавлены сюда литературными душеприказчиками Ватсапа; внимательный читатель легко заметит подобные анахронизмы. – Прим. авт.

2

Лайонел Шарплз Пенроуз (1898–1972) – известный британский психиатр, генетик, математик и шахматный теоретик. – Прим. ред.

3

Фамилии подозреваемых – Green, Brown и White – означают названия цветов: зеленый, коричневый и белый соответственно. – Прим. пер.