Логика для всех. От пиратов до мудрецов - Инесса Раскина

Вообще, отрицанием к высказыванию «А и Б» служит высказывание «не А или не Б».

Отрицанием к высказыванию «А или Б» служит высказывание «не А и не Б».

Последние два предложения называются законами де Моргана. Но названы они так вовсе не в честь самого знаменитого пирата Карибского моря Генри Моргана, а в честь жившего на два века позже шотландского математика Огастеса де Моргана.

Задача 4.5. Постройте отрицания к высказываниям Бена, Вилли и Глена. Какие из этих отрицаний истинны?

Решение. Сразу можно сказать, что отрицания к ложным высказываниям Бена и Вилли сами будут истинными высказываниями, а отрицание к истинному высказыванию Глена будет ложным. Вот эти отрицания:

Бен: Клад находится от пальмы не в 100 футах к востоку или не в 120 футах к северу.

Вилли: Клад находится от пальмы не в 30 футах к востоку или не в 100 футах к северу.

Глен: Клад находится от пальмы не в 100 футах к востоку или не в 100 футах к северу.

Задача 4.6. Замените высказывания на противоположные:

1) Но с ветром худо и в трюме течи.

2) Ни Бог, ни дьявол не помогут ему спасти свои суда.

3) Случился штиль иль просто ветер встречный.

4) Вода и ветер сегодня злы, и зол, как черт, капитан.

Ответ. 1) С ветром все в порядке или трюм не течет.

2) Бог или дьявол помогут ему спасти его суда.

3) Не случилось ни штиля, ни встречного ветра.

4) Хотя бы один из трех: вода, ветер, капитан – сегодня добр.

Вот, пожалуй, и все, чему стоило поучиться у пиратов. Больше возвращаться на остров незачем: Глен вот-вот найдет клад, а на то, что произойдет после этого, детям до 18 лет смотреть не стоит. Как, впрочем, и взрослым. Вместо клада нас ждут…

Задачи для самостоятельного решения

Задача 4.7. В ансамбль приглашают всех, кто хорошо поет или танцует. Наташа хорошо и поет, и танцует. Пригласят ли ее в ансамбль?

Задача 4.8. Каждый из четырех гномов: Беня, Сеня, Веня и Женя – либо всегда говорит правду, либо всегда врет. Мы услышали такой разговор:

Беня – Вене: «Ты врун».

Женя – Бене: «Сам ты врун!»

Сеня – Жене: «Да оба они вруны!» Подумав, он добавил: «Впрочем, ты тоже».

Кто из гномов говорит правду?

Задача 4.9. Математик с тремя детьми пришел в пиццерию.

– Хочу, чтобы в пицце были помидоры или грибы, – потребовала Аня.

– Пиццу с помидорами и грибами я есть не буду, – заявил Боря.

– Если будут помидоры, а грибов не будет, то я не буду есть, – добавил Ваня.

– Отлично! – воскликнул математик. – Сделайте нам, пожалуйста, пиццу с…

Так какую же пиццу заказал математик, чтобы все дети ее ели?

Задача 4.10. Андрей является участником шоу-викторины. Главный приз спрятан в одном из ящиков. Андрей получает 4 подсказки:

1. Приз находится в синем или зеленом ящике.

2. Приз находится в красном или желтом ящике.

3. Приз находится в зеленом ящике.

4. В желтом ящике приза нет.

Три подсказки ошибочны и только одна правильная. Андрей поразмыслил и открыл правильный ящик. Ящик какого цвета он выбрал?

Задача 4.11. В доме 300 квартир. В квартиры, номера которых кратны 4 или 6, Дед Мороз принес шоколадку. А в квартиры, номера которых кратны 4 и 6, – айфон. Чего Дед Мороз принес в дом больше – айфонов или шоколадок? Во сколько раз?

Задача 4.12. Зайчишка-хвастунишка залез на пенек и громко закричал: «Во всем лесу нет никого меня смелее, нет никого меня умнее!». Он, конечно же, соврал. Какой из пяти выводов можно сделать?

(A) Все в лесу умнее и смелее его.

(Б) В лесу есть кто-то и умнее его, и смелее.

(B) В лесу есть кто-то его умнее.

(Г) В лесу есть кто-то его смелее.

(Д) В лесу есть кто-то умнее или смелее его.

Задача 4.13. Король подвел узника к двум дверям, ведущим в две комнаты. В каждой из них может находиться принцесса или тигр. При этом не исключено, что в обеих комнатах находятся принцессы или в обеих – тигры. Узник должен войти в одну из комнат. Если там окажется принцесса, то узник женится на ней. Если тигр – то он растерзает узника. На дверях висят таблички с надписями:

Король любезно сообщил, что на одной из табличек написана правда, а на другой – нет. Какую комнату вы посоветуете выбрать?

Задача 4.14. Другого узника ожидало похожее испытание. Но на этот раз король сказал, что утверждения на обеих табличках одновременно либо истинны, либо ложны. А написано было вот что:

В какую дверь следует идти узнику?

Задача 4.15. Для третьего узника король повесил на обе двери одинаковые таблички:

А сказал так: «Если в левой комнате находится принцесса, то утверждение на табличке истинно, если же тигр, то ложно. В правой же комнате все наоборот: утверждение ложно, если там находится принцесса и истинно, если тигр». Куда лучше идти узнику?

Задача 4.16. Один из пяти братьев испек маме пирог.

Никита сказал: «Это Глеб или Игорь».

Глеб сказал: «Это сделал не я и не Дима».

Игорь сказал: «Вы оба шутите».

Антон сказал: «Нет, один из них сказал правду, а другой обманул».

Дима сказал: «Нет, Антон, ты не прав».

Мама знает, что трое из ее сыновей всегда говорят правду. Кто испек пирог?

Задача 4.17. Четверо детей сказали друг о друге так:

Маша: «Саша, Наташа и Гриша умеют сидеть на стуле».

Саша: «Маша, Наташа и Гриша не умеют сидеть на стуле».

Наташа: «Маша и Саша солгали».

Гриша: «Маша, Саша и Наташа сказали правду».

Сколько детей на самом деле сказали правду?

Задача 4.18. «Хоп!» – это игра на внимательность. Игроки по очереди называют натуральные числа в порядке возрастания. Если число кратно 3 или содержит в записи цифру 3, то вместо него надо сказать «Хоп!». Если не ошибаться, получится ряд: 1, 2, хоп, 4, 5, хоп, 7, 8, хоп, 11, хоп, хоп, 14 и т. д. Кто по ошибке назовет запрещенное число, выходит из круга. Побеждает последний оставшийся игрок.

Пять ребят играли в «Хоп!». Известно, что числа 1 и 23 назвал Петя, 2 и 20 – Вася, а 5 и 15 – Таня. Сколько раз победитель сказал «Хоп!»?

Занятие 5

Можно ли дышать на Луне, или Следствие и обратные высказывания

Единожды солгавши, кто тебе поверит?

На этом занятии ребята знакомятся с понятием следствия. Они должны осознать два факта:

• Высказывания А ⇒ Б и Б ⇒ А имеют разный смысл и могут быть истинными или ложными независимо друг от друга (а называются они обратными).

• Высказывание А ⇒ Б ничего не утверждает в случае ложности А.

Первый факт воспринимается гораздо легче второго, так как хорошо согласуется со здравым смыслом и повседневной речью. Одним кружковцам различие взаимно обратных высказываний понятно интуитивно, для других прояснится с помощью таблицы истинности, для третьих – с помощью кругов Эйлера. Мы рекомендуем продемонстрировать все способы рассуждения, посмотреть, какой из них наиболее понятен большинству, и в дальнейшем отдавать ему предпочтение. А при самостоятельном решении задач предоставлять рассказчику право опираться на какие угодно верные соображения и ни в коем случае не считать умение применять таблицы истинности или круги Эйлера самоцелью на этом занятии. Более того, если учитель считает один из подходов неуместным для своих учеников, можно его спокойно игнорировать и обходиться другими. Если же занятие проводится в полном объеме, рекомендуем не стирать с доски ни таблицы истинности, ни изображения их с помощью кругов Эйлера, и обращаться к одним и тем же иллюстрациям при решении разных задач. В частности, после рассказа кем-то из ребят решения задачи 5.4 предложить желающим «объяснить по-другому».

Второй факт при первом знакомстве вызывает недоумение, связанное с противоречием между формальной логикой и речевой традицией.

Предлагаем начать с задачи 5.3, имеющей «двойное дно». С одной стороны, в ней закрепляется понятие обратных высказываний. Надеемся, что ребята легко и с удовольствием приведут примеры двух связанных по смыслу высказываний А и Б. После этого учитель может привести свой пример иного типа, подобный предложенному в обсуждении этой задачи, и спросить ребят, подходит ли он. Развитию понимания того, что из лжи следует что угодно, служат задача 5.5, история про Рассела и задача 5.10. Если школьникам трудно это осознать, не пожалейте времени на совместное придумывание аналогичных высказываний. Может вызвать интерес и доказательство предложенных участниками кружка неверных утверждений исходя из неверного условия, аналогично рассуждениям Рассела о Папе Римском.

Убедительность контрпримера для отрицания следствия и неубедительность примера для его подтверждения обсуждается в задачах 5.4, 5.5, 5.9 и в комментарии к задаче 5.6. Эта идея уже выделялась на третьем занятии, но она заслуживает быть упомянутой более одного раза.