Апология математики (сборник статей) - Владимир Андреевич Успенский
Шрифт:
Интервал:
Закладка:
Формула Эйлера и поныне составляет одну из жемчужин математического анализа. В середине XX в. даже выяснилось, что и процитированным «странным» утверждениям Эйлера можно придать точный смысл на основе так называемого нестандартного анализа, но это уже совсем другая история.
Мы видим, таким образом, что само понимание того, что является, а что не является доказательством, меняется со временем. Если вдуматься, ничего удивительного в этом нет. Ведь понятие доказательства основано на представлении об убедительности, а это представление исторически обусловлено. Для средневековых судов, например, убедительными были весьма своеобразные, с нашей точки зрения, доказательства виновности и невиновности: если человек мог держать в руке раскалённое железо, то он признавался невиновным; если брошенная в воду связанная женщина не тонула, то её объявляли ведьмой. Понятие математического доказательства имеет те же психологические основы, что и понятие доказательства юридического, и потому так же зависимо от исторических обстоятельств.
Для математических текстов средневековой Индии, например, были характерны такие (возможно, восходящие к более древним временам) способы доказывания геометрических утверждений: предлагался чертёж, под которым стояло всего одно слово «Cмотри!». На рис. 4 воспроизведено подобное индийское доказательство формулы, выражающей площадь круга S через длину окружности l и радиус r. Формула эта замечательна тем, что не использует числа π, осознание которого в качестве полноправного числа сталкивается с вполне естественными психологическими трудностями, ведь оно не представимо ни в виде дроби, ни даже в виде выражения с радикалами (т. е. знаками корня), как это имеет место в случае диагонали единичного квадрата. Поэтому данная формула могла быть понятна и в древности. Найти её нетрудно. Поскольку l = 2πr, то в известной формуле площади круга число π можно заменить отношением длины полуокружности к радиусу:
Таким образом, площадь круга равна площади прямоугольника, основанием которого служит отрезок, равный по длине полуокружности этого круга, а высотой – его радиус. Именно это наглядно показывает индийский чертёж, одновременно демонстрируя и доказательство. Сперва круг делится диаметром пополам, а потом каждый полукруг разрезается на большое и одинаковое для каждого полукруга количество равных секторов. Затем каждая из полуокружностей распрямляется, секторы превращаются в треугольники, и возникают две равные фигуры, по форме напоминающие пилу. Наконец, эти «пилы» вставляются друг в друга, так чтобы зубцы одной «пилы» полностью вошли в промежутки между «зубцами» другой. Возникает прямоугольник, равный по площади исходному кругу и имеющий требуемые длины сторон. «Что за чушь?! – скажет педант XXI в. – При распрямлении дуг секторы превратятся бог знает во что и не смогут совпасть с промежутками между "зубцами", да и площади их исказятся. И прямоугольник выйдет кривобокий. Так что никакое это не доказательство». Однако для индийцев это было доказательством. И минувшие века не лишили его убедительности, ведь при разбиении на очень большое количество секторов все справедливо отмеченные педантом искажения будут почти незаметны. Так что при большом желании и готовности потрудиться индийское рассуждение можно облечь в форму, приемлемую сегодня.
Для полноты картины приведём индийское доказательство теоремы Пифагора. Это тоже чертёж со словом «Смотри!». Заметим, что
a² + b² = ab + ab + (а – b)².
Поэтому теорему Пифагора, утверждающую, что для прямоугольного треугольника с катетами a и b и гипотенузой c справедливо равенство a² + b² = c², можно доказывать в форме
c² = ab + ab + (a – b)².
Последняя формула и доказывается чертежом, приведенным на рис. 5[142]. Слева на рис. 5 – квадрат с площадью c², составленный из четырёх одинаковых треугольников и квадрата со стороной a − b. Справа – тот же квадрат со стороной a – b, а треугольники уложены так, что образовались два одинаковых прямоугольника со сторонами a и b. Заметим, что, в отличие от предыдущего, это рассуждение полностью приемлемо и сегодня.
Наш рис. 5 с подписью «Смотри!» встречается в трудах индийского астронома и математика XII в. Бхáскары. Можно предположить, что он содержался в ещё более ранних индийских текстах. В пользу такого предположения говорит, в частности, то, что левый чертёж с рис. 5 мы находим в китайском трактате, датируемом не позже чем III в. Китайский автор, однако, не довольствуется призывом «Смотри!», а заменяет его алгебраическим пояснением. В упомянутом трактате предлагалось и другое, пожалуй, ещё более простое и наглядное доказательство теоремы Пифагора. Это второе доказательство иллюстрирует рис. 6. Китайский автор и в этом случае сопровождал чертёж необходимым пояснением; мы же на индийский манер ограничимся призывом «Смотри!». Для точности укажем, что китайский чертёж состоял из наложенных друг на друга чертежей, показанных на рис. 5 и 6, давая таким образом одновременно два доказательства теоремы Пифагора.
В древних египетских текстах описываются приёмы оперирования с простыми дробями – не со всеми, а с некоторыми избранными: аликвотными (так принято называть дроби с числителем единица) и дробью 2/3. Встречаются также способы вычисления простейших площадей. Но все они приводятся без какого бы то ни было обоснования. По-видимому, в то время в нём не ощущалось психологической необходимости. Убедительность способа проистекала из того, что он, во-первых, исходил из авторитетного источника (как правило, от жреца) и, во-вторых, был записан. (Не так ли подчас и мы относимся к медицинским предписаниям?) Жившие в советское время помнят, что любое утверждение считалось полностью доказанным, коль скоро его удавалось обнаружить в каком-либо из текстов Маркса или Ленина; в сталинское же время ещё более неоспоримыми были тексты Сталина. (Так что официальная ментальность того времени недалеко ушла от ментальности Древнего Египта.)
Первые математические доказательства в современном их понимании приписывают древнегреческим мыслителям Фалéсу и Пифагору. Считается, что именно в Древней Греции в VII–VI вв. до н. э. возник новый, до того не встречавшийся обычай сопровождать математический факт его обоснованием. Появилась потребность не просто сообщать факт, но и убеждать слушателя в его истинности, т. е. проводить доказательство. По-видимому, сама идея необходимости убеждать слушателей появилась
