Физика для всех. Молекулы - Лев Ландау

Идеальный газ выбран в качестве термометра потому, что толь-- ко его свойства связаны с одним лишь движением (но не с взаимодействием) молекул.

Каков же характер связи между движением молекул и температурой? Для ответа на этот вопрос надо найти связь между давлением газа и движением в нем молекул.

В сферическом сосуде радиуса R заключено N молекул газа (рис. 3.1). Проследим за какой-либо молекулой, например той, что движется в данный момент слева направо вдоль хорды длиной l. На столкновения молекул обращать внимание не будем: такие встречи не сказываются на давлении. Долетев до границы сосуда, молекула ударится о стенку и с той же скоростью (удар упругий) понесется уже в другом направлении. В идеале такое путешествие по сосуду могло бы продолжаться вечно. Если v - скорость молекулы, то каждый удар будет происходить через l/vсекунд, т. е. в секунду каждая молекула ударится v/l раз. Непрерывная дробь ударов N молекул сливается в единую силу давления.

По закону Ньютона сила равна изменению импульса в единицу времени. Обозначим изменение импульса при каждом ударе через Δ. Это изменение происходит v/l раз в секунду. Значит, вклад в силу со стороны одной молекулы будет

Рис. 3.1

На рис. 3.1 построены векторы импульсов до и после удара, а также вектор приращения импульса Δ. Из подобия возникших при построении треугольников следует: Вклад в силу со стороны одной молекулы примет вид

Так как длина хорды не вошла в формулу, то ясно, что молекулы, движущиеся по любой хорде, дают одинаковый вклад в силу. Конечно, изменение импульса при косом ударе будет меньше, но зато удары в этом случае будут чаще. Расчет показал, что оба эффекта в точности компенсируются.

Так как в сфере N молекул, то суммарная сила будет равна

где vcp - средняя скорость молекул.

Давление ρ газа, равное силе, деленной на площадь сферы 4πR2, будет равно

где V - объем сферы.

Таким образом,

Это уравнение было впервые выведено Даниилом Бернулли в 1738 г.

Из уравнения состояния идеального газа следовало: ρV = const*T; из выведенного уравнения видим, что pV пропорционально v2cp. Значит,

или

т. е. средняя скорость молекул идеального газа пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры.

Закон Авогадро

Пусть вещество представляет собой смесь различных молекул. Нет ли такой физической величины, характеризующей движение, которая была бы одинакова для всех этих молекул, например для водорода и кислорода, находящихся при одинаковой температуре?

Механика дает ответ на этот вопрос. Можно доказать, что одинаковыми у всех молекул будут средние кинетические энергии поступательного движения mv2ср/2.

Это означает, что при данной температуре средние квадраты скорости молекул обратно пропорциональны массе частиц:

Вернемся теперь к уравнению Так как при данной температуре величины mv2сp одинаковы для всех газов, то число молекул N, заключенных в данном объеме V при определенных давлении ρ и температуре Т, одинаково для всех газов. Этот замечательный закон был впервые сформулирован Авогадро.

Сколько же молекул приходится на 1 см3? Оказывается, в 1 см3 при 0°С и 760 мм рт. ст. находится 2,7*1019 молекул. Это огромное число. Чтобы вы почувствовали, сколь оно велико, приведем такой пример. Положим, что газ удаляется из маленького сосудика объемом 1 см3 с такой скоростью, что в каждую секунду уходит миллион молекул. Нетрудно подсчитать, что сосуд полиостью освободится от газа через миллион лет!

Закон Авогадро указывает, что при определенных давлении и температуре отношение числа молекул к объему, в котором они заключены, N/V, есть величина, одинаковая для всех газов.

Так как плотность газа ρ = Nm/V, то отношение плотностей газов равно отношению их молекулярных масс:

Относительные массы молекул могут быть поэтому установлены простым взвешиванием газообразных веществ. Такие измерения сыграли в свое время большую роль в развитии химии. Из закона Авогадро следует также, что для моля любого вещества, находящегося в состоянии идеального газа, ρV = kNAT, где к - универсальная постоянная (она носит имя замечательного немецкого физика Людвига Больцмана), равная 1,38.10-16эрг/К. Произведение R=kNA называют универсальной газовой постоянной.

Закон идеального газа записывают часто как

ρV = μRT,

где μ - количество вещества, выраженное в молях. Это уравнение часто используется на практике.

Скорости молекул

Теория указывает, что при одной температуре средние кинетические энергии молекул mv2ср/2 одинаковы. При нашем определении температуры эта средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа пропорциональна абсолютной температуре. Комбинируя уравнение идеального газа и уравнение Бернулли, найдем

Измерение температуры термометром, заполненным идеальным газом, придает этой мере простой смысл: температура пропорциональна среднему значению энергии поступательного движения молекул. Поскольку мы живем в трехмерном пространстве, про точку, движущуюся как угодно, можно сказать: она имеет три степени свободы. Значит, на одну степень свободы движущейся частицы приходится кТ/2 энергии.

Определим среднюю скорость молекул кислорода при комнатной температуре, которую мы для круглого счета примем в 27°С=300 К. Масса одной молекулы кислорода равна 32/(6*1023). Простое вычисление даст мср = 4,8*104 см/с, т.е. около 500 м/с. Существенно быстрее движутся молекулы водорода. Их массы в 16 раз меньше и скорости в больше, т. е. при комнатной температуре составляют около 2 км/с. Прикинем, с какой тепловой скоростью движется маленькая? видимая в микроскоп частичка. Обычный микроскоп позволяет увидеть пылинку диаметром в 1 мкм (10-4 см). Масса такой частицы при плотности,; близкой к единице, будет что-нибудь около 5*10-13 г. Для ее скорости получим около 0,5 см/с. Неудивительно, что такое движение вполне заметно.

Скорость броуновского движения горошины с массой в 0,1 г будет уже всего только 10-6 см/с. Немудрено, что мы не видим броуновского движения таких частиц.

Мы говорим о средних скоростях молекулы. Но ведь не все молекулы движутся с одинаковыми скоростями, какая-то доля молекул движется быстрее, а какая-то медленнее. Все это, оказывается можно рассчитать. Приведем только результаты.

При температуре около 15°С, например, средняя скорость молекул азота равна 500 м/с, со скоростями от 300 до 700 м/с движется 59% молекул. С малыми скоростями - от 0 до 100 м/с - движется всего лишь 0,6% молекул. Быстрых молекул со скоростями свыше 1000 м/с в газе всего лишь 5,4% (см. рис. 3.2).

Рис. 3.2

Основание каждого столбика рисунка построено на интервале скоростей, о котором идет речь, а площадь пропорциональна доле молекул, скорости которых лежат в этом интервале.

Можно рассчитать и распределение молекул по разным значениям энергии поступательного движения-

Число молекул энергия которых более чем в два раза превосходит среднюю, уже меньше 10%. Доля еще более "энергичных" молекул тает по мере увеличения энергии во все возрастающей степени. Так, молекул, энергия которых в 4 раза больше средней,- всего 0,7%, в 8 раз больше средней - 0,06*10-4%, в 16 раз больше средней - 2*10-8%.

Энергия молекулы кислорода, движущейся со скоростью 11 км/с, равна 23*10-12 эрг. Средняя энергия молекулы при комнатной температуре равна всего 6*10-14 эрг. Таким образом, энергия "одиннадцати-километрозой молекулы" по крайней мере в 500 раз больше энергии молекулы со средней скоростью. Неудивительно, что доля молекул со скоростями выше 11 км/с равна невообразимо малому числу - порядка 10-300.

Но почему нас заинтересовала скорость 11 км/с? В книге 1 мы говорили о том, что оторваться от Земли могут лишь тела, имеющие эту скорость. Значит, забравшись на большую высоту, молекулы могут потерять связь с Землей и отправиться в далекое межпланетное путешествие, но для этого надо иметь скорость 11 км/с. Доля таких быстрых молекул, как мы видим, настолько ничтожна, что опасность потери атмосферы Земле не грозит даже через миллиарды лет.

Скорость ухода атмосферы необычайно сильно зависит от гравитационной энергии γ Mm/r. Если средняя кинетическая энергия молекулы во много раз меньше гравитационной энергии, то отрыв молекул практически невозможен. На поверхности Луны гравитационная энергия в 20 раз меньше, что дает для энергии "убегания" молекулы кислорода значение 1,15*10-12 эрг. Это значение превышает величину средней кинетической энергии молекулы всего лишь в 20-25 раз. Доля молекул, способных оторваться от Луны, равна 10-17. Это уже совсем не то, что 10-300, и подсчет показывает, что воздух будет довольно быстро уходить с Луны в межпланетное пространство. Неудивительно, что на Луне нет атмосферы.