Истина в пределе. Анализ бесконечно малых - Антонио Дуран

Следует привести и другую версию этой истории, автором которой является сам Ньютон. Она изложена в Epistolae posterior- втором письме, которое Ньютон отправил Лейбницу. Письмо содержит немало автобиографических фрагментов. Вот цитата из него: «Когда появилась блестящая книга Logarithmotechnia Николаса Меркатора, я стал уделять этим вопросам [степенным рядам и анализу флюксий] меньше внимания, подозревая, что Меркатору был хорошо известен способ разложения в степенной ряд путем извлечения корней, равно как и разложение в ряд с помощью дробей, либо же другие обнаружат, как это делается, до того как я вступлю в возраст, достойный написания подобного труда. В тот самый момент, когда появилась эта книга, краткое изложение этого метода рядов было сообщено господином Барроу господину Коллинзу. В этом изложении указывались площади и длины кривых, поверхности и объемы тел, составленных из линий, а также способы нахождения этих линий по известным свойствам фигур. Этот метод я ранее проиллюстрировал на примере различных рядов».

Коллинз вскоре вернул рукопись «Анализа» Ньютону через Барроу, однако прежде переписал ее от руки. Эту копию вместе с письмами Барроу обнаружил Уильям Джонс среди документов Коллинза, приобретенных в 1708 году. Увидев эту копию, Джонс предложил Ньютону опубликовать «Анализ». Книга увидела свет в 1711 году. Когда же разгорелся спор о том, кто является истинным первооткрывателем анализа, эти бумаги послужили доказательством первенства Ньютона.

Как указывает Вестфолл, «Анализ» оказал большое влияние на карьеру Ньютона. Возможно, именно благодаря публикации этого труда он получил пост лукасовского профессора. Эта должность была создана в Кембридже Генри Лукасом. Стипендия, учрежденная Лукасом для тех, кто занимал эту должность, сделала ее одной из самых престижных в научном мире. В то время эта должность была единственной из восьми существовавших профессорских должностей по направлению математики и натурфилософии, если говорить современным языком. Профессор, занимавший этот пост, должен был вести курсы по геометрии, астрономии, географии, оптике, статике и другим математическим дисциплинам, а также ежегодно передавать в университетскую библиотеку тексты минимум десяти своих докладов. При невыполнении этих условий полагался штраф. Однако Ньютон, который нарушал их достаточно часто, по-видимому, никогда не был оштрафован.

Летом 1669 года Барроу, занимавший этот пост уже пять лет с момента его учреждения, начал подумывать об отставке. Скорее всего, он не был очарован гениальностью Ньютона (хотя иногда утверждают обратное), его решение было продиктовано другими причинами. Барроу был не только математиком, но и богословом и хотел последовать своему призванию. Кроме этого, он также хотел получить более влиятельный пост. Спустя год после отставки он получил место капеллана, а два года спустя возглавил Тринити-колледж. Совмещать должность главы колледжа и лукасовского профессора запрещалось, хотя Барроу вполне мог получить разрешение милостью короля. Как бы то ни было, Барроу ушел в отставку, и 29 октября 1669 года по его предложению Ньютон был провозглашен лукасовским профессором.

Остаток 1669 года Коллинз и Барроу занимались тем, что уговаривали Ньютона опубликовать «Анализ». Однако они не преуспели в этом, и, как пишет Вестфолл, имея в виду спор с Лейбницем, «нерешительность Ньютона посеяла зерна ожесточенной вражды».

Вторая работа Ньютона, его главный труд о бесконечно малых «Метод флюксий» (De methodis serierum et fluxionum), была написана два года спустя, но опубликована лишь в 1736 году. В этой книге Ньютон представляет понятие флюенты — величины, изменяющейся в зависимости от времени, и флюксии флюента — производной этой величины по времени. Вот что он пишет об этих понятиях: «Величины, которые я рассматриваю как постепенно и неопределенно возрастающие; обозначать я их буду последними буквами алфавита: v, х, у, z, чтобы их было возможно отличать от других величин, которые рассматриваются в уравнениях как известные и определенные и которые поэтому обозначаются первыми буквами алфавита a, b, c и так далее. Скорости, с которыми возрастают вследствие порождающего их движения отдельные флюэнты (и которые я называю флюксиями, или просто скоростями, или быстротами), я буду обозначать теми же буквами, но пунктированными:  

Важно отметить, что Ньютон представил понятия флюенты и флюксии по отдельности как часть теории и привел алгоритмические правила, с помощью которых можно было легко вычислить флюксию флюента. Затем он применил свою теорию для решения задач о касательных, квадратурах, максимумах и минимумах. Как мы уже упоминали, именно благодаря этому Ньютон стал считаться одним из создателей математического анализа. Так, для решения задач о максимумах и минимумах он предложил следующий способ: «Когда величина есть возможно наибольшая или возможно наименьшая, то в этот момент времени она не течет ни вперед, ни назад. Действительно, если бы она могла еще течь вперед, то есть возрастать, то это значит, что до того она наверняка была меньше, чем стала, а после того станет больше, чем она есть. Дело обстояло бы обратным образом, если бы она текла назад или убывала. Поэтому найди ее флюксию согласно проблеме I и положи ее равной нулю». Это знакомый нам способ вычисления производной функции и приравнивания ее к нулю.

О задачах расчета квадратуры он писал: «Проблема IX: определить площадь какой-либо заданной кривой. Решение этой проблемы зависит от определения отношения флюент по заданному отношению флюксий». Иными словами, речь идет о процессе, обратном вычислению флюксии; если говорить современным языком — о процессе, обратном вычислению производной, то есть о нахождении первообразной. Здесь Ньютон, по сути, излагает основную теорему анализа и указывает, что ее можно применять для решения задач о площадях.

Чтобы доказать мощь своего анализа бесконечно малых, в «Методе» Ньютон использует его для решения практически всех задач о площадях, касательных и многих других, на решение которых его предшественники потратили без малого столетие. Однако «Метод» был опубликован лишь спустя несколько лет после смерти Ньютона.

Почему он так долго не давал разрешение на публикацию своих первых книг об анализе бесконечно малых? Мы уже упоминали, что Ньютон не желал публиковать свои результаты из-за особенностей своего характера. В итоге это спровоцировало ожесточенные споры, которых можно было бы избежать, если бы его первые труды были опубликованы без промедления. Нежелание Ньютона публиковать свои работы о математическом анализе было сильно еще и потому, что он осознавал его недостаточную логическую строгость. Понятие флюксии и правила ее вычисления, равно как и дифференциал Лейбница или многочисленные методы работы с бесконечно малыми, предложенные его предшественниками, основывались на так называемых бесконечно малых величинах. Эти «бесконечно малые» представляли собой бесконечно малые числа, практически равные нулю, за счет чего их можно было сокращать при необходимости. В то же время эти величины можно было использовать в знаменателях дробей, так как они не были строго равны нулю. Ньютон безуспешно пытался избежать их и в одной из работ по анализу, «Рассуждении о квадратуре кривых» (De quadratura curvarum), опубликованной в 1704 году как приложение к его же «Оптике», он вплотную подошел к открытию предела, использовав «исчезающие приращения». Это понятие было введено лишь в XIX веке, и Бернард Больцано и Огюстен Луи Коши использовали его как основу анализа бесконечно малых.

Ньютон осознавал, что его вычисление флюксий стоит на непрочном логическом фундаменте, поэтому особенно противился публикации любых трудов по этой теме, хотя копии этих рукописей всегда были доступны кругу его друзей. Этот страх, несомненно, оказал влияние и на подготовку его важнейшей работы — «Начал». Ньютон сделал выбор в пользу геометрического языка в древнегреческом стиле, который был менее понятным, но более строгим с логической точки зрения. Он исключил почти все упоминания об анализе бесконечно малых, который, возможно, использовал для получения части результатов, изложенных в «Началах».

Тем не менее в «Началах» содержатся отрывочные упоминания о математическом анализе. Таким образом, в этой книге впервые, пусть и косвенно, упоминается анализ бесконечно малых, созданный Ньютоном. Это произошло в 1687 году — спустя три года после того, как Лейбниц опубликовал в журнале Acta eruditorum свою первую статью о дифференциальном исчислении. В лемме II раздела II 2-й книги несколько туманно упоминаются правила, аналогичные современным правилам вычисления производной произведений и степеней. Ньютон применил математический трюк, чтобы избежать сокращения приращений. Этот трюк в середине XVIII века разоблачил Джордж Беркли, который возглавил «крестовый поход» против бесконечно малых. «Начала» вошли в историю математического анализа не только благодаря этой лемме. К математическому анализу можно отнести и другие утверждения, о которых мы расскажем чуть позже, когда будем говорить об ожесточенном споре между Ньютоном и Лейбницем за право называться создателем исчисления.