5b. Электричество и магнетизм - Ричард Фейнман

(13.6)

Заряд внутри можно записать как объемный интеграл от плот­ности заряда

(13.7)

Применяя (13.6) к малому объему DV, можно учесть, что интеграл слева есть С·jDV. Заряд внутри равен rDV, поэтому сохранение заряда можно еще записать и так:

(13.8)

(опять теорема Гаусса из математики!).

§ 3. Магнитная сила, действующая на ток

Теперь мы достаточно подготовлены, чтобы определить силу, действующую на находящуюся в магнитном поле проволоку, по которой идет ток. Ток состоит из заряженных частиц, дви­жущихся по проволоке со скоростью v. Каждый заряд чувствует поперечную силу F = qvXB (фиг. 13.5, а).

Фиг. 13.5. Магнитная сила на проволоку с током равна сумме сил на отдельные движу­щиеся заряды

Если в еди­ничном объеме таких за­рядов имеется N, то их число в малом объеме внутри проволоки DV рав­но NDV. Полная магнит­ная сила DV, действую­щая на объем DV, есть. сумма сил на отдельные заряды

Ho Nqv ведь как раз равно j, так что

(13.9)

(фиг. 13.5, б). Сила, действующая на единицу объема, равна JXB.

Если по проволоке с поперечным сечением А равномерно по сечению течет ток, то можно в качестве элемента объема взять цилиндр с основанием А и длиной DL. Тогда

DF = jXBDL. (13.10)

Теперь можно jA назвать вектором тока I в проволоке. (Его величина есть электрический ток в проволоке, а его направле­ние совпадает с направлением проволоки.) Тогда

DF=IXBDL. (13.11)

Сила, действующая на единицу длины проволоки, есть IXB.

Это уравнение содержит важный результат — магнитная

сила, действующая на проволоку и возникающая от движения в ней зарядов, зависит только от полного тока, а не от величины заряда, переносимого каждой частицей (и даже не зависит от его знака!). Магнитная сила, действующая на проволоку вбли­зи магнита, легко обнаруживается по отклонению проволоки при включении тока, как было нами описано в гл. 1 (см. фиг. 1.6, стр. 20).

§ 4. Магнитное поле постоянного тока; закон Ампера

Мы видели, что на проволоку в магнитном поле, создавае­мом, скажем, магнитом, действует сила. Из закона о том, что действие равно противодействию, можно ожидать, что, когда по проволоке протекает ток, возникает сила, действующая на источник магнитного поля, т. е. на магнит. Такие силы дей­ствительно существуют; в этом можно убедиться по отклонению стрелки компаса вблизи проволоки с током. Далее, мы знаем, что магниты испытывают действие сил со стороны других маг­нитов, а отсюда вытекает, что когда по проволоке течет ток, то он создает собственное магнитное поле. Значит, движущиеся заряды создают магнитное поле. Попытаемся понять законы, которым подчиняются такие магнитные поля. Вопрос ставится так: дан ток, какое магнитное поле он создаст? Ответ на этот вопрос был получен экспериментально тремя опытами и под­твержден блестящим теоретическим доказательством Ампера. Мы не будем останавливаться на этой интересной истории, а просто скажем, что большое число экспериментов наглядно показало справедливость уравнений Максвелла. Их мы и возь­мем в качестве отправной точки. Опуская в уравнениях члены с производными по времени, мы получаем уравнения магнито­статики

(13.12)

и

(13.13)

Эти уравнения справедливы только при условии, что все плотности электрических зарядов и все токи постоянны, так что электрические и магнитные поля не меняются со време­нем — все поля «статические».

Можно тут заметить, что верить в существование статиче­ского магнитного поля довольно опасно, потому что вообще-то для получения магнитного поля нужны токи, а токи возникают только от движущихся зарядов. Следовательно, «магнитостатика» — только приближение.

Она связана с особым слу­чаем динамики, когда движется большое число зарядов, ко­торые можно приближенно описывать как постоянный поток зарядов. Только в этом случае можно говорить о плотности тока j, которая не меняется со временем. Более точно эту об­ласть следовало бы назвать изучением постоянных токов. Предполагая, что все поля постоянны, мы отбрасываем члены с dE/dt и dB/dt в полных уравнениях Максвелла [уравнения (2.41)] и получаем два написанных выше уравнения (13.12) и (13.13). Заметьте также, что поскольку дивергенция ротора любого вектора всегда нуль, то уравнение (13.13) требует, что­бы С·j=0. В силу уравнения (13.8) это верно, только если дr/дt=0. Но такое может быть, если Е не меняется со време­нем, следовательно, наши предположения внутренне согласо­ваны.

Условие, что С·J= 0, означает, что у нас могут быть только заряды, текущие по замкнутым путям. Они могут, например, течь по проводам, образующим замкнутые петли, которые назы­ваются цепями. Цепи могут, конечно, содержать генераторы или батареи, поддерживающие ток зарядов. Но в них не должно быть конденсаторов, которые заряжаются или разря­жаются. (Мы, конечно, расширим теорию, включив перемен­ные поля, но сначала мы хотим взять более простой случай постоянных токов.)

Обратимся теперь к уравнениям (13.12) и (13.13) и посмот­рим, что они означают. Первое говорит, что дивергенция В равна нулю. Сравнивая его с аналогичным уравнением электро­статики, по которому С·Е=r/e0, можно заключить, что маг­нитного аналога электрического заряда не существует. Не бы­вает магнитных зарядов, из которых могли бы исходить ли­нии В. Если говорить о «линиях» векторного поля В, то они нигде не начинаются и нигде не оканчиваются. Но тогда откуда же они берутся? Магнитные поля «появляются» в присутствии токов; ротор, взятый от них, пропорционален плотности тока. Когда есть токи, есть и линии магнитного поля, образующие петли вокруг токов. Поскольку линии В не имеют ни конца, ни начала, они часто возвращаются в исходную точку, образуя замкнутые петли. Но могут возникнуть и более сложные случаи, когда линии не представляют собой простых петель. Однако как бы они ни шли, они никогда не исходят из точек. Никаких магнитных зарядов никто никогда не находил, поэтому С·В=0. Это же утверждение справедливо не только для маг­нитостатики, но справедливо всегда — даже для динамических полей.

Связь между полем В и токами дается уравнением (13.13). Положение здесь совсем другое, в корне отличное от элек­тростатики, где у нас было СXЕ = 0. Это уравнение означало, что линейный интеграл от Е по любому замкнутому пути равен нулю:

Фиг. 13.6. Контурный интег­рал от тангенциальной со­ставляющей В равен поверхно­стному интегралу от нормаль­ной составляющей вектора

(СX B).

Мы получили этот результат с помощью теоремы Стокса, со­гласно которой интеграл по любому замкнутому пути от любого векторного поля равен поверхностному интегралу от нормаль­ной компоненты ротора этого вектора (интеграл берется по дюбой поверхности, натянутой на данный контур). Применяя эту же теорему к вектору магнитного поля и используя обо­значения, показанные на фиг. 13.6, получаем

(13.14)

Найдя rot В из уравнения (13.13), имеем

(13.15)

Интеграл от j по S, согласно (13.5), есть полный ток I через поверхность S. Поскольку для постоянных токов ток через S не зависит от формы S, если она ограничена кривой Г, то обыч­но говорят о «токе через замкнутую петлю Г». Мы имеем, та­ким образом, общий закон: циркуляция В по любой замкнутой кривой

равна току I сквозь петлю, деленному на e0с2:

(13.16)

Этот закон, называемый законом Ампера, играет такую же роль в магнитостатике, как закон Гаусса в электростатике. Один лишь закон Ампера не определяет В через токи; мы долж­ны, вообще говоря, использовать также С·В=0. Но, как мы увидим в следующем параграфе, он может быть использован для нахождения поля в тех особых случаях, которые обладают некоторой простой симметрией.

§ 5. Магнитное поле прямого провода и соленоида; атомные токи

Можно показать, как пользоваться законом Ампера, опреде­лив магнитное поле вблизи провода. Зададим вопрос: чему равно поле вне длинного прямолинейного провода цилиндри­ческого сечения? Мы сделаем одно предположение, может быть, не столь уж очевидное, но тем не менее правильное: линии поля В идут вокруг провода по окружности. Если мы сделаем такое предположение, то закон Ампера [уравнение (13.16)] говорит нам, какова величина поля. В силу симметрии задачи поле В имеет одинаковую величину во всех точках окружности, концентрической с проводом (фиг. 13.7). Тогда можно легко взять линейный интеграл от B·ds. Он равен просто величине В, умноженной на длину окружности. Если радиус окружности равен r, то