5b. Электричество и магнетизм - Ричард Фейнман

F=qv0XB.

Используя результат, найденный нами в уравнении (13.18) для магнитного поля на расстоянии r от оси проволоки, мы заключаем, что сила, действующая на частицу, направлена к проволоке и равна по величине

С помощью уравнений (13.4) и (13.5) ток I может быть за­писан как r+vA, где А — площадь поперечного сечения про­волоки. Тогда

(13.20)

Мы могли бы продолжить рассмотрение общего случая про­извольных скоростей v и v0, но ничуть не хуже будет взять частный случай, когда скорость v0частицы совпадает со ско­ростью v электронов проводимости. Поэтому мы запишем v=v0 , и уравнение (13.20) приобретет вид

(13.21)

Теперь обратимся к тому, что происходит в системе S', где частица покоится и проволока бежит мимо нее (влево на фиг. 13.10, б) со скоростью v. Положительные заряды, движущие­ся вместе с проволокой, создадут около частицы некоторое маг­нитное поле В'. Но частица теперь покоится, так что магнит­ная сила на нее не действует! Если и возникает какая-то сила, то она должна появиться за счет электрического поля. Выхо­дит, что движущаяся проволока создает электрическое поле. Но она может это сделать, только если она кажется заряжен­ной; должно получаться так, чтобы нейтральная проволока с током казалась заряженной, если ее привести в движение.

Нужно в этом разобраться. Попробуем вычислить плот­ность зарядов в проволоке в системе S', пользуясь тем, что мы знаем о ней в системе S. На первый взгляд можно было бы по­думать, что плотности одинаковы, но из гл. 15 (вып. 2) мы знаем, что при переходе от одной системы к другой длины меняются, следовательно, объемы также изменятся. Поскольку плотности зарядов зависят от объема, занимаемого зарядами, плотности будут также меняться.

Прежде чем определить плотности зарядов в системе S', нужно знать, что происходит с электрическим зарядом группы электронов, когда заряды движутся. Мы знаем, что кажущаяся масса частицы приобретает множитель 1/Ц(1-v2/c2). Происходит ли что-нибудь подобное с ее зарядом? Нет! Заряды никогда не меняются независимо от того, движутся ли они или нет. Иначе мы не могли бы наблюдать на опыте сохранение полного заряда.

Возьмем кусок вещества, например проводника, и пусть он вначале незаряжен. Теперь нагреем его. Поскольку масса электронов иная, чем у протонов, скорости электронов и про­тонов изменятся по-разному. Если бы заряд частицы зависел от скорости частицы, которая его переносит, то в нагретом куске заряды электронов и протонов не были бы скомпенсированы. Кусок материала при нагревании становился бы заряженным.

Фиг. 13.11. Если распределение заряженных частиц имеет плотность зарядов р0, то с точки зрения системы, движущейся с относительной скоростью v, плотность зарядов будет равна r=r0/Ц (1 - v2/с2).

Мы видели раньше, что очень малое изменение заряда у каж­дого из электронов в куске привело бы к огромным электриче­ским полям. Ничего подобного никогда не наблюдалось.

Кроме того, можно заметить, что средняя скорость электро­нов в веществе зависит от его химического состава. Если бы заряд электрона менялся со скоростью, суммарный заряд в куске вещества изменялся бы в ходе химической реакции. Как и раньше, прямое вычисление показывает, что даже совсем малая зависимость заряда от скорости привела бы в простей­ших химических реакциях к огромным полям. Ничего похо­жего не наблюдалось, и мы приходим к выводу, что электриче­ский заряд отдельной частицы не зависит от состояния движе­ния или покоя.

Итак, заряд частицы q есть инвариантная скалярная вели­чина, не зависящая от системы отсчета. Это означает, что в любой системе плотность зарядов у некоторого распределения электронов просто пропорциональна числу электронов в еди­нице объема. Нам нужно только учесть тот факт, что объем может меняться из-за релятивистского сокращения расстояний.

Применим теперь эти идеи к нашей движущейся проволоке. Если взять проволоку длиной L0, в которой плотность непод­вижных зарядов есть r0, то в ней будет содержаться полный за­ряд Q-r0L0A0. Если те же заряды движутся в другой системе со скоростью v, то они все будут находиться в куске материала

меньшей длины

(13.22)

но того же сечения A0, поскольку размеры в направлении, пер­пендикулярном движению, не меняются (фиг. 13.11).

Если через r обозначить плотность зарядов в системе, где они движутся, то полный заряд Q будет rLA0. Но это должно быть также равно r0L0А, потому что заряд в любой системе одинаков, следовательно, rL=r0L0, или с помощью (13.22)

(13.23)

Плотность зарядов движущейся совокупности зарядов меня­ется таким же образом, как и релятивистская масса частицы. Применим теперь этот результат к плотности положительных зарядов r+ в нашей проволоке. Эти заряды покоятся в систе­ме S. Однако в системе S", где проволока движется со скоростью v, плотность положительных зарядов становится равной

(13.24)

Отрицательные заряды в системе S' покоятся, поэтому их плотность в этой системе есть «плотность покоя» r0. В уравне­нии (13.23) r0=r-, потому что их плотность зарядов равна r- , если проволока покоится, т. е. в системе S, где скорость отри­цательных зарядов равна v. Тогда для электронов проводимости мы получаем

(13;25)

или

(13.26)

Теперь мы можем понять, почему в системе S' возникают электрические поля: потому что в этой системе в проволоке имеется результирующая плотность зарядов r', даваемая формулой

С помощью (13.24) и (13.26) имеем

Поскольку покоящаяся проволока нейтральна, r- = -r+, получаем

(13.27)

Наша движущаяся проволока заряжена положительно и должна создавать поле Е' в точке, где находится внешняя по­коящаяся частица. Мы уже решали электростатическую задачу об однородно заряженном цилиндре. Электрическое поле на расстоянии r от оси цилиндра есть

(13.28)

Сила, действующая на отрицательно заряженную частицу, на­правлена к проволоке. Мы имеем силу, направленную одина­ково в обеих системах; электрическая сила в системе S' на­правлена так же, как магнитная сила в системе S. Величина силы в системе S' равна

(13.29)

Сравнивая этот результат для F' с нашим результатом для F в уравнении (13.21), мы видим, что величины сил с точки зре­ния двух наблюдателей почти одинаковы. Точнее,

(13.30)

поэтому для малых скоростей, которые мы рассматриваем, обе силы одинаковы. Мы можем сказать, что по меньшей мере для малых скоростей магнетизм и электричество суть просто «две разные стороны одной и той же вещи».

Но оказывается, что все обстоит даже еще лучше, чем мы сказали. Если принять во внимание тот факт, что силы также преобразуются при переходе от одной системы к другой, то окажется, что оба способа наблюдения за происходящим дают на самом деле одинаковые физические результаты при лю­бой скорости.

Чтобы это увидеть, можно, например, задать вопрос: ка­кой поперечный импульс приобретет частица, на которую в тече­ние некоторого времени действовала сила? Мы знаем из вып. 2, гл. 16, что поперечный импульс частицы должен быть один и тот же как в системе S, так ив системе S'. Обозначим попереч­ную координату у и сравним Dpyи Dpy’ . Используя релятивист­ски правильное уравнение движения F—dp/dt, мы ожидаем, что за время Dt наша частица приобретет поперечный импульс Dpyв системе S, даваемый выражением

(13.31)

В системе S' поперечный импульс будет равен

(13.32)