До предела чисел. Эйлер. Математический анализ. - Joaquin Sandalinas

π/(3√3) = 1 - 1/2 + 1/4 - 1/5 + 1/7 - 1/8 + ...

π/(2√2) = 1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + ...

π/3 = 1 + 1/5 - 1/7 - 1/11 + 1/13 - 1/17 + ...

π2/(8√2) = 1 - 1/32 - 1/52 + 1/72 + 1/92 + ...

π2/(6√3) = 1 - 1/52 - 1/72 + 1/112 + 1/132 + ...

1 -1! + 2! -3! + ... = 0,596347362123...

Он также открыл два новых ряда. Один — данная последовательность степеней:

arxtgz = z - z3/3 + z5/5 + z7/7 + ... ,

а вторым был первый ряд Фурье в истории, который Эйлер описал в 1744 году в письме Гольдбаху, то есть задолго до того, как Жозеф Фурье (1768-1830) начал свои знаменитые исследования. И даже до того, как Фурье родился.

1/2x = sinx - 1/2 sin 2х + 1/3 sin Зx - ...

Вклад Эйлера в теорию чисел огромен, и его подробное изложение не является целью этой книги. Достаточно сказать, что только Карл Густав Якоб Якоби (1804-1851) и Сриниваса Рамануджан Айенгор (1887-1920) могут сравниться с ним по значению своих работ в этой области. Еще одним важным разделом математики, интересовавшим Эйлера, были дифференциальные уравнения. Здесь его самым знаменитым открытием, возможно, является метод Эйлера, позволяющий приближенно решать дифференциальные уравнения первого порядка.

ГЛАВА 4

Эйлер и теория чисел

Эйлер, имевший серьезные проблемы со зрением, в России мог бы удалиться от дел и спокойно почивать на лаврах. Но он работал до самой смерти: глубоко исследовал теорию чисел, добился превосходных результатов в области простых чисел, чисел Мерсенна и чисел Бернулли, а также диофантовых уравнений и разбиения множеств. Он также успел уделить время игровой математике и даже написал несколько научно-популярных книг.

Причиной возвращения Эйлера в Россию в 1766 году стало желание императрицы Екатерины II вернуть Академии былую славу. Ученый никогда не терял связи с Россией, даже живя в Берлине. Хорошо известно, что он посылал в Санкт- Петербург множество статей, которые были логическим продолжением работ, впервые опубликованных именно в России. Ученый также постоянно получал вознаграждение от Российской империи за решение определенных задач, например военного характера, и оказывал протекцию молодым русским, приезжавшим учиться в Европу. За научный вклад в работу Петербургской академии Эйлеру в 1742 году, когда он еще был в Берлине, была назначена пенсия. Один любопытный исторический факт дает представление не только о подробностях второго путешествия Эйлера в Россию, но и о том, насколько не сложились его отношения с предыдущим покровителем. В одном из своих писем Фридрих сожалел об утере целого ряда личных записок ученого во время кораблекрушения, произошедшего по пути в Санкт-Петербург: "Какая жалость, ведь из этих записок могло бы получиться шесть томов трактатов, полных цифр от начала и до конца, а теперь, видимо, Европа лишилась такого приятного чтения".

По приезду ученого ему было назначено весьма щедрое жалованье в 3000 рублей. Императрица даже отдала ему повара из своего дворца. Руководила Академией, по назначению Екатерины, княгиня Дашкова. Существует знаменитый и документально подтвержденный анекдот, который показывает, как высоко княгиня ценила Эйлера. Однажды она провожала ученого в зал собраний. Один напыщенный профессор захотел сесть на почетное место рядом с председательницей, она же насколько можно любезно обратилась к Эйлеру: "Располагайтесь, где хотите, господин Эйлер, хотя все мы знаем, что вы выберете самое почетное место, первое из всех".

Но не все было так прекрасно. Первой трагедией этого периода стала слепота. Эйлеру провели операцию по удалению катаракты со здорового глаза, и хотя в начале все было хорошо, позже началось воспаление, которое не заметили вовремя и из-за которого ученый в конце концов потерял зрение. В 1771 году он был почти слеп на оба глаза. Несмотря на это Эйлер не замедлил свой рабочий ритм. Напротив, можно утверждать, что его продуктивность в этот второй русский период была самой высокой за всю его жизнь. Но он не справился бы в одиночку: история сохранила имена некоторых его помощников, многие из которых были превосходными математиками. Это Георг Вольфганг Крафт, Михаил Евсеевич Головин, Степан Румовский, Семен Котельников и Петр Иноходцев, а также старший сын Эйлера Иоганн Альбрехт, его приемный внук Николай Фусс, математик и астроном шведского происхождения Андрей Лексель.

Старший сын Эйлера, Иоганн Альбрехт (1734-1800), был математиком и членом Берлинской академии с 1754 года, а также профессором Петербургской академии с 1765 года. Его научные таланты подтверждают семь призов, полученных им от разных академий в течение жизни.

Правой рукой Эйлера был Николай Фусс (1755-1826), математик, из ассистента ставший его личным секретарем, затем профессором в кадетском корпусе и постоянным секретарем Петербургской академии. В 1784 году он женился на внучке Эйлера и находился рядом со своим гениальным учителем до самой смерти.

Вполне естественно, что с персонажем такой величины, как Эйлер, связано большое количество историй. Однако проблема таких анекдотов состоит в том, что чем интереснее герой, тем их больше, и чем больше времени отделяет нас от этих событий, тем сложнее их проверить. Анекдот, приведенный ниже, мы выбрали, во-первых, из-за хорошей репутации его рассказчика — Дьедонне Тьебо (1733-1807), историка, которому можно доверять. Тьебо утверждает, что историю ему пересказали прямые свидетели. А во-вторых, этот анекдот очень популярен. Главный герой истории — французский писатель и философ Дени Дидро, отец и редактор "Энциклопедии". Находясь проездом в России, Дидро получил приглашение поучаствовать в дискуссии о существовании Бога. Эйлер, как очень верующий человек, обладал неоспоримым доказательством. Дидро принял участие в собрании, и Эйлер изложил ему свой тезис:

"Господин, (a + bn)/n = х, следовательно, Бог существует. Отвечайте же!"

Философ, не слишком разбиравшийся в математике, промолчал. Придворные истолковали это молчание как невозможность отрицать неопровержимое доказательство. Они посмеялись над Дидро за его спиной, и сконфуженный француз вернулся на родину. Так гласит рассказ.

Портрет Дени Дидро, отца и главного редактора "Энциклопедии".

Но эта история довольно быстро затрещала по швам, через которые стала просвечивать правда. Уравнение из рассказа не имеет никакого математического смысла. К тому же Дидро не был невеждой в этой дисциплине, а, напротив, обладал прекрасной математической подготовкой. Поэтому фраза, приписываемая Эйлеру, показалась бы ему тем, чем она была на самом деле, то есть бессмыслицей, и Дидро не преминул бы сказать об этом. Наконец, трудно представить себе серьезного и почтительного Эйлера, который придумал бы столь глупую шутку с таким образованным человеком, как Дидро. Единственное, что заслуживает доверия в этом рассказе,— сам факт возвращения Дидро во Францию.

Он написал для деда своей жены великолепную надгробную речь — длинный трогательный текст о его жизни и работе. Наконец, Андрей Лексель (1740-1784) работал с Эйлером в последний период его жизни и также находился в доме в момент смерти ученого. В то время Лексель вместе с Эйлером и Фуссом занимался изучением только что открытого Урана и с помощью вычислений предсказал существование Нептуна.

Еще одним несчастьем этого периода стал пожар, который случился в доме Эйлера в 1771 году и в котором ученый чуть не погиб. Его спасло только вмешательство слуги Петера Гримма (некоторые источники говорят просто о соотечественнике из Базеля), вынесшего Эйлера на своих плечах. Часть денег для перестройки дома в камне была выделена императрицей.

В 1754 году Эйлер опубликовал в Берлинской академии несколько записок о зубчатых колесах. В 1765 году, между берлинским периодом и возвращением в Россию, он вернулся к этой теме в Supplementum de figura dentium rotarum. В этом сочинении говорилось о форме зубьев вращающегося зубчатого колеса. На рисунке 1 изображено колесо с треугольными зубьями, но простых треугольников недостаточно. Профиль зубьев имеет важнейшее значение, и на рисунке 2, сделанном по работам Эйлера, мы видим идеальные зубья, образованные эвольвентой окружности. Она получается, если нарисовать траекторию конца веревки, обвязанной вокруг окружности, при ее разматывании. У зубьев общая касательная, и колесо не вибрирует, энергия не тратится на шум,

РИС. 1

РИС . 2

и затраты становятся минимальными. Эйлер был первым ученым, исследовавшим область эвольвентного зацепления, а его идеи привели к созданию уравнений Эйлера — Са- вари, которые используются в этой области и сегодня.