8. Квантовая механика I - Ричард Фейнман

Первый случай. У прибора Т ось у (вдоль которой дви­жутся частицы) та же самая, что и у S, но Т повернут вокруг общей оси у на угол а (на фиг. 3.6). (Чтобы быть точными, ука­жем, что в приборе Т установлена система координат х' , у', z', связанная с координатами х, у, z прибора S формулами z'=zcosa+хsina; х'=хcosa- zsina; у' = у.) Тогда ам­плитуды преобразований таковы:

(3.38)

Второй случай. Прибор Т имеет ту же ось г, что и S, но повернут относительно оси z на угол b. (Преобразование координат: z'=z; х' =xcosb+ysinb; у'=уcosb- хsinb.) Тогда амплитуды преобразований суть

(3.39)

Заметьте, что любые вращения Т можно составить из опи­санных двух вращений.

Если состояние j определяется тремя числами

и если то же состояние описывается с точки зрения Т тремя числами

тогда коэффициенты <jT| iS>из (3.38) и (3.39) дают преоб­разования, связывающие Сi и С'i. Иными словами. С; очень походят на компоненты вектора, который с точек зрения S и Т выглядит по-разному.

Только у частицы со спином 1 (потому что ей требуются как раз три амплитуды) есть такое тесное соответствие с векторами. Здесь во всех случаях имеется тройка чисел, которая обязана преобразовываться при изменениях координат определенным известным образом. И действительно, здесь есть и такая сово­купность базисных состояний, которая преобразуется в точ­ности, как три компоненты вектора. Три комбинации

преобразуются в С'х, С'у, С'zкак раз так же, как х, у, z преобра­зуются в х', у', z' . [Вы можете проверить это с помощью законов преобразований (3.38) и (3.39).] Теперь вы понимаете, почему частицу со спином 1 часто называют «векторной частицей».

§ 8. Другие случаи

Мы начали с того, что подчеркнули, что наши рассуждения о частице со спином 1 явятся прототипом любых квантовомеханических задач. Обобщения требует только количество состояний. Вместо тройки базисных состояний в других случаях может потребоваться n базисных состояний. Форма наших основных законов (3.27) останется той же, если только понимать, что i и j должны пробегать по всем n базисным состояниям. Любое явление можно проанализировать, задав амплитуды того, что оно начинается с любого базисного состояния и кончается тоже в любом базисном состоянии, а затем просуммировав по всей полной системе базисных состояний. Можно использовать лю­бую подходящую систему базисных состояний, и каждый впра­ве выбрать ту, которая ему по душе; связь между любой парой базисов осуществляется матрицей преобразований nXn. Позже мы подробнее расскажем об этих преобразованиях.

Наконец, мы пообещали рассказать о том, что надо делать, если атомы прямо из печи проходят через какой-то прибор А и затем анализируются фильтром, который отбирает состояние c. Вы не знаете, каково то состояние j, в котором они входят в прибор. Лучше всего, наверное, было бы, если бы вы, не думая пока об этой проблеме, занимались такими задачами, в ко­торых вначале имеются только чистые состояния. Но если уж вы на этом настаиваете, так вот как расправляются с этой про­блемой.

Прежде всего вы должны быть в состоянии сделать разумные предположения о том, каким образом распределены состояния в атомах, которые выходят из печи. Например, если в печи нет чего-либо «особого», то разумно предположить, что атомы по­кидают печь, будучи «ориентированы» как попало. Квантовомеханически это соответствует вашему утверждению о том, что о состояниях вы не знаете ничего, кроме того, что треть ато­мов находится в состоянии (+S), треть — в состоянии (0S) и треть — в состоянии (-S). Для пребывающих в состоянии (+S) амплитуда пройти сквозь А есть <c|А|+S>, а вероят­ность |<c|А|+S>|2. То же и для других. Общая вероят­ность тогда равна

Но почему мы пользовались S, а не Т или каким-нибудь другим представлением? Дело в том, что, как это ни странно, ответ не зависит от того, каким было исходное разложение; он один и тот же, если только мы имеем дело с совершенно случайными ориентациями. Таким же образом получается, что

для любого c. (Докажите-ка это сами!)

Заметьте, что неверно говорить, будто входные состояния обладают амплитудой Ц1/3быть в состоянии (+S), Ц1/3 в состоянии (0S)и Ц1/3в состоянии (-S); если бы это было так, были бы допустимы какие-то интерференции. Здесь вы просто не знаете, каково начальное состояние; вы обязаны думать на языке вероятностей, что система сперва находится во всевоз­можных мыслимых начальных состояниях, и затем взять средне­взвешенное по всем возможностям.

* Число базисных состояний n может оказаться (и, вообще говоря, бывает) равным бесконечности.

* И в самом деле, для атомных систем с тремя или более базисными состояниями существуют другие типы фильтров (совершенно непохожие на приборы Штерна —Герлаха), которые можно было бы употребить для выбора других совокупностей базисных состояний (но при том же общем иx числе).

* Из этого опыта мы на самом деле не можем заключить, что а= 1, а видим только, что |а|2=1, следовательно, а может быть eid, но можно показать, что при выборе d=0 мы ничего существенного здесь не по­теряли.

* На языке наших прежних обозначений

* Мы не собираемся вкладывать в слова «базисное состояние» что-либо сверх того, что здесь сказано. Не следует переводить «базис» как «основу» и хоть в каком-то смысле считать их «основными состояниями». Слово «базис» понимается как «система описания», скажем, в таком смыс­ле, как в выражении «число в десятичной системе».

* Произносить надо так: (+S)—«плюс-S»; (0S) — «нуль-S»; (-S)— «минус-S».

Глава 4

СПИН ОДНА ВТОРАЯ

§ 1. Преобразование амплитуд

§ 2. Преобразование к повернутой системе координат

§ 3. Повороты вокруг оси z

§ 4. Повороты на 180° и на 90 вокруг оси у

§ 5. Повороты вокруг оси x

§ б. Произвольные повороты

§ 1. Преобразование амплитуд

В предыдущей главе мы, пользуясь в ка­честве примера системой со спином 1, набросали общие принципы квантовой механики.

Любое состояние y можно описать через совокупность базисных состояний, задав амплитуды пребывания в каждом из них.

Амплитуда перехода из одного состоя­ния в другое может быть в общем слу­чае записана в виде суммы произведений амплитуд перехода в одно из базисных со­стояний на амплитуды перехода из этих базисных состояний в конечное положе­ние; в сумму непременно входят члены, относящиеся к каждому базисному состоя­нию;

Базисные состояния ортогональны друг другу — амплитуда пребывания в одном, если вы находитесь в другом, есть нуль:

Амплитуда перехода из одного состоя­ния в другое комплексно сопряжена амп­литуде обратного перехода

Мы немного поговорили о том, что базис для состояний может быть не один и что можно использовать (4.1), чтобы пе­рейти от одного базиса к другому. Пусть, например, мы знаем амплитуды <iS|y> обнаружения состояния y в лю­бом из базисных состояний i базисной системы S, но затем решаем, что лучше описывать состояние в терминах другой совокупности базисных состояний — скажем, состояний j, при­надлежащих к базису Т. Мы тогда можем подставить в общую формулу (4.1) jT вместо c и получить

Амплитуды обнаружения состояния (y) в базисных состояниях (jТ) связаны с амплитудами его обнаружения в базисных со­стояниях (iS) совокупностью коэффициентов <jT|iS>. Если базисных состояний N, то таких коэффициентов всего N2. Эту совокупность коэффициентов часто называют «матрицей преобразования от представления S к представлению Т». Математически это выглядит страшновато, но стоит все чуть обозначить иначе и оказывается, что ничего страшного нет. Если обозначить через С; амплитуду того, что состояние y находится в базисном состоянии iS, т. е. Ci=<iS|y>, а через C'jназвать соответствующие амплитуды для базисной системы Т. т. е. Сj=<jT|y>, то (4.4) можно записать в виде