Математические головоломки профессора Стюарта - Иэн Стюарт

Кто из подозреваемых вор? Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».

Хозяин всего, что за оградой

Один фермер хотел огородить как можно больший участок поля как можно более короткой оградой. Не слишком, может быть, хорошо подумав, он обратился с этим в местный университет, который прислал ему для консультации инженера, физика и математика.

Инженер построил круглую ограду и сказал, что в данном случае окружность – самая эффективная фигура.

Физик построил прямую ограду такой длины, что ее концы невозможно было разглядеть, и сказал фермеру, что фактически эта ограда идет вокруг Земли, так что он огородил ровно половину планеты.

Математик построил тесную круглую ограду вокруг себя и сказал, что он, математик, находится снаружи.

Еще одна любопытная числовая закономерность

1 × 8 + 1 = 9;

12 × 8 + 2 = 98;

123 × 8 + 3 = 987;

1234 × 8 + 4 = 9876;

12345 × 8 + 5 = 98765.

Итак, вопросы для начинающих Хемлоков Сомсов: что дальше и когда эта закономерность прекратится?

Ответы см. в главе «Загадки разгаданные».

Задача о непрозрачном квадрате

Кстати, об оградах… Что представляет собой ограда наименьшей длины, перекрывающая все линии зрения, проходящие через квадратное поле? Имеется в виду такая ограда, которая пересекалась бы с любой прямой, проходящей через поле. Это и есть «Задача о непрозрачном квадрате»; название указывает, что нужно сделать квадрат полностью непрозрачным для взгляда. Вопрос этот первым задал Стефан Мазуркевич в 1916 г., причем для произвольной фигуры, не только для квадрата. Ответа на него до сих пор нет, хотя некоторый прогресс достигнут.

Предположим, что сторона квадратного поля равна единице. Тогда ограды вдоль всех четырех сторон квадрата наверняка будет достаточно, и ее длина будет равна 4. Однако можно убрать одну из сторон, и квадрат при этом останется непрозрачным, а ответ уменьшится до 3. Это и есть ограда наименьшей длины, образованная одной ломаной линией. Но если мы разрешим строить ограды из нескольких отдельных отрезков прямых, то на ум быстро придет более короткий вариант: две диагонали поля суммарной длиной 2√2 = 2,828 (приближенно).

Можно ли добиться лучшего результата? Один общий факт очевиден: непрозрачная ограда, полностью умещающаяся в пределах поля, обязательно должна содержать все четыре угла квадрата. Если хотя бы один из углов не будет включен в нее, найдется прямая, которая пересечет квадрат в этой единственной точке (она пройдет снаружи по диагонали через угол) и минует нашу ограду. Но даже одна такая прямая станет нарушением условия задачи.

Любая ограда, включающая в себя все четыре угла и соединяющая их, должна быть непрозрачной, потому что любая прямая, рассекающая квадрат, должна либо проходить через угол, либо разделять два угла, а значит, любая линия, соединяющая углы, непременно с ней пересечется. Но является ли пара диагоналей наименее протяженной из подобных оград? Нет, не является. Самая короткая ограда, соединяющая все четыре угла квадрата, называется деревом Штейнера и имеет длину 1 + √3 = 2,732 (приближенно). Линии, составляющие это дерево, встречаются под углами 120°.

Однако оказывается, что даже эта ограда – не самая короткая. Существует разомкнутая ограда, в которой одна из частей блокирует линии прямой геометрической видимости через прореху в другой. Длина ее равна √2 + √(3/2) = 2,639. Считается, хотя пока и не доказано, что это и есть непрозрачная ограда наименьшей длины. Бернд Каволь доказал, что это самая короткая ограда, состоящая ровно из двух несвязанных кусков. Один из этих кусков – дерево Штейнера, связывающее три угла, то есть три отрезка, которые исходят из углов и встречаются под углами 120°. Второй – кратчайший отрезок прямой, соединяющий центр квадрата и четвертый угол.

Мы не можем даже сказать наверняка, что именно этот вариант представляет кратчайшую непрозрачную ограду. Или, скажем, что если существует ограда еще короче, то она непременно целиком укладывается внутрь квадрата. Вэнс Фэйбер и Ян Мысельски доказали, что для любого заданного конечного числа кусков существует по крайней мере одна кратчайшая непрозрачная ограда. (В принципе их вполне может быть и несколько.) Технически возможен следующий вариант: чем больше составных частей ограды вы допускаете, тем короче получается ограда. Эта проблема до сих пор не решена, и мы не можем с полной уверенностью сказать, что это не так. Если же это так, то существует последовательность все более коротких оград, но не существует ограды, которая была бы короче всех. Иначе говоря, самой короткой оградой является та, что состоит из бесконечного множества не связанных между собой частей.

Непрозрачные многоугольники и круги

Существует стандартный математический трюк: если не можешь решить задачу, обобщи ее, то есть рассмотри некоторое множество аналогичных, но более сложных задач. Эта мысль может показаться глупой: как рассмотрение более сложной задачи поможет справиться с менее сложной? Но чем больше у вас примеров для обдумывания, тем выше шансы заметить какую-нибудь интересную общую черту, которая и послужит ключом к задаче. Этот прием не всегда срабатывает, и здесь мы пока не видели подобных примеров, но иногда помогает.

Один из способов генерализации, или обобщения, задачи о непрозрачном квадрате состоит в том, чтобы изменить форму поля. Замените квадрат на прямоугольник или многоугольник с бо́льшим числом сторон, круг или эллипс – здесь открывается широчайшее поле для фантазии.

Математики сосредоточились в основном на двух генерализациях: на правильных многоугольниках и кругах. Самая короткая известная непрозрачная ограда для правильного треугольника – это дерево Штейнера, соединяющее каждый из углов с центром треугольника. Существует общая конструкция, которая позволяет получить ограды наименьшей длины для правильных многоугольников с нечетным числом сторон, и похожая на нее конструкция для четного числа сторон.

А как насчет непрозрачного круга? Если вся ограда должна располагаться в пределах фигуры, то очевидный ответ – это длина окружности. Для единичного круга это 2π = 6,282. Если часть окружности отсутствует, вам потребуются дополнительные участки ограды внутри круга, которые блокировали бы прямые, проходящие через отсутствующий сегмент, и все сильно усложняется. Интуитивно круг можно представить как правильный многоугольник с бесконечным числом бесконечно коротких сторон. На основании этой идеи Каволь доказал, что построение, аналогичное построению для правильных многоугольников, но с бесконечным числом сторон, дает непрозрачную ограду полной длины π + 2 = 5,141, что меньше 2π. Но если мы разрешим вынос части ограды за пределы круга, то выяснится, что существует более короткая непрозрачная ограда в форме буквы U. Ее длина также равна π + 2. Предполагается, что это самая короткая из возможных оград; пока это доказано для оград, представляющих собой единую кривую без ветвления.

Кроме того, задача была расширена на трехмерное пространство: здесь ограда превращается в сложную поверхность. Самая известная непрозрачная ограда для куба образована из нескольких искривленных кусков.

πr²?

No, pie are round. Chocolate are squared[14].

Знак одного

Из мемуаров доктора Ватсапа

– Сомс! Вот симпатичная головоломка. Она могла бы заинтересовать вас.

Хемлок Сомс положил кларнет, на котором только что исполнял боливийскую погребальную мелодию.

– Я в этом сомневаюсь, Ватсап.

Меланхоличное настроение преследовало моего друга уже несколько недель, и я намеревался во что бы то ни стало встряхнуть его.

– Задача в том, чтобы выразить целые числа 1, 2, 3 и т. д. с использованием не более чем…

– Четырех четверок, – сказал Сомс. – Я хорошо знаю эту задачу, Ватсап[15].

Я решил, что не позволю отсутствию интереса с его стороны смутить меня.

– Основные арифметические символы позволяют таким образом добраться до 22. Знак квадратного корня повышает этот предел до 30. Знак факториала – до 112; знак возведения в степень – до 156…

– А субфакториала – до 877, – закончил за меня Сомс. – Это старая задачка, и ее уже давно выжали досуха.

– Что такое субфакториал, Сомс? – спросил я, но он уже уткнулся носом во вчерашний выпуск Daily Wail[16].

Однако не прошло и минуты, как он вновь показался из-за газетного листа.

– Имейте в виду, Ватсап, существует множество возможных вариантов. Использование именно четверки дает нам значительную свободу, к тому же всего из одной четверки можно получить несколько весьма полезных чисел. К примеру, √4 = 2 и 4! = 24.