Математические головоломки профессора Стюарта - Иэн Стюарт

Пусть π2 (x) обозначает число простых чисел p ≤ x, таких, что p + 2 также простое число. Определим постоянную простых чисел-близнецов

(где символ П указывает на произведение по всем простым числам p ≥ 3). Тогда гипотеза заключается в том, что

где знак ~ означает, что данное отношение стремится к 1 по мере того, как n становится сколь угодно большим (Godfrey Harold Hardy and John Edensor Littlewood, 1923).

Существует также вторая гипотеза Харди – Литтлвуда (см. ниже).

Начнем с простых чисел

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …

и вычислим разницу между соседними членами последовательности:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, …

Повторим те же вычисления для новой последовательности, не обращая внимания на знак, и продолжим в том же духе. Пять первых последовательностей будут выглядеть следующим образом:

1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, …

1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, …

1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, …

1, 2, 0, 0, 0, 2, …

1, 2, 0, 0, 2, …

Гилбрейт и Прот предположили, что первым членом каждой из этих последовательностей всегда будет 1, сколько бы раз мы ни повторяли процедуру (Norman Gilbreath, 1958, François Proth, 1978).

В 1993 г. Эндрю Одлизко проверил эту гипотезу для первых 3,4 × 1011 последовательностей.

Всякое четное целое число, большее 2, можно выразить как сумму двух простых чисел (Christian Goldbach, 1742).

Т. Оливейра-и-Силва проверил эту гипотезу на компьютере для n ≤ 1,609 × 1018.

Каждому элементу множества последовательных составных чисел можно поставить в соответствие отдельное простое число, которое является его делителем (C. A. Grimm, 1969).

К примеру, если взять составные числа 32, 33, 34, 35, 36, то им можно поставить в соответствие простые числа 2, 11, 17, 5, 3.

В 1912 г. Эдмунд Ландау перечислил четыре фундаментальные проблемы, связанные с простыми числами и известные в настоящее время как проблемы Ландау. Первые три – это гипотеза Гольдбаха (см. выше), гипотеза о простых числах-близнецах (см. ниже) и гипотеза Лежандра (см. ниже). Четвертая проблема выглядит так: существует ли бесконечно много простых чисел p, таких что p − 1 является полным квадратом? То есть p = x² + 1 для целого x.

Вот первые несколько таких чисел: 2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837, 12 101, 13 457, 14 401 и 15 377. А вот пример побольше (но ни в коем случае не самый большой):

p = 1, 524, 157, 875, 323, 883, 675, 049, 535, 156, 256, 668, 194, 500, 533, 455, 762, 536, 198, 787, 501, 905, 199, 875, 019, 052, 101

x = 1, 234, 567, 890, 123, 456, 789, 012, 345, 678, 901, 234, 567, 890.

В 1997 г. Джон Фридлендер и Хенрик Иванец доказали, что существует бесконечно много простых чисел вида x2 + y4 для целых x, y. Первые из этого ряда: 2, 5, 17, 37, 41, 97, 101, 137, 181, 197, 241, 257, 277, 281, 337, 401 и 457. Иванец доказал, что существует бесконечно много чисел вида x² + 1, имеющих не более двух простых множителей.

Близко, но не то.

Адриан-Мари Лежандр предположил, что для любого положительного n существует простое число, лежащее между n² и (n + 1)². Это утверждение могло бы быть следствием из гипотезы Андрики (см. выше) и гипотезы Опперманна (см. ниже). Из гипотезы Крамера (см. выше) следует, что гипотеза Лежандра верна для всех достаточно больших чисел. Известно, что она верна вплоть до 1018.

Все нечетные целые числа, большие 5, могут быть представлены как сумма нечетного простого числа и удвоенного простого числа (Émile Lemoine, 1894, Hyman Levy, 1963).

Д. Корбитт подтвердил эту гипотезу вплоть до 109.

В 1644 г. Марен Мерсенн объявил, что числа 2n – 1 являются простыми для n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 и 257 и составными для всех остальных положительных целых n<257. Позже было показано, что Мерсенн допустил пять ошибок: n = 67 и 257 дают составные числа, а n = 61, 89, 107 дают простые. Гипотеза Мерсенна привела к созданию новой гипотезы Мерсенна и гипотезы Ленстры – Померанца – Вагстаффа, которые значатся в нашем перечне следующими.

Для любого нечетного p если выполняются любые два из следующих условий, то выполняется и третье:

1. p = 2k ± 1 или p = 4k ± 3 для некоторого натурального числа k;

2. число 2p − 1 – простое (простое Мерсенна);

3. число (2p + 1)/3 – простое (простое Вагстаффа).

(Paul Bateman, John Selfridge and Samuel Wagstaff Jr., 1989)

Существует бесконечное число простых Мерсенна, причем число простых Мерсенна, меньших x, приблизительно равно eγ ln ln x/ln 2, где γ – постоянная Эйлера, приблизительно равная 0,577 (Hendrik Lenstra, Carl Pomerance and Samuel Wagstaff Jr., не опубликовано).

Для любого целого числа n>1 существует по крайней мере одно простое число между n (n – 1) и n² и по крайней мере еще одно простое число между n² и n (n + 1) (Ludvig Henrik Ferdinand Oppermann, 1882).

Для любого положительного четного n существует бесконечное число пар последовательных простых чисел с разницей в n (Alphonsede Polignac, 1849).

Для n = 2 это утверждение соответствует гипотезе о простых числах-близнецах (см. ниже). Для n = 4 она означает, что существует бесконечно много пар «двоюродных простых чисел» (p, p + 4). Для n = 6 она означает, что существует бесконечно много пар простых чисел (p, p + 6), известных как sexy (от латинского названия числа 6); при этом между числами p и p + 6 простых чисел нет.

Всякий интервал [xm, yn] (то есть любое множество чисел от xm до yn) содержит по крайней мере одно простое число, за исключением [2³, 3²], [5², 3³], [25, 6²], [11², 5³], [37, 13³], [55, 56²], [181², 215], [43³, 282²], [46³, 312²], [22434², 555] (Stephen Redmond and Zhi-Wei Sun, 2006).

Эта гипотеза подтверждена для всех интервалов [xm, yn] до 10¹².

Если π (x) есть число простых чисел вплоть до x, включая x, то π (x + y) ≤ π (x) + π (y) для x, y ≥ 2 (Godfry Harold Hardy and John Littlewood, 1923).

Существуют технические соображения, согласно которым можно ожидать, что это предположение окажется ложным, но первое нарушение возникнет, скорее всего, при очень больших величинах x, вероятно, больших, чем 1,5 × 10174, но меньших, чем 2,2 × 101198.

Существует бесконечно много простых чисел p, таких, что число p + 2 тоже простое.

25 декабря 2011 г. PrimeGrid – «проект распределенных вычислений», в котором используются свободные ресурсы на компьютерах добровольцев, пожелавших принять в нем участие, объявил наибольшую известную на сегодняшний день пару простых чисел-близнецов:

3 756 801 695 685 × 2666 669 ± 1.

Каждое из этих чисел содержит 200 700 знаков.

В интервале до 1018 содержится 808 675 888 577 436 пар простых чисел-близнецов.

Оптимальная пирамида

Стоит подумать о Древнем Египте, и в голову сразу же приходят пирамиды, в первую очередь Великая пирамида Хеопса в Гизе, самая большая из всех, и стоящая рядом с ней пирамида Хефрена, чуть поменьше, и относительно небольшая пирамида Микерина. Известны остатки более чем 36 крупных и сотен более мелких египетских пирамид – от громадных и почти полностью сохранившихся до простых отверстий в земле, содержащих лишь несколько обломков камня от погребальной камеры, а иногда и того меньше.

О форме, размерах и ориентации пирамид написаны огромные тома. Большая часть их содержимого умозрительна; на основе различных численных соотношений выстраиваются весьма амбициозные цепочки рассуждений. Особенно любят исследователи Великую пирамиду: с чем только ее ни связывали – и с золотым сечением, и с числом π, и даже со скоростью света. К подобным рассуждениям возникает столько вопросов, что трудно воспринимать их серьезно: в любом случае данные, на которых они основаны, часто неточны; к тому же с таким количеством измерений и параметров всегда можно подобрать нужную комбинацию.