Математические головоломки профессора Стюарта - Иэн Стюарт

– Что мы должны действовать систематически!

– Именно.

– Мы уже добрались… напомните мне, Ватсап. Загляните в свои обширные записи.

Я с головой зарылся в несколько высоких бумажных башен и в конце концов отыскал свой блокнот под чучелом какого-то скунса.

– Мы дошли до 32, Сомс, если учесть замечание, которое вы мимоходом сделали во время поиска выражения для 7.

– И разумеется,

– сказал он. – Очень хорошо. Таким образом, в идеале нам нужно выразить числа 68, 103, 138 и т. д. через две единицы. Но мы можем пользоваться при этом готовыми выражениями для маленьких чисел, если так будет удобнее. Лишь бы разница между двумя соседними числами не была больше 35.

Несколько часов усиленных расчетов – и новые кипы бумаги – дали нам короткий, но важный список:

Но на этом все и застопорилось.

– Возможно, я слишком поспешно отказался от использования двойных факториалов, Ватсап.

– Очень может быть, Сомс.

Сомс кивнул и записал:

105 = 7!!

Затем, в порыве внезапного озарения, добавил:

И воскликнул:

– Если нам удастся найти способ записать 18 при помощи двух единиц, то доступный нам диапазон вокруг целого числа, выражаемого через две единицы, увеличится: мы тогда сможем гарантировать число от n – 20 до n + 20, – он прервался, чтобы перевести дух, и добавил: – Если же нет, то пропущенными в этом диапазоне окажутся только числа n – 18 и n + 18, которые нам, может быть, удастся выразить как-то иначе.

– Мне кажется, пора подвести промежуточный итог, – сказал я и еще раз внимательно просмотрел наши накопившиеся каракули. – По-моему, мы уже выразили через четыре единицы все числа от 1 до 33. Далее

требуют только двух единиц, так что мы немедленно заполняем все пропуски между 26 и 61. Возникает пробел на 62 (потому что это 44 + 18, а на выражении 18 через две единицы мы застряли), но 63 и 64 у нас есть. Далее, опираясь на 80, мы можем добраться до 97. На 98 опять возникает пробел, но 99 и 100 можно получить.

– И намного проще, кстати говоря, – заметил Сомс:

99 = 11/0,1 × 0,1;

100 = 1/(0,1 × 0,1);

101 = 1/(0,1 × 0,1) + 1.

– Таким образом, у нас есть все вплоть до 100, – сказал я, – за исключением 62 и 98.

– Но о 98 позаботится 105, вместе со всеми остальными числами вплоть до 122, – сказал Сомс.

– О, я и забыл, что у нас есть 105 из двух единиц.

– А поскольку 120 = 5! то есть тоже выражается через две единицы, мы можем добраться до 137. Более того, у нас есть еще 139 и 140.

– Так что единственные пробелы до 140 – это 62 и 138, – сказал я.

– Похоже на то, – сказал Сомс. – Интересно, можно ли заполнить эти пробелы каким-то другим способом?

Сможете ли вы найти способ записать 62 и 138 при помощи четырех единиц, не используя ничего более эзотерического, чем те функции, которые Сомс и Ватсап уже использовали? Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».

Сомс и Ватсап все еще не закончили. Но финал уже близок: «Знак одного» завершается в главе «Знак одного. Часть четвертая – завершение».

Номера такси

Сриниваса Рамануджан – индийский математик-самоучка с поразительным талантом к формулам, как правило очень странным формулам, обладавшим, однако, своеобразной необычной красотой. В 1914 г. математики Годфри Харолд Харди и Джон Эденсор Литтлвуд из Кембриджа привезли его в Англию. К 1919 г. у него уже были неизлечимо больные легкие, и в 1920 г. он умер в Индии. Харди писал:

«Помню, как я однажды поехал навестить его, когда он лежал больной в Путни. Я приехал в такси номер 1729 и заметил вскользь, что номер этот показался мне довольно скучным и что я надеюсь, что это не дурное предзнаменование. „Нет, – ответил он, – это очень интересный номер; это наименьшее число, которое можно выразить в виде суммы двух [положительных] кубов двумя разными способами“».

Наблюдение о том, что

1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³,

впервые опубликовал Бернар Френикль де Бесси в 1657 г. Если разрешить отрицательные кубы, то наименьшим таким числом будет

91 = 6³ + (–5)³ = 4³ + 3³.

Специалисты по теории чисел обобщили эту концепцию, заявив, что n-й номер такси Ta (n) есть наименьшее число, которое можно выразить в виде суммы двух положительных кубов n и другими способами.

В 1979 г. Харди и Э. М. Райт доказали, что некоторые числа могут быть выражены в виде суммы произвольно большого числа положительных кубов, так что Ta (n) существует для любых n. Однако вплоть до настоящего времени известны лишь первые шесть таких чисел:

Ta (1) = 2 = 1³ + 13;

Ta (2) = 1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³;

Ta (3) = 87539319 = 167³ + 436³ = 228³ + 423³ = 255³ + 414³;

Ta (4) = 6963472309248 = 2421³ + 19083³ = 54363 + 18948³ = 10200³ + 18072³ = 13322³ + 166308³;

Ta (5) = 48988659276962496 = 38787³ + 3657573 = 107839³ + 362753³ = 205292³ + 342952³ = 221424³ + 336588³ = 231518³ + 331954³;

Ta (6) = 24153319581254312065344 = 582162³ + 28906206³ = 3064173³ + 28894803³ = 8519281³ + 28657487³ = 16218068³ + 27093208³ = 17492496³ + 26590452³ = 18289922³ + 26224366³.

Ta (3) открыл Джон Лич в 1957 г. Ta (4) нашли Э. Розенстил, Дж. А. Дардис и К. Р. Розенстил в 1991 г. Ta (5) обнаружил Дж. А. Дардис в 1994 г. и подтвердил Дэвид Уилсон в 1999 г. В 2003 г. К. С. Калуд, Э. Калуд и М. Дж. Диннин установили, что приведенное выше число, вероятно, является Ta (6), а в 2008 г. Уве Холлербах опубликовал доказательство.

Волна перемещения

Математические исследования верхом?

Почему бы нет? Вдохновение может осенить где угодно. Выбирать не приходится.

В 1834 г. шотландский инженер-кораблестроитель Джон Скотт Рассел, ехавший на лошади вдоль канала, обратил внимание на поразительное явление:

«Я наблюдал за движением лодки, которую стремительно тянула по узкому каналу пара лошадей, как вдруг лодка остановилась – лодка, но не та масса воды в канале, которую она увлекла и приводила в движение; эта вода собралась вокруг носа судна в состоянии неистового возбуждения, затем внезапно оторвалась от него и покатилась вперед с огромной скоростью, принимая форму большого одиночного возвышения, округлой, гладкой и четко очерченной водяной массы, которая продолжила движение вдоль канала без всякого видимого изменения формы или снижения скорости. Я последовал за ней верхом и догнал; она катилась дальше со скоростью примерно 13 или 15 км/ч, сохраняя первоначальную форму, размером около 9 м в длину и 30–45 см в высоту. Ее высота постепенно снижалась, и после преследования на протяжении 1,5–3 км я потерял ее среди извивов канала. Вот такой в августе 1834 г. была моя первая случайная встреча с этим исключительным и красивым явлением, которое я назвал волной перемещения».

Рассела заинтриговало это явление, поскольку обычно одиночные волны расходятся в стороны по мере движения или рассыпаются, как прибой на пляже. Он соорудил дома волновой бассейн и провел серию экспериментов. В ходе испытаний выяснилось, что такая волна очень устойчива и может пройти большое расстояние, не меняя формы. Волны разных размеров движутся с разными скоростями. Если одна такая волна догоняет другую, она выходит вперед после сложного взаимодействия. А большая волна на мелководье разделяется на две – среднюю и маленькую.

Эти открытия поставили физиков того времени в тупик, потому что совершенно не поддавались объяснению с позиции тогдашних взглядов на поведение жидкостей. Более того, видный астроном Джордж Эйри и ведущий специалист по динамике жидкостей Джордж Стокс долго не верили, что такая волна существует. Сегодня мы знаем, что Рассел был прав. В некоторых обстоятельствах нелинейные эффекты, неизвестные математикам того времени, компенсируют тенденцию всякой волны к расхождению, потому что скорость движения волны зависит от частоты колебаний. В этих эффектах первыми разобрались лорд Рэлей и Жозеф Буссинеск примерно в 1870 г.

В 1895 г. Дидерик Кортевег и Густав де Врис предложили уравнение Кортевега – де Вриса, в которое вошли подобные эффекты, и показали, что у него есть обособленные (солитарные) волновые решения. Аналогичные результаты были получены для других уравнений математической физики, и феномен получил новое название: солитон. Серия крупных открытий позволила Питеру Лаксу сформулировать очень общие условия, при которых уравнения имеют обособленные решения, и объяснить эффект туннелирования. Математически этот процесс сильно отличается от того, как взаимодействуют мелководные волны, к примеру, на пруду, когда их формы складываются; все это – прямое следствие математической формы волнового уравнения. Солитоноподобные явления наблюдают во многих областях науки – от ДНК до волоконной оптики. Именно этим объясняется существование широкого спектра явлений со странными названиями вроде «бризер», «кинк» и «осциллон».