Математические головоломки профессора Стюарта - Иэн Стюарт

Есть также весьма соблазнительная идея, которую пока никому не удалось заставить работать. Элементарные частицы в квантовой механике соединяют в себе каким-то образом две разные несовместимые на первый взгляд характеристики. Как и большинство объектов квантового уровня, они представляют собой волны, но при этом умеют соединяться в частицеподобные блоки. Физики давно пытаются отыскать уравнения, которые согласовывались бы со структурой квантовой механики, но допускали существование солитонов. Лучшее, чего им на сегодняшний день удалось достичь, – это уравнение, описывающее инстантон, который можно интерпретировать как частицу с очень коротким временем жизни, которая возникает из ниоткуда и немедленно после этого исчезает.

Загадка песков

Песчаные дюны образуют самые разные узоры: линейные, поперечные, параболические и т. п. Одна из наиболее интересных их разновидностей – бархан, или серповидная дюна. Название происходит из Туркестана; говорят, что в геологию его ввел русский натуралист Александр фон Миддендорф. Барханы можно найти в Египте, Намибии, Перу… и даже на Марсе. Они имеют серповидную форму, бывают разных размеров и, самое главное, движутся. Они собираются группами, взаимодействуют друг с другом, делятся и соединяются. В последние годы математическое моделирование помогло многое понять в их форме и поведении, но многие стороны их жизни до сих пор остаются загадкой.

Дюны формируются в процессе воздействия ветра на песчинки. Округлая сторона бархана обращена навстречу преобладающим ветрам, которые загоняют песчинки вверх по фронтальному склону дюны и гонят вдоль боковых ее склонов, где песок образует два «хвоста», которые и придают бархану характерную серповидную форму. На верхушке дюны песок перекатывается через гребень и засасывается вниз вдоль крутого подветренного склона между концами полумесяца. Большой воздушный вихрь – область так называемого «срыва потока» – выметает все лишнее из промежутка между ними.

Барханы ведут себя как солитоны (см. предыдущую тему), хотя технически отличаются в некоторых деталях. Ветер, перенося песок, постепенно сдвигает дюны, причем маленькие дюны перемещаются быстрее больших. Если маленькая дюна догоняет большую, то сначала она как будто поглощается ею, но через некоторое время большой бархан «выплевывает» из себя другой, маленький, как будто первый маленький бархан проделал в большом туннель и прошел его насквозь. После этого маленький бархан продолжает свой бег, оставляя ковыляющего монстра позади.

Вейт Шваммле и Ханс Херман опубликовали на эту тему статью, где говорят о сходствах и различиях между столкновениями барханов и солитонами. На рисунке показано, что происходит, когда встречаются две дюны примерно одинаковых размеров. Первоначально (a) меньшая дюна находится позади более крупной, но движется быстрее. Она догоняет большую дюну (b) и взбирается по ее наветренному склону, но застревает на полпути (c). Затем фронтальная часть дюны разделяется, чтобы сформировать другую небольшую дюну (d).

При одних сочетаниях высот новая дюна окажется больше той маленькой дюны, с которой все начиналось, при других – меньше. Солитоны ведут себя не так, там обе волны сохраняют свои первоначальные размеры. Однако существует и некий промежуточный диапазон сочетаний высот, при котором дюны в точности сохраняют свои размеры. В этом случае они ведут себя подобно солитонам.

Если маленькая дюна намного меньше крупной, то она просто поглощается с образованием нового, еще более крупного бархана. При умеренной разнице в размерах столкновение может привести к «размножению»: два маленьких бархана сформируются на концах рогов крупного «родителя» и пойдут дальше впереди него. Все это проделывают не только компьютерные модели, но и настоящие барханы. Вообще, песчаные дюны обладают более богатой динамикой, чем традиционные солитоны.

π для эскимосов

Почему π в Арктике равно всего лишь 3?

На холоде все съеживается.

Знак одного. Часть четвертая – завершение

Из мемуаров доктора Ватсапа

– Да, это острая штучка, – пробормотал я.

– Корнишон, кажется, – заметил Сомс, выдергивая из банки маринованный огурчик и с наслаждением его пережевывая.

Я убрал острое лакомство обратно в буфет вместе с банкой.

– У нас и правда есть возможность, – заметил Сомс, – умножать числа на 3, 9 или 10 с использованием всего одной дополнительной единицы. Для этого достаточно разделить число на √(0,(1)), 0, (1) или 0,1.

– Тогда у меня есть вариант! – воскликнул я.

62 = 63 – 1 = 7 × 9–1 = 7/0,(1) – 1,

помня, что у нас уже есть выражение для 7 из двух единиц – и даже в двух различных вариантах.

– И у нас остается одна проблема – 138.

– Так, это 3 × 46, – размышлял я вслух. – Можем мы получить 46, используя всего три единицы? Тогда мы могли бы разделить его на√(0,(1)), как вы предлагали.

Систематическое исследование разных вариантов округления последовательных квадратных корней из факториалов привело нас к неожиданному открытию: 46 можно получить всего из двух единиц. Я покажу здесь только решение: на пути к нему нам пришлось обследовать множество тупиков и потерпеть немало неудач. Начать можно, к примеру, с представления 7 через две единицы:

Затем заметим, что

Двигаясь обратно и подставляя формулы для соответствующих чисел, получим выражение для 138 через три единицы.

– Записать все это явно, Сомс?

– Бога ради, не нужно! Всякий, кто захочет увидеть полную формулу, сможет сделать это самостоятельно.

Вдохновленный неожиданным успехом, я хотел продолжить наш список еще дальше, но Сомс только пожал плечами:

– Может, эта проблема заслуживает дальнейшего рассмотрения. А может, и нет.

Внезапно меня осенило:

– А не можем ли мы доказать, что любое число можно получить из четырех – или меньше – единиц путем подбора полов и потолков повторяющихся квадратных корней из факториалов?

– Вполне возможно, Ватсап, вполне возможно, но я, откровенно говоря, не вижу пути к такому доказательству, к тому же напряжение от такого количества ментальной арифметики начинается сказываться.

Прямо на глазах он вновь начал погружаться в депрессию. В отчаянии я предложил:

– Вы могли бы попробовать логарифмы, Сомс.

– Я думал о них в самом начале, Ватсап. Вы, вероятно, будете удивлены, но использование логарифмов экспоненциальной функции и функции потолка – ничего больше – позволяет выразить любое положительное целое число через одну-единственную единицу.

– Нет-нет, я говорил об использовании логарифмов для облегчения вычислений, а не в формулах… – но Сомс не обратил внимания на мои протесты.

– Вспомните, что представляет собой экспоненциальная функция:

exp (x) = ex, где e = 2,71828…

– Обратным по отношению к этой функции является натуральный логарифм

ln (x) = значение y, удовлетворяющее exp (y) = x.

– Не правда ли, Ватсап?

Я подтвердил, что, насколько мне известно, дело обстоит именно так.

– Тогда мы просто заметим, что

что несложно доказать.

Я посмотрел на него с открытым ртом, но сумел-таки выдавить из себя полузадушенное:

– Конечно, Сомс.

– В результате мы можем последовательно записать:

и…

Я поспешно схватил его за правую руку.

– Да, Сомс, я понимаю. Это слегка замаскированная версия метода Пеано, который мы ранее отвергли именно из-за его тривиальности.

– Так что, Ватсап, если разрешить экспоненциальные выражения и логарифмы, игра сразу же закончится.

Я согласился – не без грусти, поскольку он сразу же взял свой кларнет и вновь завел бесконечную пьесу какого-то малоизвестного восточноевропейского композитора, в которой не было ни ритма, ни мелодии. Звук походил на вопль кота, попавшего между валками для отжимания белья. Кота, которому медведь наступил на ухо. Притом охрипшего.

Черное настроение поглотило Сомса окончательно и бесповоротно.

На этом заканчивается «Знак одного».

Правда, я так и не рассказал вам, что такое субфакториал. Ну, ничего, в следующий раз.

Серьезный беспорядок

Пора объяснить, что такое субфакториалы.

Предположим, что у каждой из n дам имеется шляпка. Все они складывают свои шляпки в одно место, затем каждая из них берет какую-нибудь случайную шляпку и надевает на себя. Сколькими способами можно это сделать, чтобы ни на одной из дам не оказалось ее собственной шляпки? Такое размещение называется беспорядком.