Математические головоломки профессора Стюарта - Иэн Стюарт

Теперь мы можем воспользоваться гипотезой плоской Земли и сделать предсказание. Расстояние от Таити до Сиднея, измеренное по этой карте, составляет примерно 35 часов. (Судя по ней, путь через Рио и Кейптаун проходит почти по прямой и сумма расстояний равна 35.) Таким образом, это минимальное время, которое, по идее, должен занимать перелет, не считая остановок.

Реальное же время перелета между этими пунктами – 8 часов. Даже допустив небольшие ошибки в расчетах, следует признать, что разница предсказанной и реальной продолжительности полета слишком велика и гипотеза плоской Земли должна быть отвергнута. Если включить в сеть намного больше аэропортов и взять более точные данные полетного времени, то можно выстроить базовую форму значительной части планеты очень точно – и по-прежнему в единицах часов полета. Чтобы установить масштаб, необходимо выяснить, с какой скоростью летают самолеты, или измерить по крайней мере одно расстояние каким-то другим способом.

Надо отметить, что каждый хорошо информированный адепт плоской Земли знаком с подобными аргументами и нестандартной физикой, которая их «объясняет». Может быть, какое-то искажающее поле изменяет геометрию пространства, так что буквальное измерение плоскости обычными мерами расстояния оказывается неверным. Это реально работает: азимутальная изогональная проекция Земли с Северного полюса дает именно такой эффект, и можно спокойно перенести все, включая и законы природы, с круглой Земли на плоскую, воспользовавшись проекцией на плоский диск. Конечно, если вам не нужна область вокруг Южного полюса. На логотипе ООН сделано именно так, и Общество плоской Земли постоянно использует его в качестве «доказательства» верности своих взглядов. Однако подобные выкладки тривиальны и бессмысленны, а изображение на логотипе логически эквивалентно круглой Земле с ее традиционной геометрией. Математически это всего лишь не слишком явный способ признать «она не плоская», в пределах ортодоксального смысла этой фразы. Так что измененная метрика и другие подобные отговорки на самом деле ничего не решают.

Действие ветра? Может быть, на самом деле от Таити к Сиднею постоянно дует сильный ветер? Такой ветер должен был бы достигать скорости 1200 км/ч, но дело обстоит еще хуже: прямой маршрут из Таити в Сидней очень близок маршрутам Таити – Рио – Кейптаун – Сидней, которые мы уже учли. Если можно попасть из Таити в Сидней по-настоящему быстро, воспользовавшись силой ветра, то путешествие, по крайней мере по одному из участков приведенного сложного маршрута, явно занимает слишком много времени.

Следующей линией обороны может быть стандартный прием всех отрицателей: это всеобщий заговор. Да, но чей? Времена, обозначенные на сайтах, где можно заказать авиабилеты, не могут быть слишком далеки от истины, поскольку миллионы людей ежедневно летают по воздуху, и большинство из них обратило бы внимание, если бы время полета по расписанию часто отличалось от реального в разы. Но все авиакомпании мира могли договориться летать по некоторым маршрутам медленнее, чем необходимо, так что бо́льшую часть моей схемы следовало бы ужать, сделав возможным перелет из Таити до Сиднея всего за 14 часов. Для этого пришлось бы поделить все времена по крайней мере на четыре, и получится, что обычный пассажирский самолет на самом деле мог бы добраться от Лондона до Сиднея всего за пять часов, если бы авиалиния не задерживала бы его специально для того, чтобы убедить нас в шарообразности Земли.

В отличие от обвинений в заговорах ученых, которые способны произвести впечатление только на тех, у кого нет ни одного знакомого ученого[20], у этого утверждения есть один фатальный недостаток. Теория заговора требует, чтобы большинство авиалиний добровольно теряли каждый день громадные суммы в виде напрасно потраченного топлива и не стремились бы выиграть в конкурентной борьбе, сократив время перелетов по многим маршрутам больше чем в два раза. Заговор с целью представить Землю круглой при помощи метрик авиаперелетов потребовал бы, чтобы сотни частных авиакомпаний выбрасывали на ветер огромные суммы денег. Не сошли ли вы с ума?

Разумеется, вы всегда можете прибегнуть к старому доброму методу: когда ничто уже не помогает, просто не обращай внимания на доказательства.

123456789 раз по X. Продолжение

Нет нужды останавливаться на 9. Попробуйте умножить 123456789 на 10, 11, 12 и т. д. Что вы заметили?

Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».

Цена славы

Владислав Роман Орлич – польский тополог, который предложил то, что ныне известно в математике как пространства Орлича – весьма специфические понятия из области функционального анализа. Однажды известность сыграла с ним злую шутку. Подобно большинству своих соотечественников, Орлич жил в очень небольшой квартирке, а потому обратился к городским властям с просьбой предоставить ему квартиру побольше. В ответ он услышал следующее: «Мы согласны, у вас действительно очень маленькая квартира, но мы вынуждены отказать вам в просьбе, поскольку у вас уже есть собственные пространства».

Загадка золотого ромба

Из мемуаров доктора Ватсапа

Впечатляющий успех наших совместных предприятий побудил меня вновь взяться за медицинскую практику, и я распорядился соорудить в своем доме небольшой кабинет с приемной. Но я всегда заботился о том, чтобы мое расписание сохраняло достаточную гибкость на тот случай, если Сомсу потребуется моя помощь, – как с предварительным уведомлением, так и без такового. Поэтому, получив телеграмму, я передал пациента своему заместителю доктору Джекиллу и вызвал кэб, чтобы отправиться на Бейкер-стрит, 222b.

Прибыв на квартиру Сомса, я обнаружил его в окружении обрезков бумаги с ножницами в руках.

– Симпатичная головоломка, – заметил он. – Обычная треугольная полоска бумаги, завязанная в простой узел (так называемый клеверный лист). Трудно вообразить, что от такого пустяка может зависеть жизнь человека.

– Господи боже, Сомс! Как такое может быть?

– Вымогательство, Ватсап. Доказательство вины зависит от формы, которую принимает полоска бумаги, если узел затянуть как можно сильнее, сплющить и хорошенько разгладить. Подозреваю, что этот узелок окажется символом какого-то тайного общества, и, если я смогу это доказать, дело будет сделано, – он поднял бумажный узелок и показал мне. – Что скажете, Ватсап? Какая получится форма, а?

Я быстро набросал простой узел в блокноте.

– Хорошо известно, что простой узел, завязанный на замкнутой в кольцо веревке, обладает трехсторонней симметрией, – сказал я, чувствуя себя необыкновенно умным. – Так что я сказал бы, что получится либо треугольник, либо шестиугольник.

– Тогда давайте попробуем. Проведем эксперимент, – сказал Сомс. – А затем возьмемся за более сложную задачу – попытаемся доказать, что глаза нас не обманывают.

Какую форму приобретает расплющенный узел? Проверьте. Ответ и доказательство см. в главе «Загадки разгаданные».

Арифметическая последовательность степеней

Арифметическая последовательность (последовательность чисел с постоянной разницей между соседними членами) называется последовательностью степеней, если второй ее член является полным квадратом, третий – кубом и т. д. То есть k-й член такой арифметической последовательности представляет собой k-ю степень. (Это не накладывает никаких ограничений на первый член последовательности, поскольку любое число есть первая степень самого себя.) К примеру, последовательность 5, 16, 27 имеет длину 3 и шаг 11; кроме того,

Тривиальный способ получить последовательность степеней длины n состоит в том, чтобы повторить n раз число 2n!. Это число является одновременно первой степенью, квадратом, кубом и т. д., вплоть до n-й степени. Шаг в этом случае будет равняться 0.

В 2000 г. Джон Робертсон доказал, что, за исключением таких последовательностей, в которых многократно повторяется одно и то же число, – то есть последовательностей с нулевым шагом, – самая длинная возможная последовательность степеней состоит из пяти членов (имеет длину 5)[21]. Чтобы получить такую последовательность, возьмите числа 1, 9, 17, 25, 33, образующие арифметическую последовательность с шагом 8, и умножьте каждое из них на 32453011241720. Получившиеся в результате числа тоже образуют арифметическую последовательность с шагом, в восемь раз превосходящим это число. Вот эти числа: