Математические головоломки профессора Стюарта - Иэн Стюарт

После этого Сомс рассказал мне, что сделал Мондеринг.

– Ну, здесь даже ребенок дога… – начал я, но вдруг резко остановился. Должен со всей откровенностью признать, что в этот момент я покраснел как рак.

Какое решение предложил Мондеринг? Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».

Сила мидий

Идиллическая сцена на морском берегу: тихая бухта, волны разбиваются о скалы, покрытые водорослями и увешанные гроздьями моллюсков. Кажется, всюду царит сонное спокойствие. На самом деле эти неподвижные скопления мидий – царство непрекращающейся активности; чтобы ее увидеть, нам просто придется ускорить течение времени. При покадровой съемке видно, что моллюски в группах постоянно находятся в движении. Они прикрепляются к камням при помощи особых нитей, которые выделяет нога. Открепляя одни нити и добавляя другие в новых местах, мидия может управлять своим положением на камнях. С одной стороны, мидии любят находиться рядом с себе подобными, потому что вероятность того, что их оторвет от камня волнами, в этом случае заметно меньше. С другой стороны, если рядом нет других мидий, которые составили бы конкуренцию, можно добыть больше пищи. Оказываясь перед такой дилеммой, мидии делают то, что сделало бы на их месте большинство здравомыслящих организмов: идут на компромисс. Они размещаются таким образом, что у каждой мидии оказывается много близких соседей, но мало дальних. То есть они собираются группами. Эти группы – заплатки на дне – видны невооруженным глазом, но вот как они формируются, заметить невозможно.

В 2011 г. Моник де Джагер и ее коллеги применили математику случайного блуждания к моделированию того, как могла сформироваться у мидий групповая стратегия. Случайное блуждание часто сравнивают с движением пьяного по дорожке: то вперед, то назад, без всякой очевидной системы. Если добавить еще одно измерение, получится, что случайное блуждание на плоскости – это серия шагов, длины и направления которых выбираются случайным образом. Разные правила выбора – разные распределения вероятностей для длин и направлений – дают случайные блуждания с разными свойствами. В броуновском движении длины шагов распределяются по колоколовидной кривой вблизи одного конкретного среднего значения шага. В блужданиях Леви[19] вероятность того или иного шага пропорциональна некоторой фиксированной степени его длины, в результате чего многочисленные короткие шаги время от времени прерываются гораздо более длинным шагом.

Статистический анализ наблюдаемых длин шагов ясно показывает, что блуждания Леви вполне соответствуют тому, чем на самом деле занимаются мидии на приливных отмелях, а броуновское движение – нет. Это согласуется и с экологическими моделями, которые математически демонстрируют, что блуждания Леви позволяют мидиям быстрее распространяться, осваивать больше новых площадей и избегать конкуренции с другими видами моллюсков. Это, в свою очередь, позволяет предположить, почему в процессе эволюции появилась именно такая стратегия. Естественный отбор обеспечивает обратную связь между стратегиями передвижения и генетическими инструкциями, предписывающими их применение. У каждой отдельной мидии появляется больше шансов выжить, если она пользуется стратегиями, которые повышают ее шансы на получение пищи и снижают вероятность того, что она будет смыта волнами.

Команда де Джагер использовала данные полевых наблюдений за поведением мидий и математические модели эволюционного процесса. Моделирование показало, что вероятность появления в ходе эволюции блужданий Леви при наличии такой обратной связи достаточно высока, но эволюционно стабильной – то есть не приводящей к катастрофе в случае вторжения какого-либо мутанта с другой стратегией – она становится тогда, когда показатель экспоненты достигает 2. Полевые наблюдения дают величину 2,06.

Устричные поля в этом контексте демонстрируют, что эффективность стратегии движения каждой отдельной мидии зависит от того, что делают все остальные мидии. Стратегия каждой отдельной мидии определяется ее генетикой, но ценность этой стратегии для выживания зависит от коллективного поведения всей местной популяции. Так что здесь мы видим, как окружающая среда – в форме остальных мидий – оказывает влияние на генетический «выбор» индивида и формирует паттерны поведения на уровне популяции.

Дополнительную информацию см. в главе «Загадки разгаданные».

Доказательство шарообразности Земли

Большинство из нас знает, что наша планета по форме круглая – но не точная сфера, а эллипсоид, слегка сплюснутый у полюсов. На ней достаточно неровностей, чтобы при увеличении отклонения от сферической формы примерно в 10 000 раз превратиться в картофелину. Некоторые – их очень немного – упрямцы продолжают настаивать, что Земля плоская, хотя еще древние греки 2500 лет назад собрали достаточно доказательств ее шарообразности, чтобы убедить даже средневековую церковь, а с тех пор доказательств стало намного больше. Вера в то, что Земля плоская, почти полностью ушла, но возродилась примерно в 1883 г. с основанием Зететического общества. Это общество, с 1956 г. известное как Общество плоской Земли, действует и поныне. Вы можете найти его в Интернете, можете следить за событиями в нем в «Фейсбуке» и «Твиттере».

Существует простой и совершенно неопровержимый способ самостоятельно убедиться в том, что наша планета не может быть плоской, если на ней действует обычная геометрия Евклида. Для этого вам потребуется Интернет или общение с терпеливым турагентом – и больше ничего, и речь не идет о том, чтобы посмотреть информацию о форме Земли в Википедии. Описываемая методика не показывает сама по себе, что Земля круглая, но в этом можно убедиться, если ей следовать систематически и аккуратно. Чуть позже мы поговорим о возможных способах отвергнуть полученное доказательство. Я не утверждаю, что таких способов нет: если вы адепт плоской Земли, то способ всегда найдется. Но в данном случае стандартные уловки выглядят еще менее убедительными, чем обычно. Во всяком случае, этот аргумент представляется свежим и необычным на фоне традиционных научных доказательств шарообразности Земли.

Я не имею в виду спутниковые фотографии круглой планеты – они, конечно, подделаны. Все мы знаем, что NASA никогда не летало на Луну, все это снималось в Голливуде, а это доказывает, что и фотографии – фальшивка, так что вот. Не годятся также никакие данные, основанные на научных измерениях: ученые типы – известные шутники, они даже делают вид, что верят в эволюцию и глобальное потепление, а ведь то и другое – это всего лишь левацкие заговоры с целью не дать добропорядочным и во всех отношениях правильным людям зарабатывать неприличные суммы денег, как заповедано Богом.

Нет, я имею в виду исключительно коммерческое доказательство: расписание авиалиний. Их можно легко найти в Интернете: убедитесь только, что вы видите перед собой расписание реальных полетов, а не программы для расчета полетного времени, работающие на основе предположения о шарообразности Земли.

По экономическим причинам все крупные пассажирские самолеты летают примерно на одной скорости. Если бы это было не так, то весь бизнес у медленных компаний перехватили бы их более быстрые конкуренты. По тем же причинам все летают по кратчайшим маршрутам – в той мере, конечно, в какой это допускается местными законами. Поэтому мы можем использовать полетное время как достаточно точную оценку расстояний. (Чтобы снизить влияние ветров, возьмите подходящее среднее значение полетного времени в обоих направлениях – на практике обычного среднего арифметического вполне достаточно.) Затем можно, использовав геодезические методики триангуляции, которые заключаются в построении сети треугольников, нанести на карту расположение нужных аэропортов. Чтобы показать, что плоская модель Земли не годится, мы можем предположить, что планета на самом деле плоская, и посмотреть, что из этого получится. Геодезисты обычно работают с одним-единственным начальным расстоянием – базовой линией, а все остальное рассчитывают через углы треугольников, но у нас есть большое преимущество: мы можем использовать реальные расстояния (в часах полета).

На рисунке показана триангуляция на базе шести крупных аэропортов. Сколько ни жонглируй числами, это единственная плоская фигура, сколько-нибудь разумно объединяющая все шесть аэропортов с учетом времени полета. Начнем, к примеру, с Лондона и добавим Кейптаун на расстоянии 12 часов. После этого поместим Рио-де-Жанейро и Сидней. Расположить их можно единственным образом, за исключением того, что всю карту можно зеркально отразить, поменяв местами право и лево, но не меняя никаких расстояний. Такая неоднозначность не имеет значения, а вот о том, чтобы Рио-де-Жанейро и Сидней находились по разные стороны от линии Лондон – Кейптаун, следует позаботиться. Если бы они находились по одну сторону от этой линии, то время полета между ними составляло бы примерно 11 часов, а на самом деле составляет 18. Далее можно добавить Лос-Анджелес и, наконец, Таити, опять же используя дополнительное время для устранения неоднозначности.