Математические головоломки профессора Стюарта - Иэн Стюарт

Кому дано, приумножится.

Во втором столбце ничего подобного не происходит: каждый вносит в среднее значение, равное 3, свою справедливую долю.

На самом деле среднее значение всех чисел в столбце 4 равно 3,78, заметно больше трех. Вероятно, мне следовало бы использовать взвешенное среднее значение: сложить все числа в столбце 3 и разделить на их количество. Тогда получится 3,55, все равно больше трех.

Надеюсь, после моего объяснения вы почувствовали себя лучше.

Доказательство см. в главе «Загадки разгаданные».

Статистика. Разве это не чудесно?

По статистике, каждый год в мире откладывается 42 млн крокодильих яиц. Из них проклевывается только половина. Три четверти проклюнувшихся крокодильчиков съедается хищниками за первый месяц жизни. Из оставшихся только 5 % доживают до возраста одного года – по разным причинам.

Если бы не статистика, нас всех съели бы крокодилы!

Приключение шестерых гостей

Из мемуаров доктора Ватсапа

Меня давно расстраивала откровенная нелюбовь Сомса к обедам с гостями. Он презирает светскую болтовню и чувствует себя неловко в компании женщин, особенно привлекательных женщин, таких как моя приятельница Беатрис. Но время от времени ему приходится стискивать зубы, брать быка за рога, запасаться банальностями и посещать светские мероприятия с присутствием прекрасного пола. На них он может показать себя в разные моменты времени замкнутым, несносным, обаятельным, словоохотливым или всем одновременно в разных сочетаниях.

Событие, о котором пойдет речь, представляло собой скромный tête-à-tête, на котором присутствовали Артур и Беатрис Шипшер (брат и сестра) и Гренвилл и Доринда Лэмбшенк (муж и жена). Разумеется, я был знаком со всей четверкой; Беатрис – милая леди, не замужем, и, я убежден, поклонника у нее в настоящее время тоже нет. Сомс знал только меня, и я опасался, что из-за этого в нем могут возобладать худшие черты характера, но я надеялся расширить круг его общения. Шипшеры и Лэмбшенки прежде не встречались – то есть встречались только мужчины, которые состояли в одном клубе.

Когда гости прибыли, Сомс быстро сориентировался в ситуации, и вскоре мы уже сидели все вместе. В присутствии Сомса разговор шел неровно, он то вспыхивал, то затухал, поэтому я взял на себя смелость налить всем скромного, но вполне приемлемого шерри, а ему подал двойную порцию.

– Как необычно! Я вижу среди нас трех человек, знакомых между собой, и троих незнакомцев.

– Три – это уже обычно, – пробормотал Сомс, но, заметив мой недовольный жест, не стал развивать тему. Я долил ему вина.

Беатрис попросила меня объяснить свои слова, и я поспешил выполнить ее просьбу.

– Вы, Артур и я – каждый из нас – знаем остальных двоих: вот вам тройка взаимных знакомств.

– Мне кажется, мы с вами больше, чем просто знакомые, Джон, – ответила она.

– Счастлив это слышать, дорогая леди, – сказал я, – но я подбирал слово, которое можно было бы применить к любой паре здесь присутствующих. Напротив, Сомс, вы и Доринда совершенно не знакомы между собой, в том смысле, что до сего дня вы не встречались в обществе. Конечно, слава Сомса намного его обгоняет.

– В самом деле, – сказал Гренвилл, одарив меня кислым взглядом.

– Ну так вот, этот факт кажется мне весьма примечательным…

– А не должен бы, Ватсап, – прервал меня Сомс. – По крайней мере, присутствие одной такой тройки, знакомцев или незнакомцев, не должно казаться чем-то особенным.

– Почему нет? – спросил Артур.

– Потому что по крайней мере одна такая тройка должна возникнуть в любом месте, где соберется вместе шесть человек, – ответил Сомс. – При этом не имеет значения, кто с кем знаком.

– Черт возьми! – воскликнул Артур. – Но это же замечательно, ведь так?

– Как вы можете быть в этом уверены, мистер Сомс? – поинтересовалась Беатрис. Ее глаза сияли – и я подозревал, не только из-за шерри.

– Потому что, моя дорогая мадам, это можно доказать.

– О-о. Продолжайте, пожалуйста, мистер Сомс. Меня чрезвычайно интересуют подобные вещи.

Сомс наклонил голову, но я заметил, что на его губах мелькнула слабая улыбка. Он делает вид, что женские чары не оказывают на него никакого действия, но я-то знаю, что это лишь притворство. Ему просто не хватает уверенности в себе. Я надеюсь, что не будет хватать и дальше, потому что Беатрис очень симпатичная и скромная, настоящая находка для любого достойного мужчины. Для меня, к примеру.

– Доказательство будет понятнее всего, если представить его в виде диаграммы, – сказал Сомс. Он поднялся, подошел к обеденному столу и взял из стопки несколько тарелок и столовых приборов; попутно он отмел все мои возражения вместе с несколькими салфетками, горчицей и горшком с геранью.

– Тарелки представляют нас шестерых, – объявил Сомс, подписывая на тарелках наши инициалы палочкой театрального грима, которая, видимо, сохранилась у него сувениром того времени, когда он обдумывал карьеру на сцене. – Вилка, соединяющая двух людей, означает, что они знакомы; нож между ними означает, что нет.

– Взгляды как кинжалы, значит, – заметила Беатрис. Я поспешил поаплодировать ее остроумию и наполнить ее бокал.

– К примеру, меня и Ватсапа соединяет вилка в центре стола, но со всеми остальными меня соединяет нож. Таким образом, как проницательно заметил Ватсап, треугольник ВАБ состоит из вилок, а треугольник СБД – из ножей. Однако я утверждаю, что, как бы мы ни разложили ножи и вилки, на столе всегда будет присутствовать по крайней мере один треугольник, образованный одинаковыми приборами.

– Но, может быть, оба, мистер Сомс? – спросила Беатрис. Ее глаза не отрываясь следили за каждым его движением.

– Иногда да, мадам, но не всегда. Если взять крайний случай, то есть если на столе окажутся одни только вилки, то никакого треугольника из ножей не образуется; или, если там будут только ножи, не образуется треугольника из вилок.

Беатрис кивнула с серьезным видом.

– В таком случае представляется, – протянула она, – что по мере того, как вилки заменяются ножами и возможность образования треугольника из вилок уменьшается, возможность образования треугольника из ножей, наоборот, увеличивается.

Сомс кивнул.

– Очень хорошо сформулировано, мадам. Для доказательства достаточно всего лишь показать, что второе появляется раньше, чем исчезает первое. Для определенности выберем одну конкретную тарелку. Любую. На нее указывают пять приборов. По крайней мере три из них должны быть одного типа. Почему?

– Потому что если там окажется два одних и два других, то всего приборов будет максимум четыре, – сразу же сказала Беатрис.

– Очень хорошо! – объявил я прежде, чем Сомс успел озвучить аналогичный комплимент.

– Так, – сказал он, – рассмотрим набор из трех одинаковых приборов – будем считать, что это вилки, в случае с ножами будет то же самое, – и посмотрим на тарелки, на которые они указывают. Конечно, на остальные, не на ту, которую выбрали в самом начале. Видим, что либо одна из этих тарелок связана с другой вилкой, либо…

– Все три связаны ножами! – воскликнула она. – В первом случае мы нашли треугольник из вилок, во втором – из ножей. Да, мистер Сомс, теперь, когда вы все это так ясно объяснили, это кажется…

– Совершенно очевидным, – вздохнул Сомс, делая большой глоток шерри.

Это замечание немного остудило ее энтузиазм, и я помахал ей рукой, извиняясь за грубость моего товарища. От ее ответной улыбки у меня потеплело на сердце.

Эта область математики носит название теории Рамсея. Дополнительную информацию см. в главе «Загадки разгаданные».

Как записывать очень большие числа

Сколько песчинок во Вселенной? Архимед, величайший из древнегреческих математиков, решил в порядке борьбы с господствовавшим тогда представлением о том, что ответом на этот вопрос является бесконечность, найти способ выражения очень больших чисел. В его книге «Исчисление песчинок» предполагалось, что Вселенная имеет размеры, которые приписывали ей греческие философы, и что она целиком заполнена песком. Архимед рассчитал, что в этом случае в ней содержалось бы (в нашем десятичном представлении) не более 1 000… 000 песчинок (число с 63 нулями).

Это много, но не бесконечное количество. Существуют ли числа еще больше?

Математикам известно, что наибольшего (целого) числа не существует. Числа могут быть сколь угодно большими. Причина проста: если бы наибольшее число существовало, его можно было бы сделать еще больше, прибавив 1. Большинство детей, освоивших десятичную запись, быстро понимают, что любое число можно сделать больше (мало того, вдесятеро больше), просто приписав к его концу еще один нолик.