Математические головоломки профессора Стюарта - Иэн Стюарт

2. Боб «сдает» пять карт Алисе и пять самому себе. Он высылает Алисе ее карты. Чтобы упростить запись, рассмотрим лишь одну из этих карт, обозначив ее Ac. Алиса может выяснить значение c, применив к полученному числу A–1, так что она знает, какие карты ей сданы.

3. Бобу необходимо выяснить, какие карты он выбрал для себя, но только Алиса знает, как извлечь истинные значения из зашифрованных. Но Боб не может послать свои карты Алисе, потому что тогда она будет знать, что у него в руке. Поэтому к каждой своей карте Ad он применяет свое шифровальное правило, чтобы получить BAd, и высылает результат такой обработки Алисе.

4. Алиса может вновь применить свое правило A–1, чтобы «снять замок», но на этот раз ее ждет засада: результат будет равен A–1BAd.

В обычной алгебре мы могли бы поменять A–1 и B местами, чтобы получить

BA–1Ad,

что равняется Bd.

После этого Алиса могла бы выслать результат обратно Бобу, а тот, в свою очередь, применил бы B–1, чтобы получить d.

Однако функции нельзя переставлять таким образом. К примеру, если Ac = c + 1 (и, соответственно, A–1c = c – 1) и Bc = c², то A–1Bc = Bc – 1 = c²– 1, тогда как

BA–1c = (A –1c)² = (c – 1)² = c²– 2c + 1,

то есть совсем не то же самое.

Чтобы обойти это препятствие, следует избегать подобных функций и выбирать такие методы шифрования, для которых A–1B = BA–1. В этом случае говорят, что для функций A и B действует коммутативный закон, поскольку все это несложно привести к эквивалентному условию AB = BA. Обратите внимание: в описанном нами физическом методе замки Алисы и Боба и правда позволяют перестановку. Их можно навешивать и снимать в любом порядке, результат будет тот же: ящичек с двумя замками.

Таким образом, Алиса и Боб могут играть в покер по переписке, если сумеют придумать два допускающих перестановку шифра A и B, таких, чтобы алгоритм расшифровки A –1 был известен только Алисе, а алгоритм B–1 – только Бобу.

Боб и Алиса выбирают большое простое число p, которое может быть опубликовано и известно всем. Они согласуют также 52 числа c1, …, c52 (mod p), которые будут представлять карты.

Алиса выбирает некоторое число a от 1 до p – 2 и определяет свою кодирующую функцию A как Ac = ca (mod p).

Пользуясь базовой теорией чисел, можно сказать, что обратная (декодирующая) функция имеет вид

A–1c = ca' (mod p)

для некоего числа a', которое она может вычислить. Алиса держит и a, и a' в секрете.

Аналогично Боб выбирает себе число b и определяет свою кодирующую функцию B как Bc = cb (mod p) и обратную к ней

B–1c = cb' (mod p)

для числа b', которое он может вычислить. Он держит b и b' в секрете.

Кодирующие функции A и B подчиняются коммуникативному закону, поскольку

ABc = A (cb) = (cb)a = cba = cab = (ca)b = B (ca) = BAc,

где все равенства выполняются (mod p). Поэтому Алиса и Боб могут использовать A и B описанным образом.

Исключение невозможного

Из мемуаров доктора Ватсапа

– Ватсап!

– А? Что? Вы это мне, Сомс?

– Сколько раз можно повторять, Ватсап, чтобы вы не приносили журнал The Strand в этот дом!

– Но… как…

– Вы знаете мои методы. Вы нетерпеливо постукивали пальцами, как делаете обычно, пока меня дожидаетесь. При этом вы то и дело поглядывали на свернутую газету, которая торчит у вас из кармана пальто. Газета эта слишком толста для Daily Reporter, хотя именно это название красуется у нее на первой полосе, так что в нее, наверное, завернут какой-то журнал. А поскольку вы по привычке прячете от меня лишь один журнал, сомневаться в его природе не приходится.

– Простите, Сомс, я просто надеялся получить кое-какие сравнительные данные о методах исследования из произведений коллеги… э-э… шарлатана из дома напротив.

– Тьфу! Этот человек – мошенник! Жулик, называющий себя детективом!

Откровенно говоря, временами Сомс бывает невыносим. Если подумать, он почти всегда такой.

– Бывали случаи, когда мне удавалось случайно выудить что-нибудь полезное из скучных творений моего нещадно эксплуатируемого коллеги, Сомс, – возразил я.

– Что, например? – агрессивно вопросил он.

– На меня сильное впечатление произвел такой его аргумент: «Если вы исключите невозможное, то, что останется, каким бы невероятным ни казалось, и будет…

– Ошибкой, – бесцеремонно закончил за меня Сомс. – Если то, что остается, по-настоящему невероятно, значит, вы почти наверняка приняли «по умолчанию» какое-то условие, когда объявляли все другие объяснения невозможными.

Последовательность никогда не значилась в числе добродетелей Сомса.

– Ну, может быть, но…

– Без всяких «но», Ватсап!

– Но ведь в других ситуациях вы соглашались…

– Тьфу! Реальность не бывает невероятной, Ватсап! Она может казаться таковой, но на самом деле ее вероятность составляет 100 %, потому что она уже случилась.

– Ну да, формально это так, но…

– Вот пример. Сегодня утром, когда вы, Ватсап, выходили купить эту лживую газетенку, я принял весьма неожиданного посетителя. Небезызвестного герцога Бамблфортского.

– Главный лондонский щеголь, – сказал я. – Благородный человек безукоризненной честности, образец для всех нас.

– Ну да, ну да. Тем не менее он проинформировал меня… Ну, он рассказал, что в Бамблфорт-холле был обед, на котором эрл Мондеринг, желая развлечь гостей, поставил в ряд десять винных стаканов и наполнил первые пять из них – вот так, – и Сомс продемонстрировал мне этот процесс наглядно, на наших собственных стаканах, наполнив их довольно кислой мадерой, от которой мы как раз решили избавиться. – Затем он предложил гостям переставить стаканы таким образом, чтобы полные чередовались с пустыми.

– Но это очень просто… – начал я.

– Если переставить четыре стакана, то да. Достаточно поменять второй с седьмым и четвертый с девятым. Вот так – (см. рисунок). – Однако эрл просил получить тот же результат, переставив всего два стакана.

Я сложил пальцы перед собой в жесте глубокого размышления и через мгновение нарисовал грубый набросок первоначального и конечного расположения стаканов.

– Но, Сомс! Четыре названных вами стакана должны оказаться в разных местах! Так что без четырех перестановок не обойтись!

Он кивнул.

– Итак, Ватсап, вы только что исключили невозможное.

– Ну да, ей-богу, так я и сделал, Сомс! Неопровержимо.

Он начал набивать табак в свою трубку.

– И к какому же выводу вы придете, если я скажу, что, по словам герцога Бамблфортского, после того как все гости высказались примерно в таком же духе, эрл Мондеринг продемонстрировал верное решение.

– Я… ну…

– Вы вынуждены признать, что благородный герцог, наследник Британской империи и образец высокого благородства… на самом деле низкий лжец. Поскольку никакого решения не существует, как вы только что доказали.

Мое лицо вытянулось.

– Да, правда, все выглядит именно так… Нет, подождите, возможно, это вы не говорите мне…

– Мой дорогой доктор, я, честно признаюсь, иногда действительно умалчиваю кое-что, исключительно в ваших интересах, но не в данном случае. Даю слово.

– Но тогда… Я шокирован поведением герцога.

– Оставьте, Ватсап. Имейте веру в британский характер.

– Эрл обманывал?

– Нет-нет-нет. Ничего подобного. Вы способны на большее. В этой ситуации может быть и другое вполне прозаическое объяснение, которое вы проглядели. Более того, могу с уверенностью предсказать, что через несколько минут вы сами будете говорить мне, что решение очень простое и что догадаться может даже ребенок.