Пятьсот двадцать головоломок - Генри Дьюдени

351. Испорченный ковер. У одной леди был дорогой персидский ковер размером 12 × 9 м, который сильно пострадал от пожара. Поэтому ей пришлось вырезать в середине ковра дыру размером 8 × 1 м (см. рисунок), а затем оставшуюся часть разрезать на два куска, из которых она сшила квадратный ковер размером 10 × 10 м.

Как ей это удалось сделать? Разумеется, припуски на швы оставлять не следует.

352. Как сложить шестиугольник? Головоломки, в которых требуется что-либо сложить из бумаги, одновременно и интересны и поучительны. Я имею в виду не всевозможные коробочки, кораблики и лягушки, сложенные из бумаги, поскольку это скорее игрушки, чем головоломки, а решение некоторых геометрических задач, так сказать, «голыми руками».

Приведу один сравнительно простой пример. Допустим, что у вас есть квадратный лист бумаги. Как его следует согнуть, чтобы сгибы очертили правильный шестиугольник (см. рисунок)? Разумеется, вы не должны прибегать ни к карандашу, ни к линейке, ни к другим подобным инструментам. Шестиугольник может располагаться внутри квадрата произвольно.

353. Как сложить пятиугольник? Вот еще одна головоломка на складывание, значительно более трудная, чем предыдущая задача с шестиугольником. Если у вас имеется квадратный лист бумаги, то как следует его согнуть, чтобы сгибы образовали правильный пятиугольник (см. рисунок)? Сделать это вы должны «голыми руками», не прибегая к измерениям и инструментам.

354. Как сложить восьмиугольник? Сумеете ли вы из квадратного листа бумаги вырезать правильный восьмиугольник (см. рисунок) с помощью одних только ножниц, не пользуясь циркулем и линейкой? Разрешается лишь сложить предварительно лист бумаги, чтобы затем разрезать по сгибам.

355. Квадрат и треугольник. Возьмите квадратный лист бумаги и сложите его таким образом, чтобы получился наибольший из возможных равносторонний треугольник. Треугольник на рисунке, у которого все стороны равны стороне квадрата, не будет наибольшим. Разумеется, при этом производить измерения и пользоваться какими-либо инструментами не следует.

356. Пятиугольник из полоски. Изображенную на рисунке полоску бумаги произвольной длины (скажем, длина ее более чем в 4 раза превышает ширину) сложите в правильный пятиугольник так, чтобы все ее части лежали внутри заданной фигуры. Единственное условие состоит в том, что угол ABC должен совпадать с внутренним углом правильного пятиугольника.

357. Задача о кратчайшем сгибе. Перегните страницу так, чтобы нижний внешний угол коснулся внутреннего края, а сгиб оказался бы наикратчайшим из возможных. Это, пожалуй, наиболее простой вопрос, какой только можно задать, однако многие читатели призадумаются, где именно нужно перегнуть страницу. Здесь показаны два примера сгибов такого рода. Вы видите, что сгиб АВ больше сгиба CD, но последний не самый короткий из возможных.

358. Почтовые марки. Если у вас имеется блок из восьми почтовых марок 4 × 2 (см. рисунок), то очень интересно найти различные способы сложить все марки так, чтобы они оказались под первой. Скажу сразу же, что всего существует 40 таких способов, когда первая марка обращена лицевой стороной кверху, а остальные располагаются под ней. Марки 5, 2, 7 к 4 всегда будут лежать лицевой стороной вниз, но вы можете добиться того, чтобы любая марка, кроме 6, лежала непосредственно под 1, хотя существует только по два способа расположить так марки 7 и 8. Пользуясь одним небольшим открытым мной законом, я пришел к убеждению, что марки можно сложить в порядке 1, 5, 6, 4, 8, 7, 3, 2 и 1, 3, 7, 5, 6, 8, 4, 2 с первой маркой, расположенной лицевой стороной кверху; однако мне пришлось поломать голову, прежде чем удалось осуществить это на практике.

Сумеет ли читатель сложить марки таким образом, не разрывая, конечно, перфорации? Попробуйте это сделать с листком бумаги, на котором марки отмечены сгибами, а номера для удобства поставлены с обеих сторон. Это очень интересная задача. Не откладывайте ее в сторону, считая неразрешимой!

359. Упрощенный солитер. Вот один упрощенный вариант старинной игры солитер, который поможет во многих случаях приятно провести досуг.

Нарисуйте на листе бумаги или картона простую диаграмму и разместите на ней 16 пронумерованных фишек так, как показано на рисунке. Одна фишка может перепрыгивать через другую на свободный квадрат, расположенный сразу за этой последней, причем та, через которую перепрыгнули, удаляется. Однако перепрыгивать по диагонали запрещено.

Задача заключается в том, чтобы, последовательно совершая «прыжки», удалить все фишки, кроме одной.

Вот решение в восемь ходов: 5—13, (6—14, 6—5), 16—15, (3—11, 3—6), 2—10, (8—7, 8—16, 8—3), (1—9, 1— 2, 1—8), (4—12, 4—1). Приведенная запись означает, что фишка 5 перепрыгивает через фишку 13 и фишку 13 снимают с доски; фишка 6 перепрыгивает через фишку 14, после чего фишку 14 снимают с доски, и т. д. Прыжки в скобках рассматриваются как один ход, поскольку они совершаются подряд одной и той же фишкой. Легко заметить, что последний прыжок совершает фишка 4.

Постарайтесь теперь найти решение в семь ходов, при котором последний прыжок совершит фишка 1.

360. Еще одна головоломка с прыжками. Начертите доску и разместите на ней 17 фишек, как показано на рисунке. Головоломка состоит в том, чтобы удалить все фишки, кроме одной, совершая ряд таких же прыжков, как и в упрощенном солитере. Одна фишка может перепрыгнуть через другую на ближайший квадрат, если он свободен, причем фишка, через которую перепрыгнули, с доски снимается. Нетрудно видеть, что первый прыжок обязана совершить фишка под номером 9, и сделать это можно восемью различными способами[18]. Последовательная серия прыжков, совершаемых одной фишкой, рассматривается как один ход. Требуется убрать 16 фишек за четыре хода таким образом, чтобы фишка 9 осталась в своей первоначальной позиции в центральном квадрате. Каждый ход состоит только из прыжков.

361. Перемещение фишек. Разделите лист бумаги на 6 квадратов и поместите в квадрат А (см. рисунок) стопку из 15 фишек с номерами 1, 2, 3, ..., 15, идущими сверху вниз. Головоломка состоит в том, чтобы переместить всю стопку за возможно меньшее число ходов в квадрат F. Перемещать можно по одной фишке за ход в любой квадрат, но больший номер нельзя класть на меньший. Так, если вы поместите фишку 1 в квадрат В, а фишку 2 в квадрат С,то затем можно положить фишку 1 поверх фишки 2, но не фишку 2 поверх фишки 1.

362. Игра в 15. На рисунке перед вами знаменитая головоломка — игра в 15 Сэма Лойда, в которой требовалось, передвигая фишки в коробке, расположить 14 и 15 в правильном порядке.

Можно ли, передвигая фишки, составить из них правильный магический квадрат, у которого сумма чисел, стоящих в любом столбце, строке и на любой из двух диагоналей, равнялась бы 30?

Вместо квадратных удобнее использовать перенумерованные круглые фишки. Чему равно наименьшее число ходов?

363. Как перестроить фишки? Расставьте 10 фишек в углу шахматной доски и переместите их в противоположный угол, как показано крестиками на рисунке. Фишке разрешается перепрыгивать по горизонтали или вертикали через другую фишку на ближайший квадрат, если он свободен. Прыжки по диагонали запрещены. Фишки с доски не снимаются. Передвигать фишки на пустые соседние клетки тоже запрещается — фишки должны только прыгать.

Чтобы не тратить попусту ваше время, скажу сразу же, что можно доказать неразрешимость этой головоломки. Однако, если добавить две фишки, головоломка станет разрешимой. Если в исходной позиции вы поместите две новые фишки, например на клетки А, А, то в конце они должны оказаться в клетках В, В.

Куда следует поместить две новые фишки?

364. Четные и нечетные фишки. Поместите стопку из восьми фишек в центральный круг, как показано на рисунке, таким образом, чтобы сверху вниз номера шли по порядку от 1 до 8. Требуется переместить фишки 1, 3, 5, 7 в круг с надписью НЕЧЕТ, а 2, 4, 6, 8 — в круг с надписью ЧЕТ. За один раз разрешается перемещать из круга в круг лишь одну фишку, причем больший номер нельзя класть на меньший, запрещается также помещать номера разной четности одновременно в один и тот же круг. Так, например, вы можете положить фишку 1 на фишку 3, 3 — на 7, 2 — на 6 или 2 — на 4, но нельзя класть фишку 1 на 2, 4 — на 7, поскольку при этом четные номера окажутся в одном круге с нечетными.