8. Квантовая механика I - Ричард Фейнман

Было бы удобно иметь эти амплитуды расписанными для некоторых особо важных случаев. Пусть Rz(j) — поворот на угол j вокруг оси z. Так же можно обозначить и соответ­ствующую матрицу поворота (опуская молчаливо подразу­меваемые индексы i и j). В том же смысле Rx(j) и Ry(j) будут обозначать повороты на угол j вокруг оси х и оси у,

В табл. 4.2 мы приводим матрицы — таблицы амплитуд <jT|iS>, которые проецируют амплитуды из системы S в систему Т, где Т получается из S указанным поворотом.

* Нетрудно показать, что систему х, у, z можно перевести в систему х', у', z' следующими тремя поворотами вокруг первоначальных осей: 1) повернуть на угол g вокруг первоначальной оси z; 2) повернуть на угол а вокруг первоначальной оси х; 3) повернуть на угол b вокруг первоначальной оси z.

* Второе решение меняет все знаки у а, b, с, d и отвечает повороту на -270°.

* Заметим, что если последовательность малых поворотов приведет в конце концов к первоначальной ориентации предмета, то всегда есть возможность, проследив всю историю, отличить поворот на 360° от по­ворота на 0° (но интересно, что для поворота на 720° это неверно).

* Конечно, подошло бы и m=-1/2. Однако из (4.17) ясно, что изме­нение знака просто переопределит понятие «спин вверх».

* Можно посмотреть на это и иначе. Мы просто производим преоб­разование к «стандартной форме», описанное в § 2, используя формулу (4.15).

* Эта глава — не что иное, как весьма абстракт­ное и длинное отступление от основной линии расска­за; в ней нет каких-либо новых идей, которые бы не появлялись иным путем в дальнейших главах. Поэ­тому можете спокойно пропустить ее, а позже, если заинтересуетесь, вернуться.

Глава 5

ЗАВИСИМОСТЬ АМПЛИТУД ОТ ВРЕМЕНИ

§ 1. Покоящиеся атомы; стацио­нарные состояния

§ 2.Равномерное дви­жение

§ 3.Потенциальная энергия; сохране­ние энергии

§ 4.Силы; классиче­ский предел

§ 5. «Прецессия» ча­стицы со спином 1/2

Повторить: гл. 17 (вып. 2) «Про­странство-время»; гл. 48 (вып. 4) «Биения»

§ 1. Покоящиеся атомы; стационарные состояния

Мы хотим теперь немного рассказать о том, как ведут себя амплитуды вероятности во вре­мени. Мы говорим «немного», потому что на самом деле поведение во времени с необхо­димостью включает в себя и поведение в про­странстве. Значит, пожелав описать поведение со всей корректностью и детальностью, мы немедленно очутимся в весьма сложном поло­жении. Перед нами возникает наша всегдаш­няя трудность — то ли изучать нечто строго логически, но абсолютно абстрактно, то ли не думать о строгости, а давать какое-то представ­ление об истинном положении вещей, откла­дывая более тщательное исследование на поз­же. Сейчас, говоря о зависимости амплитуд от энергии, мы намерены избрать второй спо­соб. Будет высказан ряд утверждений. При этом мы не будем стремиться к строгости, а просто расскажем вам о том, что было обна­ружено, чтобы вы смогли почувствовать, как ведут себя амплитуды во времени. По мере хода нашего изложения точность описания будет возрастать, так что, пожалуйста, не нервничайте, видя, как фокусник будет извле­кать откуда-то из воздуха разные вещи. Они и впрямь берутся из чего-то неосязаемого — из духа эксперимента и из воображения мно­гих людей. Но проходить все стадии историче­ского развития предмета — дело очень долгое, кое-что придется просто пропустить. Можно было бы погрузиться в абстракции и все строго выводить (но вы вряд ли бы это поняли) или пройти через множество экспериментов, под­тверждая ими каждое свое утверждение. Мы выберем что-то среднее.

Одиночный электрон в пустом пространстве может при некоторых условиях обладать вполне определенной энергией Например, если он покоится (т. е. не обладает ни перемещательным движением, ни импульсом, ни кинетической энергией), то у него есть энергия покоя. Объект посложнее, напри­мер атом, тоже может, покоясь, обладать определенной энергией, но он может оказаться и внутренне возбужденным -возбужденным до другого уровня энергии. (Механизм этого мы опишем позже.) Часто мы вправе считать, что атом в возбужденном состоянии обладает определенной энергией; впрочем, на самом деле это верно только приближенно. Атом не остается возбужденным навечно, потому что он всегда стремится разрядить свою энергию, взаимодействуя с электромагнитным полем. Так что всегда есть некоторая амплитуда того, что возникнет новое состояние — с атомом в низшем состоянии возбуждения и электромагнитным полем в высшем. Полная энергия системы и до, и после — одна и та же, но энергия атома уменьшается. Так что не очень точно говорить, что у возбуж­денного атома есть определенная энергия; но часто так говорить удобно и не очень неправильно.

[Кстати, почему все течет в одну сторону и не течет в дру­гую? Отчего атом излучает свет? Ответ связан с энтропией Когда энергия находится в электромагнитном поле, то перед ней открывается столько разных путей — столько разных мест, куда она может попасть,— что, отыскивая условие равнове­сия, мы убеждаемся, что в самом вероятном положении поле оказывается возбужденным одним фотоном, а атом — невозбуж­денным. И фотону требуется немалое время, чтобы возвра­титься и обнаружить, что он может возбудить атом обратно, Это полностью аналогично классической задаче: почему уско­ряемый заряд излучает? Не потому, что он «хочет» утратить энергию, нет, ведь на самом-то деле, когда он излучает, энер­гия мира остается такой же, как и прежде. Просто излучение или поглощение всегда идет в направлении роста энтропии.

Ядра тоже могут существовать на разных энергетических уровнях, и в том приближении, когда пренебрегают электромагнитными эффектами, мы вправе говорить, что ядро в возбужденном состоянии таким и остается. Хоть мы и знаем, что оно не останется таким навсегда, часто бывает полезно исходить из несколько идеализированного приближения, которое проще рассмотреть. К тому же в некоторых обстоятельствах — это узаконенное приближение. (Когда мы впервые вводили клас­сические законы падения тел, мы не учитывали трения, а ведь почти не бывает так, чтобы трения вовсе не было.)

Кроме того, существуют еще «странные частицы» с различными массами. Но более массивные из них распадаются на более легкие, так что опять неправильно будет говорить, будто их энергия точно определена. Это было бы верно, если бы они сохранялись навечно. Так что когда мы приближенно считаем их обладающими определенной энергией, то забываем при этом, что они должны распасться. Но сейчас мы нарочно за­будем про такие процессы, а после, со временем выучимся принимать во внимание и их.

Пусть имеется атом (или электрон, или любая частица), обладающий в состоянии покоя определенной энергией E0. Под энергией Е0мы подразумеваем массу всего этого, умножен­ную на с2. В массу входит любая внутренняя энергия; стало быть, масса возбужденного атома отличается от массы того же атома, но в основном состоянии. (Основное состояние означает состояние с наинизшей энергией.) Назовем Е0«энергией покоя». Для атома, находящегося в состоянии покоя, квантовомеханическая амплитуда обнаружить его в каком-то месте всюду одно и та же; от положения она не зависит. Это, разумеется, означает, что вероятность обнаружить атом в любом месте — одна и та же. Но это означает даже большее. Вероятность могла бы не зависеть от положения, а фаза амплитуды при этом могла бы еще меняться от точки к точке. Но для частицы в покое полная амплитуда всюду одинакова. Однако она за­висит от времени. Для частицы в состоянии определенной энер­гии Е0, амплитуда обнаружить частицу в точке (х, у, z) в момент t равна

где а — некоторая постоянная. Амплитуда пребывания в та­кой-то точке пространства для всех точек одинакова, но зато зависит от времени согласно (5.1). Мы просто допустим, что это правило верно всегда.

Можно, конечно, (5.1) записать и так: