Апология математики (сборник статей) - Владимир Андреевич Успенский

универсальности его познаний. То мы видим его обсуждающим… кропотливые вопросы классической и восточной филологии; то он пускается в нескончаемые археологические споры…» В своих письмах Гольдбах предстаёт как человек, наделённый и интуицией, и способностью чувствовать новое. В России, куда он приехал в 1725 г. в возрасте 35 лет, Гольдбах сделал головокружительную карьеру. Он сразу получил место секретаря, а также историографа организуемой во исполнение замысла Петра I Императорской академии наук; именно он вёл (на латыни) первые протоколы академии. С 1737 по 1740 г. он был одним из двух лиц, осуществлявших административное управление академией (другим был Шумахер; обоим по этому случаю присвоили чин коллежского советника). В конце 1727 г. он был назначен наставником двенадцатилетнего императора Петра II. Рассказывают, что руководство по обучению царских детей, составленное Гольдбахом в 1760 г., применялось на практике в течение 100 последующих лет. В 1742 г. Гольдбах стал служить по ведомству Коллегии иностранных дел, получал награды, земли и чины и к 1760 г. дослужился до тайного советника. Чин этот довольно точно отражал его обязанности, поскольку Гольдбах состоял в должности криптографа. Эйлеру тоже захотелось чина. Однако Екатерина II, благосклонно встретившая его пожелания относительно жалованья, казённой квартиры и обеспечения его трёх сыновей должностями и доходами, весьма дипломатично отказала: «Я дала бы, когда он хочет, чин, если бы не опасалась, что этот чин сравняет его с множеством людей, которые не стоят г-на Эйлера. Поистине его известность лучше чина для оказания ему должного уважения».

На самом деле Гольдбах выдвинул гипотезу, очень похожую на ту, что носит его имя, но всё же отличную от неё[40]. Дело в том, что в его терминологии к простым числам относилась и единица, которую в наши дни (и в нашей статье) к простым числам не относят.

Гипотезу о разбиении любого числа на три простых слагаемых часто называют тернарной гипотезой Гольдбаха.

Посмотрим, как обстоит дело с разбиением чисел на два простых слагаемых. Приступим к проверке, начав с 4 (числа 1, 2, 3 разбить так нельзя): 4 = 2 + 2; 5 = 2 + 3; 6 = 3 + 3; 7 = 2 + 5; 8 = 3 + 5; 9 = 2 + 7; 10 = 5 + 5. Казалось бы, всё получается. Но вот на числе 11 мы спотыкаемся, его на два простых слагаемых разбить невозможно. Идём дальше: 12 = 5 + 7; 13 = 2 + 11; 14 = 7 + 7; 15 = 2 + 13; 16 = 3 + 13; на числе 17 опять заминка. Итак, мы быстро нашли два числа, которые не разбиваются на два простых слагаемых. Иной читатель скажет, что и не надо их разбивать на простые слагаемые, эти числа 11 и 17 уже сами простые. Но вот, скажем, числа 27 и 35 не являются простыми, а представить их в виде суммы двух простых слагаемых невозможно. Заметим, что все найденные нами числа, которые нельзя разбить на два простых слагаемых, нечётны. В неслучайности этого мы сейчас убедимся. Сумма двух нечётных чисел всегда чётна. Поэтому если нечётное число есть сумма двух простых слагаемых, то одно из этих слагаемых чётно. Но чётных простых чисел всего одно: это число 2. Значит, само исходное число на 2 больше какого-то простого. Но если перебирать числа в порядке возрастания, то подобные числа будут встречаться всё реже и реже, потому что всё реже и реже будут встречаться простые числа.

Гипотезу о том, что всякое чётное число, начиная с четырёх, может быть представлено в виде суммы двух простых слагаемых, принято называть бинарной гипотезой Гольдбаха. Бинарную гипотезу выдвинул Эйлер в ответном письме Гольдбаху[41]. Он заметил, что из бинарной гипотезы следует тернарная. Действительно, предположим, что бинарная гипотеза верна. Тогда для разложения числа n на три простых слагаемых надо сделать вот что. Если число n чётно, вычтем из него 2, если нечётно – вычтем 3. В обоих случаях получится чётное число, которое можно разложить на два простых слагаемых. Эти два слагаемых вкупе с вычтенной двойкой или тройкой и дадут искомое разложение. И наоборот, из тернарной гипотезы следует бинарная. Пусть тернарная гипотеза верна и требуется разложить чётное число n на два простых слагаемых. Поскольку n чётно, то n + 2 тоже чётно. Разложим его на три простых слагаемых. Если бы все эти слагаемые были нечётны, то и их сумма n + 2 была бы нечётна. Поэтому одно из слагаемых чётно и в силу того, что является простым числом, равно 2. Тогда остальные два слагаемых в сумме дадут n. Поэтому и бинарную, и тернарную гипотезу следует считать всего лишь различными формулировками одной и той же гипотезы – гипотезы Гольдбаха. Из сказанного вытекает, что есть только одна гипотеза Гольдбаха, имеющая различные эквивалентные формулировки.

К 1989 г. гипотеза Гольдбаха была доказана вплоть до гигантского числа, десятичная запись которого занимает около 43 тысяч знаков. Однако проблема Гольдбаха в её полном объёме остаётся нерешённой до сих пор, поскольку в ней говорится обо всех числах. Тернарную гипотезу Гольдбаха в применении к нечётным числам, т. е. гипотезу о том, что каждое нечётное число, начиная с семи, является суммой трёх простых чисел, принято называть слабой гипотезой Гольдбаха. Именно эта гипотеза привлекала наибольшее внимание исследователей. В 2013 г. произошло большое событие: Харальд Хельфготт, перуанец по рождению, американец по университетскому образованию и француз по месту современного жительства и работы, доказал слабую гипотезу Гольдбаха. До Хельфготта самого заметного успеха в этой области достиг советский математик И. М. Виноградов, доказавший, что каждое нечётное число, большее некоторой величины, является суммой трёх простых слагаемых. Однако названная величина оказалась астрономически велика, и потому проверить истинность гипотезы Гольдбаха для всех чисел, меньших этой величины, не представляется возможным.

Осознание того, что есть простые по формулировке вопросы, столетиями ждущие ответа, представляется поучительным. Не менее поучительно осознание того, что бывают и проблемы другого типа, не ждущие решения по причине того, что решения не существует в принципе.

Принято считать, что ранее всего – и по постановке, и по доказательству – была установлена принципиальная нерешимость проблемы нахождения общей меры двух отрезков, приписываемой школе Пифагора. Осторожные выражения «принято считать» и «приписываемая» означают, что затруднительно говорить как о бесспорных датировках, так и о бесспорном авторстве идей, относящихся к столь глубокой древности. Мы всё же будем придерживаться традиционной версии, достаточно правдоподобной.

Пифагор и пифагорейцы с их мистическим отношением к числам считали натуральные числа мерилом всех вещей, выразителями мирового порядка