Апология математики (сборник статей) - Владимир Андреевич Успенский

имеется гипотеза, что в ряду чисел за каждым совершенным числом встретится ещё большее совершенное число, иными словами, совокупность всех совершенных чисел бесконечна. Но пока это только гипотеза. Доказать или опровергнуть гипотезу о бесконечности количества совершенных чисел – это и есть вторая из двух проблем, упомянутых в заголовке этой главки.

Заметим, что на самом деле ищут не сами совершенные числа, а теснейшим образом с ними связанные простые числа Мерсенна, получившие в конце XX в. практическое применение в криптографии и в создании широко используемых в информатике псевдослучайных чисел[32]. О числах Мерсенна – в следующей главке.

Числа Мерсенна. Число Первушина

Биографические сведения о великом древнегреческом математике Евклиде крайне скудны. Считается установленным, что он родился во второй половине IV в. до н. э., а скончался в первой половине III в. до н. э. В историю математики Евклид вошёл благодаря своему прославившему его сочинению, известному в русском переводе под названием «Начала». В нём он собрал и изложил всю известную к тому времени математику. Нас здесь интересует вклад Евклида в теорию совершенных чисел.

В свои «Начала» Евклид поместил следующую теорему: если число 2p − 1 является простым, то число 2p−1 (2p − 1) является совершенным. Например, число 2³ – 1 простое, и в соответствии с теоремой Евклида число 28 = 23–1 (23–1) является совершенным. Заметим, что 2p − 1 может быть простым только при простом p. В самом деле, если p = r · s, r > 1, s > 1, то, как известно из курса средней школы, выражение 2r·s – 1 = (2r)s – 1 делится на 2r – 1. Однако обратное неверно: из простоты числа p не следует простота числа 2p – 1; так, 2¹¹ – 1 = 23 · 89.

Более чем через тысячу лет после Евклида, примерно в 1000 г. н. э., великий арабский учёный Ибн аль-Хайсам (965–1040) высказал гипотезу, что всякое чётное совершенное число имеет вид 2p−1 (2p – 1), где число 2p − 1 является простым. И действительно, совершенное число 496, например, представимо в виде 25–1(25 – 1). Лишь в 1747 г. великий швейцарско-российский математик Леонард Эйлер сумел доказать гипотезу Ибн аль-Хайсама. Тем самым было установлено взаимно однозначное, т. е. однозначное в обе стороны, соответствие между чётными совершенными числами и простыми числами вида 2p − 1: каждому простому числу названного вида однозначно соответствует чётное совершенное число, и наоборот, каждому чётному совершенному числу однозначно соответствует простое число вида 2p − 1.

Из сказанного видно, что числа вида 2n – 1 представляют специальный интерес. Они названы числами Мерсенна в честь французского монаха Марена Мерсенна (Marin Mersenne, 08.09.1588–01.09.1648), теолога, философа, математика, акустика и теоретика музыки. В честь Мерсенна принято также и обозначение: число 2n – 1 обозначается Mn. Таким образом, теорему Евклида – Эйлера можно записать так: чётное число тогда и только тогда является совершенным, когда оно представимо в виде 2n−1 Mn, где Mn – простое.

Марен Мерсенн был личностью замечательной. Ему принадлежат серьёзные работы по акустике колеблющейся струны. Но главное, в первой половине XVII в. он был центральной фигурой и координатором исследований в области естествознания и математики в Европе. По замечанию Паскаля, Мерсенн имел уникальный талант ставить новые научные проблемы, а не разрешать их. Он создал научный кружок, к которому принадлежали многие выдающиеся учёные того времени, в том числе математики Декарт, Дезарг, Паскаль.

Из этого кружка уже после смерти Мерсенна, в 1666 г., выросла Французская академия наук. Не меньшее значение имела переписка, которую Мерсенн вёл с большинством светил европейской науки XVII в. (в том числе, например, с Галилеем и Торричелли). Практически только из переписки Мерсенна с Ферма, изданной уже после смерти последнего, мы знаем об открытиях этого великого математика и физика. Необходимо учесть, что при отсутствии научных журналов – а первый такой журнал вышел лишь в 1665 г. – их роль выполняли кружки и переписка.

Разумеется, когда Мерсенн занялся числами, ныне носящими его имя, они так не назывались. Его вклад заключался в попытке составить список первых последовательно идущих простых чисел Мерсенна. Этот список, включавший 11 чисел, страдал значительными погрешностями. Так, последним в нём стояло число M257, каковое – как и число M67, включённое Мерсенном в свой список, – оказалось составным.

Но этот и другой (о нём мы ещё поговорим) недостаток, сколь бы существенны они ни были, не отменяет главного: Марен Мерсенн поставил задачу создания как можно более длинного списка простых чисел Мерсенна. Более того, математики осознали, что большие простые числа удобно искать именно среди чисел Мерсенна. Как тут не вспомнить высказывание Паскаля об уникальном даре Мерсенна.

Другой недостаток, о котором мы обещали сказать, состоит в неполноте списка. Некоторые простые числа были в нём пропущены. В 1883 г. сельский священник Пермской губернии Иван Михеевич Первушин доказал, что число М61, квалифицированное Мерсенном как составное и потому не вошедшее в его список, на самом деле является простым. Это была первая демонстрация неполноты списка Мерсенна: число М61 явилось первым примером простого числа, пропущенного автором списка, и ввиду этого получило наименование числа Первушина (Pervushin's number). За это и другие достижения в теории чисел Первушин был избран членом-корреспондентом Санкт-Петербургской, Неаполитанской и Французской академий наук, членом Московского и Казанского математических обществ.

Число Первушина, записываемое в десятичной записи как 2 307 843 009 213 693 951, оказалось вторым по величине найденным простым числом. Первым по величине было число M127, стоявшее в списке Мерсенна предпоследним; его простота была подтверждена в 1876 г. Второе место число Первушина удерживало вплоть до 1911 г., когда было доказано, что число M89 – простое.

Иван Михеевич Первушин [21.01 (02.02) 1821 – 17 (30).06.1900] достоин того, чтобы о нём рассказать подробнее. В 1838 г. он поступил в Пермское духовное училище, в 1842 г. был переведен в Пермскую духовную семинарию, где впервые и обнаружилась его склонность к занятиям математикой. С переходом его в 1848 г. в Казанскую духовную академию пристрастие к математике усилилось, и присутствовавший на экзамене в академии П. Л. Чебышёв просил обратить внимание на молодого человека. На первых порах всё шло хорошо. По окончании академии Первушин был направлен в семинарию, которую окончил, где стал преподавать математику. Однако с 1856 г. и до своей кончины с небольшим перерывом на служение в уездном городе Шадринске Первушин был сельским священником. Известный уральский краевед Владимир Павлович Бирюков писал, что назначение лица, окончившего духовную академию, в сельскую