Том 42. Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики - Эдуардо Арройо

* * *

Лагранж действительно воспользовался этой идеей для того, чтобы найти общую форму, которая позволила бы ему определить траекторию, не останавливаясь на вычислении уменьшения лагранжиана.

Теоретически уравнения Эйлера — Лагранжа могли бы использоваться для определения траектории каждой частицы газа, поскольку, как уже было сказано, их легко можно расширить на произвольное число частиц. Однако на практике из-за огромного количества частиц решить эти уравнения невозможно без помощи мощного компьютера.

Одно из основных преимуществ лагранжевой механики состоит в том, что она была определена в терминах обобщенных координат. В отличие от законов Ньютона, она не предполагала использование прямоугольной системы координат, а была справедлива для любых других систем, подходящих для изучения проблемы. Обобщенные координаты необязательно должны быть выражены единицами измерения длины; как мы видели раньше, одна из них может быть углом. Главное требование к таким координатам — они должны быть достаточными для того, чтобы определить положение частицы в некоторой области пространства.

Чтобы отличить обобщенные координаты от прямоугольной системы координат, оси которых названы х, у, z, используется буква q с индексами — q1, q2  или q3. Это очень удобно, когда рассматриваются системы с несколькими частицами, как в случае с газом.

В предыдущем примере с полярными координатами, где положение на плоскости задано расстоянием до центра и углом, можно определить:

q1 = r

q2 = Θ

Другой пример — сферические координаты.

В этом случае для определения положения в пространстве нужны три числа: расстояние до центра и два угла, как показано на рисунке. В этом случае получаются следующие обобщенные координаты:

q1 = r

q2 = Θ

q3 = ф

Существует неограниченное количество вариантов, каждый из которых подходит для разных задач. Преимущество формулировки Лагранжа заключается в том, что координаты подстраиваются к задаче, а не наоборот.

Числовое значение лагранжиана определяется не только положением частицы, но и ее скоростью, квадрату которой пропорциональна кинетическая энергия. Скорость частицы определяется как изменение положения за единицу времени: если известно положение тела в каждый момент, известна и его скорость.

Зависимость лагранжиана от положения тела и, в свою очередь, от его изменения, усложняла решение уравнений. Если бы лагранжиан зависел только от положения, проводить вычисления было бы намного легче.

Уильям Роуэн Гамильтон предложил решение этой проблемы. Его идея заключалась в том, чтобы переформулировать уравнения Эйлера — Лагранжа таким образом, чтобы они зависели только от положения тела, но не от его скорости. Для этого оказалось необходимым понятие импульса.

Импульс — это мера того, насколько сложно остановить тело. Чем тяжелее тело и чем быстрее оно движется, тем больше усилий необходимо, чтобы его затормозить. Поскольку импульс растет как вместе с массой, так и вместе со скоростью, он определяется как произведение обеих величин. Импульс обозначается буквой р и математически выражается как:

р = m·v,

где m — масса, а v — скорость.

Понятие импульса было известно с древности, хотя современную трактовку он получил от Ньютона, который говорил, что импульс представляет собой количество движения. На основании законов Ньютона можно доказать, что для системы, на которую не воздействуют внешние силы, количество движения остается постоянным. Если мы сложим импульсы каждой частицы в разные моменты времени и сравним результаты, то увидим, что суммы импульсов равны.

Разговор об этом понятии тесно связан с третьим законом Ньютона, в котором утверждается, что любому действию соответствует равное ему противодействие. Более точная формулировка звучит так: когда тело А оказывает некоторую силу на тело В, последнее оказывает на тело А такую же силу в противоположном направлении.

Представим себе человека, опирающегося о стену. В это время человек оказывает на нее силу F. Стена, в свою очередь, воздействует на человека аналогичным образом, но в противоположном направлении, благодаря этому мы и не можем проходить сквозь стены. Точно так же Земля воздействует на нас с силой, равной той, с которой мы воздействуем на Землю, и благодаря этому мы не проваливаемся к центру планеты. Что произошло бы, если бы мы воздействовали на Землю с силой больше нашего веса? В этом случае Земля ответила бы такой же силой, и мы бы отлетели бы от ее поверхности, то есть совершили прыжок.

Используя закон действия и противодействия, можно доказать, что импульс системы частиц должен оставаться постоянным. Возьмем предыдущий пример с прыжком: с одной стороны, человек толкает Землю вниз, в то время как Земля толкает человека вверх. Сила, примененная к человеку, вызывает изменение его скорости, согласно второму закону Ньютона, в котором говорится, что сила пропорциональна ускорению. Точно так же сила, примененная к Земле, влечет изменение ее скорости. Естественно, изменение скорости человека намного больше: масса человека по сравнению с массой Земли очень незначительна. Хотя изменение скорости Земли незаметно ввиду огромной массы планеты, однако изменение ее импульса равно изменению импульса человека, но в противоположном направлении. Итак, оба изменения импульса взаимно сокращаются, и общий импульс остается постоянным.

* * *

УИЛЬЯМ РОУЭН ГАМИЛЬТОН (1805–1865)

Гамильтон был ирландским физиком и математиком. Его главный вклад в физику состоял в том, что он вывел уравнения движения для тела в классической механике в их современном виде. Гамильтон изобрел кватернионы — систему представления комплексных чисел в четырех измерениях. Кватернионы подходят для описания любого типа вращений и широко использовались в физике, пока не были заменены векторным исчислением.

Гамильтон с детства проявил удивительные лингвистические способности, и уже к подростковому возрасту говорил на 12 языках. Однако потом эта его страсть уступила место все возрастающему интересу к математике, вызванному чтением великих трудов, таких как «Начала» Ньютона и «Небесная механика» Лапласа. Гамильтону удалось не только найти новые формулировки для законов Ньютона, но и построить параллели между механикой и оптикой, а затем перейти к разработке серии уравнений, применимых к обеим этим дисциплинам. Работы ученого использовал австрийский физик Эрвин Шрёдингер (1887–1961) для получения своего знаменитого уравнения, определяющего квантовую механику и использующего идею корпускулярно-волнового дуализма (вспомним, что механика работает с частицами, а оптика — с волнами).

* * *

Газ — это система частиц, на которую не воздействуют внешние силы. Это означает, что количество движения его частиц должно оставаться неизменным. Что удивительно, так это возможность сделать подобный прогноз, абсолютно ничего не зная о свойствах молекул, из которых состоит газ. Это делает возможными определенные вычисления, связанные с законами сохранения импульса или энергии. Эти законы являются фундаментальными для прогнозирования поведения какой-либо сложной системы.

Гамильтон решил «заново выразить» уравнения Лагранжа в терминах положений и импульсов вместо положений и скоростей. Таким образом он намеревался упростить математические методы, необходимые для определения траектории изучаемой частицы. Поскольку положения частиц выражались в обобщенных координатах, Гамильтон вынужден был дать импульсу другое определение, адаптированное для этих координат. Он назвал эти новые импульсы обобщенными импульсами и определил их таким образом, чтобы они совпадали с импульсами Ньютона в случае, когда обобщенные координаты совпадают с координатами в прямоугольной системе.

Гамильтон пытался уравнять импульсы и положения, предположив, что импульс — просто координата. Сделав это, он столкнулся с тем, что количество уравнений, требовавших решения, увеличилось, но сами уравнения при этом стали проще.

Поясним, как скорости заменяются импульсами. Возьмем частицу, брошенную в воздух на определенной скорости. Ее кинетическая энергия определяется следующим образом:

T = m·v2/2