Том 42. Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики - Эдуардо Арройо

Познакомившись с n-мерными пространствами, мы можем рассмотреть, как они используются для описания поведения молекул газа. Для начала сосредоточим внимание на одной частице, а затем расширим анализ на неограниченное их число.

Вспомним, что положение частицы может быть описано с использованием любого типа координат, необязательно в прямоугольной системе. Поскольку наше пространство имеет три измерения, нам необходимо три числа для указания положения частицы. Координаты могут быть любыми, так что обозначим их через q и добавим какой-нибудь индекс: q1, q2 и q3.

Однако знание положения частицы не дает нам достаточно информации для возможности прогнозировать ее поведение. Для этого мы должны также знать, в каком направлении частица движется и с какой скоростью. В качестве варианта мы можем использовать импульс, который является произведением массы частицы на скорость (этот способ предпочитают физики, поскольку он значительно упрощает вычисления).

Для определения как импульса, так и скорости также нужно три числа. Предположим, что кто-то говорит нам: «Автомобиль выезжает на скорости 100 км/ч из Стамбула. За сколько времени он доедет до Москвы?» Ответ зависит от того, в каком направлении он едет: если авто выезжает на юг, поездка окажется очень длинной, потому что водителю придется обогнуть земной шар, но если он поедет напрямую в сторону Москвы, то прибудет на место намного раньше. Итак, недостаточно знать скорость автомобиля, нам нужно и число для определения направления. Кроме того, если бы у автомобиля была возможность летать, нам понадобилось бы и третье число, чтобы показать, что он движется не вверх, а горизонтально.

Другой способ понимания заключается в том, что у скорости есть три составляющие, по одной для каждого возможного направления. Каждая составляющая говорит нам о скорости, с которой объект движется в этом направлении. Поскольку импульс частицы — это масса, умноженная на скорость, нам также нужны три составляющие, по одной для каждой составляющей скорости.

Так как мы используем обобщенные координаты, каждой координате приписывается обобщенный импульс, обозначенный буквой р. Координате q1 соответствует импульс p1 и так далее.

Следовательно, чтобы представить частицу, нам нужно шесть чисел: три для положения и три для импульса, и это означает, что частица движется по шестимерному пространству. Положение частицы можно представить математически, записав три положения, а затем три импульса. Если обозначить положение в этом абстрактном пространстве положений и импульсов через r, мы можем его выразить следующим образом:

r = (q1, q2, q3, p1, p2, p3)

Пространство положений и импульсов называют фазовым пространством. Можно сказать, что частица описывает определенную траекторию в фазовом пространстве: как положение, так и импульс меняются во времени, следуя правилам, заданным уравнениями Гамильтона. Мы можем представить траекторию в фазовом пространстве точно так же, как мы это делаем в обычной жизни: нужно только помнить, что часть этих положений на самом деле представляют собой скорость частицы.

Теперь мы можем рассмотреть проблему многих частиц. Мы знаем, что для того, чтобы определить частицу в фазовом пространстве, нам нужно шесть чисел.

Сколько чисел потребуется для двух частиц? Шесть для первой и шесть для второй, то есть 12. Итак, систему из двух частиц можно рассматривать так, будто речь идет об одной частице, движущейся в 12-мерном пространстве. Поскольку уравнения Гамильтона работают для любого числа измерений, мы должны будем всего лишь решить большее число уравнений, и в этом преимущество его математической разработки.

Из предыдущих рассуждений можно сделать вывод, что каждый раз, когда мы будем добавлять частицу, нам потребуются еще шесть чисел: три для ее положения и три для ее импульса. Следовательно, для системы из N частиц число координат, которые нам понадобятся, равно 6N. То есть система из N частиц соответствует одной частице, движущейся по пространству из 6N измерений. Хотя в это и не верится, но решить задачу с частицей, движущейся по пространству из 6N измерений, легче, чем задачу с шестью измерениями для каждой частицы.

Положение частицы на фазовой диаграмме можно представить как группу чисел, разделенных запятыми:

r = (q1, q2, q3, p1, p2, p3)

где q обозначает положения, р — импульсы. Чтобы представить две частицы, нам нужно всего лишь удвоить число координат следующим образом:

r = (q1, q2, q3, q4, q5, q6,p1, p2, p3, p4, p5, p6)

где первые три положения соответствуют первой частице, а три следующие — второй; то же самое касается импульсов.

В целом для N частиц положение в фазовом пространстве задано рядом чисел, в котором количество каждой координаты в три раза больше, чем число частиц:

r = (q1, q2, q3… q3N, p1, p2, p3… p3N )

Этот набор чисел, разделенных запятой, говорит нам о положении точки в фазовом пространстве, поскольку это аналог точки в трех измерениях, но распространенный на произвольное число измерений. С течением времени частица меняет положение в фазовом пространстве, следуя траектории, которую мы можем вычислить, пользуясь уравнениями Гамильтона.

Описать траекторию частицы в фазовом пространстве — сложная задача, поскольку невозможно представить столько измерений одновременно. Но иногда мы можем ограничиться некоторыми измерениями, например горизонтальным положением и импульсом в этом же направлении.

Самый простой случай — это случай частицы, движущейся в одном измерении, то есть вдоль прямой линии. Несмотря на это ограничение, частица может перемещаться самыми разными способами: она может колебаться вперед и назад или осуществлять ускоренное движение в одном направлении.

Каждому случаю будет соответствовать своя траектория в фазовом пространстве. Изучение этих траекторий позже поможет нам понять некоторые свойства систем с большим количеством частиц, в частности газов.

Рассмотрим случай, когда частица движется по прямой с постоянной скоростью. Поскольку скорость постоянна, а импульс — это произведение массы на скорость, импульс также будет постоянным. Итак, частица будет двигаться вдоль горизонтальной оси х, сохраняя один и тот же импульс. Рисуя ее траекторию, представим себе, что частица движется, оставляя после себя след, как от сверхзвукового самолета (см. рисунок на следующей странице). След — это то, что представлено на графике: области, по которым прошла частица.

Траектория в фазовом пространстве частицы, которая движется прямолинейно на постоянной скорости, имеет следующий вид.

На графике показано, что импульс частицы при любом ее положении один и тот же. Подобным образом движется, например, поезд, который всегда едет на одной и той же скорости.

Более интересен случай, когда частица движется зигзагом, например как игрушка, прикрепленная к пружине и подпрыгивающая вверх-вниз. В этом случае скорость игрушки уменьшается, пока она не доходит до одного края, затем она начинает увеличиваться по мере того, как игрушка доходит до центра движения, и затем снова уменьшается, когда она доходит до противоположного края. Форма такого движения в фазовом пространстве довольно любопытна.

Как можно заметить, траектория имеет форму эллипса, то есть типичную форму колебательного движения, хотя возможны и более сложные случаи. Эта траектория соответствует некоторым начальным положению и скорости, то есть начальным условиям. С каждым набором начальных условий связана разная траектория в фазовом пространстве. На первом графике на стр. 46 показаны возможные траектории для частицы, движущейся зигзагом, в зависимости от ее начального положения.

* * *

РАЗЛИЧНЫЕ ТРАЕКТОРИИ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Существует огромное количество возможных траекторий в фазовом пространстве, и их форма зависит от правил, регулирующих развитие системы. Например, на графике показана траектория в фазовом пространстве частицы, которая колеблется под воздействием силы трения, так что постепенно теряет энергию.

Но возможно и намного менее предсказуемое поведение. Рисунок ниже соответствует аттрактору Лоренца — траектории, возникающей при описании погоды. В целом существует столько возможных траекторий, сколько можно вообразить систем. Некоторые из них упорядочены, но существует и огромное количество систем, в которых траектория частицы непредсказуема. Трехмерная траектория абсолютно непредсказуема и никогда не проходит через одну и ту же точку.