Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц] - Всеволод Беллюстин

Кромѣ того, у русскихъ ХVІ—ХVІІ вѣка по Р. X. была еще другая система счета, такъ сказать, обиходная, будничиая. Это — «малое число». По этой системѣ единицами счета являются: единица простая, десятокъ, сотня, тысяча, тьма=10 000, легіонъ=100 000 и леодръ =100 000.[2]

Замѣчательно, что и средневѣковые китайскіе ученые доводятъ нумерацію до 53-го разряда. И совпаденіе предѣла, и нѣкоторые другіе историческіе факты приводятъ къ вѣроятному предположенію, что не всегда Китай былъ такь уединенно замкнутъ, какъ въ наши времена, и что индусская ученость, въ пору расцвѣта своей силы, т.-е. лѣтъ тысячу тому назадъ, проникла и къ китайцамъ и проявила свое дѣйствіе тамъ.

Чтобы закончить выясненіе предѣла чиселъ, мы остановимся еще немного на преданіи о той наградѣ, которую изобрѣтатель шахматной игры пожелалъ получить отъ шаха Шерама. Это преданіе свидѣтельствуетъ опять таки о склонности индусовъ къ громаднымъ вычисленіямъ. Гласитъ оно слѣдующее. Шахъ Шерамъ такъ былъ восхищенъ только что изобрѣтенной шахматной игрой, что предложилъ изобрѣтателю назначить самому себѣ награду. Тотъ и назначилъ:

«положи», говоритъ, «шахъ, мнѣ на первую клѣтку доски 1 пшеничное зернышко, на 2-ю два, на 3-ю 4, на 4-ю 8 и т. д., на каждую послѣдующую вдвое больше, чѣмъ на предыдущую».

Клѣтокъ въ доскѣ 64. Шахъ поспѣшилъ согласиться, но когда стали высчитывать количество зеренъ, то оказалось, что получается нѣчто необъятное, и что столько зеренъ нечего и думать набрать, хотя бы начать собирать ихъ со всей земли. Отвѣтъ такой: 18 446 744 073 709 551 615.

Счетные приборы

Всякій отдѣльный человѣкъ и всякій отдѣльный народъ на первыхъ ступеняхъ своего развитія бываетъ склоненъ къ предметному счету. Какъ дѣтямъ, такъ и дикарямъ свойственно начинать счетъ съ пальцевъ. Отъ пальцевъ они переходятъ робкими попытками и съ большой нерѣшительностью къ счету на другихъ предметахъ, обыкновенно на близкихъ имъ и обиходиыхъ, напр., на черточкахъ, зарубкахъ, крестикахъ, костяшкахъ в т. п. Они еще очень далеки въ этомъ случаѣ отъ устнаго счета и отъ письменныхъ вычисленій. Продолжая развивать свою привычку къ наглядному счету, человѣкъ доходитъ до сложныхъ системъ, которыя онъ проявляетъ въ особенныхъ счетныхъ приборахъ и аппаратахъ. Одни только индусы, у которыхъ наука восходитъ къ такой же сѣдой древности и къ такимъ же необъятнымъ глубинамъ прошедшихъ вѣковъ, какъ у египтянъ и китайцевъ, и у которыхъ образованіе начало развиваться за тысячи лѣтъ до Р. X., — одни они успѣли освободиться отъ помощи предметовъ во время счета и занялись чисто умственнымъ, преимущественно устнымъ, счетомъ. У остальныхъ же народовъ, какъ образованныхъ, такъ и мало развитыхъ, мы встрѣчаемъ множество наглядныхъ пособій.

Укажемъ прежде всего на счетъ по пальцамъ и притомъ не на простой способъ постепеннаго загибанія пальцевъ, а на оригинальные пріемы, изобрѣтенные по большей части римлянами.

Римляне были большіе любители всевозможныхъ вычисленій на пальцахъ. Между прочимъ, путемъ разгибанія и загибанія пальцевъ, а также путемъ вытягиванія и складыванія рукъ, они умѣли выражать числа отъ 1 до милліона. При этомъ 3 пальца лѣвой руки, начиная съ мизинца, служили у нихъ въ различныхъ комбинаціяхъ для простыхъ единицъ, остальные пальцы лѣвой руки—для десятковъ, большой и указательный пальцы правой руки для сотенъ, а остальные для тысячъ. Чтобы выразить, напр., простую единицу, они загибали мизинецъ, чтобы выразить 2, пригибали 4-й и 5-й палецъ къ ладони, для 3-хъ—3-й палецъ: число 90, напр., обозначалось указательнымъ пальцемъ, пригнутымъ къ ладони; для обозначенія десятковъ тысячъ они клали лѣвую руку на грудь, бедро, для сотенъ тысячъ пользовались такимъ же образомъ правой рукой; складываніеі рукъ крестъ-накрестъ соотвѣтствовало милліону.

Римляне не только могли замѣчать на пальцахъ большія числа, но они умѣли производить при помощи пальцевъ нѣкоторыя дѣйствія. И сейчасъ еще потомки римлянъ, румыны и южные французы, въ состояніи быстро и искусно продѣлывать на пальцахъ таблицу умноженія.

Положимъ, дано умножить 6 на 8; тогда протягиваемъ на одной рукѣ 1 палецъ, т. е. ровно столько, насколько первый множитель больше пяти, а на второй рукѣ протягиваемъ 3 пальца, потому что, согласно такому же разсчету, 8 больше 5-ти на три; количество протянутыхъ пальцевъ складываемъ, и это будетъ число десятковъ—4; количества же пригнутыхъ пальцевъ перемножаемъ: 4×2=8, тогда получимъ единицы произведенія, 4 дес.+8=48.

Еще примѣръ: 8X9; такъ какъ 8 больше 5-ти на 3, а 9 на 4, то надо протянуть на первой рукѣ 3 пальца, а на второй—4, тогда останется согнутыхъ пальцевъ на первой рукѣ 2, на второй—1; теперь мы складываемъ количество протянутыхъ: 3+4=7, и перемножаемъ количества согнутыхъ: 1×2=2, отвѣтъ 72.

На чемъ же основанъ этотъ остроумный и быстрый пріемъ? Имъ такъ любили пользоваться школьники, особенно среднихъ вѣковъ. когда имъ не давалась многотрудная таблица умноженія. Основаніе его лучше всего можно выяснить алгебраической формулой, и для тѣхъ, кто владѣетъ алгеброй, мы ее сообщаемъ. Она имѣетъ видъ тождества: х. у==(х—5+у—5). 10+[5—(х—5)]. [5—(у—5)]. Изъ формулы можно видѣть, что она примѣнима только для тѣхъ случаевъ, когда множители больше 5-ти.

Пальцевымъ счетомъ можно воспользоваться также и при умноженіи двузначныхъ чиселъ, но только такихъ, чтобы они были не выше 20-ти. Чтобы показать это на примѣрѣ, умножимъ этимъ способомъ 13 на 14; для зтого 3 да 4 складываемъ; будетъ 7, столько десятковъ; эти же числа, т.-е. 3 и 4, перемножаемъ, будетъ 12, столько единицъ; а за то, что множители принадлежатъ ко 2-му десятку, надо къ полученнымъ отвѣтамъ добавить еще сотню; тогда всего получится: 100+70+12=182—отвѣтъ совершенно вѣрный. Кто знаетъ алгебру, тотъ безъ труда составитъ формулу для объясненія этого пріема: (10+a). (10+b)=100+ab+10. (a+b).

Покончивши съ вопросомъ о самомъ главномъ, близкомъ и употребительномъ пособіи, о пальцахъ, мы переходимъ къ тому разряду пособій, который нашелъ себѣ представителя въ русскихъ торговыхъ счетахъ. Русскіе счеты! Какъ они распространены въ народѣ, среди лавочниковъ, мелкихъ служащихъ, въ конторахъ! Ихъ издавна любитъ русское торговое сословіе. Это дало поводъ думать нѣкоторымъ, что счеты изобрѣтеніе исключительно русское. Ничуть: приборы, похожіе на счеты, мы встрѣчаемъ у многихъ народовъ, въ особенности у народовъ древняго міра, напр., у римлянъ, грековъ, китайцевъ, халдеевъ и у всѣхъ народовъ, которые приходили съ ними въ соприкосновеніе. Да и какъ не быть счетамъ, когда происхожденіе ихъ такъ просто, ясно и всеобще. На счетахъ имѣются шарики: естественно и удобно для всякаго народа, потому что потребность наглядности есть у всѣхъ, а что-нибудь лучше шариковъ трудно и придумать, по крайней мѣрѣ, заостренные, неотшлифованные предметы не такъ удобны для рукъ, какъ круглые; далѣе, шарики надѣваются на проволоки, но они могли бы надѣваться на стержни и шнуры или могли-бы класться въ желобки: цѣль, очевидно, та, чтобы они не разсыпались; это мы наблюдаемъ также у многихъ народовъ. Наконецъ, этотъ счетный приборъ содержитъ не одинъ рядъ костяшекъ, а нѣсколько; это уже болѣе высокая ступень счета, когда народъ имѣетъ нѣсколько разрядовъ единицъ, какъ простыхъ, такъ и сложныхъ; проволоки, шнуры и колонны для различныхъ разрядовъ могли бы располагаться какъ горизонтально, такъ и вертикально; у насъ въ русскихъ счетахъ проволоки расположены горизонтально, у римлянъ же колонны для шариковъ располагались вертикальными рядами.

Русскимъ торговымъ счетамъ можно указать иараллель и предшественника въ китайскомъ сванъ — панѣ. Изобрѣтеніе его относится къ вѣкамъ глубокой древности, откуда, впрочемъ, восходитъ и вся китайская наука и искусство. Надо полагать, что сванъ-панъ получилъ свое начало не сразу, а преобразовался изъ зачаточнаго, грубаго прибора постепенно, многими поправками и улучшеніями, пока не дошелъ до своего настоящаго вида. Признакомъ его древности служитъ то, что онъ содержитъ въ себѣ смѣсь пятеричной системы съ десятичной, слѣдовательно, онъ изобрѣтенъ тогда, когда народъ еще пользовался пятеричной системой и не перешелъ къ чистой десятичной.

Объяснимъ устройство сванъ-пана. Представьте себѣ деревянную раму, въ родѣ той, какая имѣется въ русскихъ торговыхъ счетахъ; поперекъ этой рамы горизонтальными рядами натянуты шнуры, вмѣсто нашихъ мѣдныхъ проволокъ. На каждомъ шнурѣ только 7 шариковъ, а не 10. Какъ же управляться съ 7-ю шариками и почему именно 7, а не другое число? А вотъ какъ: вдоль всѣхъ счетовъ, вертикально сверху внизъ, пересѣкая шнуры, идетъ перегородка, сквозь которую шнуры и продѣъаются. При этомъ по одну сторону перегородки остается шариковъ пятокъ, а по другую пара. Пятокъ назначается для отдѣльныхъ единицъ и съ нимъ ведется дѣло такъ же, какъ у насъ съ косточками на торговыхъ счетахъ. Что же касается пары, то назначеніе ея сложнѣе: каждая изъ составляющцхъ ее косточекъ равна по значенію 5 единицамъ соотвѣтствующаго разряда. Поэтому, какъ только мы наберемъ 5 косточекъ на нижней проволокѣ, то мы этотъ пятокъ должны сбросить и замѣнить одной изъ тѣхъ косточекъ, которыя входятъ въ составъ пары. Въ свою очередь, какъ только наберется этихъ пятерныхъ косточекъ двѣ, такъ онѣ сбрасываются и замѣняются одной простой косточкой на слѣдующей высшей проволокѣ. Изъ этого мы видимъ, что на нижней линіи кладутся единицы и пятки, на 2-й десятки и полсотни, на 3-ей сотни и полутысячи и т. д. Всего въ сванъ панѣ 10 линій, т.-е. шнуровъ. Отдѣльныхъ линій для долей въ немъ вовсе нѣтъ, не такъ, какъ въ русскихъ счетахъ. Въ греческомъ и римскомъ мірѣ былъ свой замѣститель сванъ-пана и русскихъ счетовъ. Онъ назывался абакомъ. Слово «абакъ» происхожденія еврейскаго и значитъ пыль. И это потому, что римляне и греки пользовались досками, на которыхъ былъ насыпанъ мелкій песокъ; на нихъ расчерчивался рядъ вертикальныхъ параллельныхъ линій; между начерченными линіями въ промежуткахъ само сабой являлся рядъ колоннъ или гладкихъ пространствъ, изъ которыхъ крайнее назначено было для простыхъ единицъ, второе (обыкновенно слѣва) для десятковъ, третье для сотенъ и т. д. Какъ же обозначить на такомъ абакѣ число единицъ, десятковъ, сотенъ и т. д.? Для этого былъ не одинъ способъ, а нѣсколько, при чемъ въ разныя времена и подъ вліяніемъ тѣхъ или другихъ математиковъ поперемѣнно выдвигалея на первый планъ то тотъ способъ, то другой: во-первыхъ, на колонны клали нужное количество костяшекъ или камешковъ, или же на нихъ чертили столько черточекъ, крестиковъ или кружковъ, сколько хотѣли обозначить единицъ; это самый немудрый, примитивный способъ. Позднѣе, съ Пиѳагора (въ VI вѣкѣ до Р. Хр.) начали пользоваться вторымъ пріемомъ, именно въ колоннахъ на пескѣ стали писать не крестики и черточки, а прямо цифры, и, наконецъ, въ замѣну этого пріема явился третій: стали употреблять костяшки или «марки», съ награвированными цифрами, такъ что вмѣсто письма въ колоннахъ на пескѣ начали класть костяшки съ цифрами; кромѣ того, вмѣсто доски съ насыпаннымъ пескомъ употребляли иногда поверхность гладкую изъ камня, дерева или металла, на ней графили рядъ колоннъ, въ которыя и клали марки. Чисто-римскій абакъ, въ отличіе отъ абака греческаго и отъ позднѣйшихъ видовъ этого же инструмента, былъ съ такими двумя подробностями. Во-первыхъ, сбоку у него имѣлись небольшія колонки для долей: половинъ, третей и четвертей или же унцій, т.-е. двѣнадцатыхъ долей: потребностъ въ вычисленіяхъ съ дробями давала себя чувствовать въ обширной и практически-разносторонней дѣятельности римлянъ; во-вторыхъ, такъ какъ римляне дольше всѣхъ народовъ примѣшивали къ десятичной системѣ пятеричную, то ихъ абакъ, подобно своему родоначальнику сванъ-пану, былъ примѣненъ къ счету пятками; надо замѣтить, что гордый Римъ, весь міръ приведшій подъ свое владычество и давшій образцы устройства государства, былъ не силенъ по части истинной науки и больше занимался вопросами житейской практики; плохіе математики и только свѣдущіе землемѣры, римляне не могли представкть себѣ ясно всѣхъ преимуществъ точнаго счета десятками безъ всякой примѣси пятковъ, и лишь ученый представитель позднѣйшей римской образованности Боэцій, жившій въ VI столѣтіи по Р. Хр., отбросилъ, наконецъ, добавочныя грани для пятковъ, и у него мы видимъ чистый счетъ десятками. Абакъ Боэція содержитъ въ правой колоннѣ единицы, въ сосѣдней съ ней десятки, въ слѣдующей сотни и т. д.; если какой-нибудь разрядъ отсутствуетъ, то та колонна остается незаполненной. Какъ близко отъ такого способа обозначенія до нашего порядка записыванія чиселъ! Стоитъ стереть черты колоннъ и обозначить какъ-нибудь мѣста пропущенныхъ разрядовъ, вотъ и наша система. Весьма возможно, что въ историческомъ развитіи такъ именно и совершалось дѣло, т.-е. когда въ данномъ числѣ какой-нибудь разрядъ отсутствовалъ, и та колонна, слѣдовательно, являлась незаполненной, то стирали всѣ колонны, кромѣ нея, ее же выражали въ видѣ квадрата, незаполненнаго цифрой; отсюда одинъ шагъ къ тому, чтобъ вмѣсто неудобнаго квадрата ввести кружокъ, который чертится гораздо легче: кружокъ этотъ и есть нашъ нуль. Но все-таки введеніе нуля никоимъ образомъ не можетъ считаться заслугой римлянъ: оно принадлежитъ индусамъ.