Игра в имитацию - Эндрю Ходжес

Следующей необходимой функцией для машины была возможность считывать информацию или, по словам самого Алана, «сканировать» ячейку ленты, на которой остановилось считывающее устройство. Также она должна была обладать функцией не только записи символов, но и уметь их стирать. При этом она могла переместиться только на одну ячейку за раз. В таком случае какие действия оставались для машиниста пишущей машинки? Алан действительно отметил в своей работе возможность того, что он сам называл «машинами выбора», в которых внешний оператор должен принимать решения в определенных моментах работы устройства. Вместе с тем целью его работы было создание именно автоматических машин, для работы которых не потребуется вмешательство человека. С самого начала он хотел всесторонне изучить то, что Харди называл «сверхъестественной машиной», — механический процесс, который смог бы решить третью проблему Гильберта путем считывания предоставленного математического суждения, и в конечном результате записывая решение: имеет ли оно доказательство или нет. Существенной идеей для подобного устройства оставалась возможность производить решение без вмешательства человеческого суждения, воображения или интеллекта.

Любая «автоматическая машина» должна была работать сама по себе, производя считывание и запись информации, перемещаясь вперед и назад, в соответствии с тем, как она была задумана. На каждом этапе ее работы действия должны быть строго определены текущей конфигурацией и считанным символом. Для большей точности конструкция машины должна была уметь определять свое действие в случае каждой комбинации конфигурации и считанного символа:

записать новый (заданный) символ в пустую ячейку, или оставить уже записанный символ в неизменном виде, или стереть символ и оставить ячейку пустой;

остаться в прежней конфигурации или сменить ее на другую (заданную) конфигурацию;

переместиться на ячейку влево, или вправо, или остаться в текущей позиции.

Если всю эту информацию, определяющую действия машины, записать, получится «таблица переходов», имеющая конечное количество действий. Такая таблица может полностью описать работу машины, и независимо от того, была ли машина сконструирована или нет, такая таблица могла представить всю необходимую информацию о ее работе. С абстрактной точки зрения, именно таблица и являлась самой машиной.

С изменениями, вносимыми в таблицу, изменялось бы и поведение самой машины. Бесконечное множество таблиц соответствовало бы бесконечному множеству возможных машин. Алану удалось воплотить неясную идею «определенного метода» или «механического процесса» в чем-то более точном — «таблице переходов». Теперь ему оставалось ответить на один очень конкретный вопрос: может ли одна из таких машин, одна из таких таблиц произвести решение вопроса, который поставил Гильберт?

Рассмотрим пример подобной машины. Приведенная ниже «таблица переходов» полностью описывает машину Тьюринга с функцией счетной машины. Начиная с позиции сканирующего устройства слева от двух групп единиц, разделенных одной пустой ячейкой, машина просуммирует две группы и остановится. Таким образом, это действие изменит заданное состояние ленты.

В этом случае машина должна заполнить пустую ячейку и стереть последнюю единицу. Следовательно, в машине должны быть заложены четыре конфигурации. В первой конфигурации головка считывающего устройства движется по ленте, пока не обнаружить первую группу единиц. Когда она начнет считывать первую группу, машина меняет свою конфигурацию на вторую. Пустая ячейка служит сигналом изменения конфигурации на третью, в которой считывающее устройство движется по второй группе, пока не обнаружит другую пустую ячейку, что послужит сигналом развернуться и войти в четвертую и последнюю конфигурацию, чтобы стереть последнюю единицу и остановиться на текущей позиции.

Полная таблица, описывающая это действие, будет выглядеть следующим образом:

Просканированный символ

Но даже такая простая машина, описанная в примере выше, могла выполнять не только суммирование. Такая машина могла производить действие распознавания, например, «найти первый символ справа». Машина с более сложной программой могла производить умножение, повторяя действие копирования одной группы единиц, при этом стирая по одной единице из другой группы, и распознавая, когда необходимо прекратить производить данные действия. Такая машина также производить действие принятия решений, например, она могла решить, является ли число простым или составным, делится ли оно на другое заданное число без остатка. Совершенно очевидно, что этот принцип мог быть использован самыми различными способами, чтобы представить вычисления в механистическом виде. Оставался неясным только один вопрос: могла ли подобная машина решить третью проблему Гильберта?

Проблема казалась слишком сложной, чтобы попытаться решить ее, записав таблицу определенных действий для ее решения. И все же существовал один метод, который позволял довольно изворотливо подойти к решению вопроса. Тогда Алан стал думать о «вычислимых числах». Основная идея заключалась в том, что любое «действительное число» могло быть вычислено одной из его машин. К примеру, можно было создать машину, чтобы вычислить разложение на десятичные дроби числа π. Для этого потребовалось лишь записать ряд действий по сложению, умножению, копированию, и так далее. В случае бесконечного десятичного ряда, машина продолжала бы непрерывно работать и потребовалось бы неограниченное количество ячеек на ее ленте. Однако устройство могло высчитывать каждый десятичный разряд за определенное количество времени, при этом используя определенную длину рабочей ленты. А вся информация о процессе могла быть записана в таблицу переходов с определенным количеством записанных конфигураций.

Таким образом, он нашел способ представить такое число, как π, с бесконечным десятичным разложением в виде таблицы с конечным числом действий. То же самое можно было проделать и с квадратным корнем из трех, или с натуральным логарифмом семи, или с любым другим числом, вычисляемым по некоторому правилу. Подобные числа он назвал «вычислимыми числами».

Точнее говоря, сама машина не обладала бы никакими знаниями о десятичных числах или десятичных разрядах. Она могла лишь производить последовательность цифр. Последовательность, которая могла быть произведена одной из его машин, Алан назвал «вычислимой последовательностью». Тогда вычислимая бесконечная последовательность, перед которой стояла десятичная запятая, могла определить «вычислимое число» между 0 и 1. Это означало, что любое вычислимое число между 0 и 1 могло быть определено в виде таблицы с конечным числом действий. Для Алана оставалось важным, чтобы вычислимые числа всегда были представлены в виде бесконечной последовательности цифр, даже если все цифры после определенного момента были нулями.