Математические головоломки профессора Стюарта - Иэн Стюарт

Эти процессы можно характеризовать конкретными числами, определяющими скорость диффузии и тип реакции. Эти числа действуют как координаты в «пространстве маскировки» – множестве всех возможных узоров, подобно тому как широта и долгота дают координаты на поверхности Земли.

Исследователи соотносят эти числа с наблюдаемыми данными у 35 различных видов кошачьих: какой ландшафт эти кошки предпочитают, что едят, охотятся днем или ночью. Статистические методы выявили значимую связь между этими переменными и узорами на кошачьих шкурах. Результаты показывают, что узоры тесно связаны с закрытыми ландшафтами, такими как лес. Животные открытых пространств, таких как саванны, с большей вероятностью имеют гладкую шкуру, как львы. Если нет, то узор на шкуре обычно несложен. А вот животные, которые много времени проводят на деревьях, как леопарды, с большей вероятностью имеют узорчатые шкуры. Более того, их узоры, как правило, сложны – это не просто пятна или полосы. Этот метод объясняет также, почему черные леопарды (так называемые пантеры) встречаются достаточно часто, а вот черных гепардов не бывает.

Данные откровенно противоречат некоторым теориям, альтернативным маскировочной. Размеры кошек и размеры их добычи мало влияют на расцветку. Кошки, ведущие общественный образ жизни, с той же вероятностью оказываются узорчатыми или гладко окрашенными, как и кошки-одиночки, так что отметки на шкуре, вероятно, не имеют ценности в качестве социальных сигналов. Исследование не доказывает, что отметки на шкурах появились в процессе эволюции только ради маскировки, но позволяет предположить, что маскировка сыграла здесь ключевую эволюционную роль.

Львы окрашены ровно, потому что гуляют по открытым равнинам. Леопарды пятнисты, потому что такой рисунок труднее заметить в лесу.

Дополнительную информацию см. в главе «Загадки разгаданные».

Многоугольники навсегда

Вот вам тест на геометрическую и аналитическую интуицию. Начните с окружности единичного радиуса. Нарисуйте вокруг нее равносторонний треугольник, который будет как можно плотнее ее охватывать (то есть описанный равносторонний треугольник); затем нарисуйте вокруг него плотно охватывающую (описанную) окружность. Повторите процесс, только вместо треугольника используйте на очередном шаге квадрат, правильный пятиугольник, правильный шестиугольник и т. д.

Если этот процесс будет продолжаться до бесконечности, то станет ли ваш рисунок сколь угодно большим или навсегда останется в пределах какой-то ограниченной области на плоскости?

Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».

Совершенно секретно

Где-то в 1930-е гг. один русский профессор математики вел семинар по гидродинамике. Среди постоянных участников семинара были двое, приходившие всегда в форме; очевидно, это были военные инженеры. Они никогда не рассказывали о проекте, над которым работали, поскольку он, судя по всему, был секретным. Но однажды они попросили профессора помочь им с решением одной математической задачи. Решение некоего уравнения приводило к колебательному процессу, и они хотели узнать, как нужно изменить коэффициенты, чтобы сделать решение стабильным.

Профессор посмотрел на уравнение и сказал: «Сделайте крылья длиннее».

Приключения гребцов

Из мемуаров доктора Ватсапа

Я нередко поражаюсь способности Сомса находить закономерности в самых неподходящих для этого обстоятельствах. Невозможно подобрать лучшего примера, чем история, имевшая место ранней весной 1877 г.

Когда, направляясь к дому Сомса, я проходил через Равносторонний парк, на дорожках плясали пестрые пятна света и теней, которые свежеотчеканенное солнышко бросало сквозь кружевные пухлые облака, а живые изгороди звенели птичьими песнями. В такой великолепный день казалось просто неприличным оставаться дома, но все мои усилия оторвать моего друга от каталогизации полной коллекции использованных спичек встретили с его стороны лишь равнодушие.

– Нередко исход дела зависит от того, сколько времени горела спичка, Ватсап, – недовольно проворчал он, занося в блокнот какой-то очередной размер, снятый с циркуля.

Разочарованный, я раскрыл газету на спортивной странице, и мой глаз сразу же выхватил своевременное напоминание о событии, которое даже Сомс вряд ли хотел бы пропустить. У меня же оно совершенно выскочило из головы, вытесненное жужжанием пчел и цветением деревьев. Меньше чем через час мы уже сидели на берегу реки с корзинкой ленча и несколькими бутылками вполне приличного бургундского и ждали начала ежегодной гонки.

– За кого вы болеете, Сомс?

Он прекратил измерение длины сгоревшей части раннешотландской безопасной спички – Сомс настоял на том, чтобы взять некоторое количество спичек с собой, чтобы было чем заняться.

– За голубых.

– Темных или светлых?

– Да, конечно, – загадочно ответил он.

– Я имею в виду, за Оксфорд или за Кембридж?

– Да, – он покачал головой. – За кого-то из них. Переменных слишком много, и они слишком сложные, чтобы предсказать успех, Ватсап.

– Сомс, я спрашивал, за кого вы болеете, а не просил предсказать победителя.

Он бросил на меня уничтожающий взгляд.

– Ватсап, с какой стати я должен болеть за людей, с которыми даже не знаком?

Когда на Сомса нападает хандра, тому всегда есть причина. Я заметил, что он выкладывает из спичек нечто, напоминающее рыбий скелет, и спросил, в чем дело.

– Я вот смотрю, как распределяются весла на лодках, и мне интересно, почему стало традиционным такое неэффективное их расположение.

Я перевел взгляд на Темзу, где две лодки как раз занимали места на стартовой линии перед ежегодной Университетской гонкой.

– Традиция часто неэффективна, – поучающе заметил я, – поскольку суть ее заключается в том, чтобы делать все точно так, как делалось всегда, а не задаваться вопросом, как сделать лучше всего. Но я не вижу здесь никакой неэффективности. Восемь гребцов, и весла обращены по очереди то на правую сторону, то на левую. Такая лодка называется распашной, и ее устройство представляется мне симметричным и разумным.

Сомс недовольно хмыкнул.

– Симметричной? Тьфу! Вовсе нет. Все весла одного борта расположены впереди по отношению к веслам другого борта. Разумной? Когда гребцы налегают на весла, асимметрия создает крутящую силу, которая заставляет лодку отклоняться в одну сторону.

– Но именно поэтому, Сомс, на лодке есть рулевой. Который направляет лодку при помощи руля.

– Который порождает сопротивление поступательному движению лодки.

– Ах! Но как еще можно расположить весла? Невозможно ведь посадить двух гребцов рядом, бок о бок.

– Существует 68 вариантов, Ватсап; 34, если считать зеркально симметричные варианты одинаковыми. Кстати говоря, наши немецкие и итальянские друзья пользуются другими схемами расположения весел, – он выложил перед собой из спичек две скелетообразные схемы.

Я в недоумении уставился на них.

– Но ведь такие странные варианты расположения весел наверняка страдают от еще бо́льших проблем!

– Возможно. Давайте посмотрим, – он поджал губы и погрузился в размышления. – В этом деле бесчисленное количество практических вопросов, Ватсап, которые требуют более сложного анализа. Не говоря уже о том, что у меня не хватит спичек. Поэтому я ограничусь простейшей моделью, какую смогу придумать, и буду надеяться, что она подскажет мне что-нибудь полезное. Предупреждаю заранее, что результаты будут не слишком определенными.

– Достаточно справедливо, – сказал я.

– Теперь рассмотрим одно отдельно взятое весло и рассчитаем силы, действующие на уключину, в которой оно вращается, в ходе той фазы гребка, когда весло находится в воде. Для простоты я буду считать, что все гребцы обладают одинаковой силой и гребут с идеальной синхронностью, так что прикладывают одинаковую силу F в любой заданный момент. Затем я раскладываю эту силу на компоненты P (параллельный оси лодки) и R (направленный к ней под прямым углом).

– Все эти силы изменяются во времени, – заметил я.

Он кивнул.

– Важно здесь то, что специалисты по механике называют моментом каждой силы, – степень, в которой она поворачивает лодку вокруг какой-то выбранной точки. Находят его, как вы помните из истории с палимпсестом Архимеда, перемножением силы на расстояние от точки ее приложения по перпендикуляру до этой точки.