Математические головоломки профессора Стюарта - Иэн Стюарт

Авторы предположили, что ответ должен быть положительным, даже если тетраэдрам не разрешено пересекаться, но конструкции при этом должны возникать значительно более сложные. В доказательство они нашли серию колец со все уменьшающимися разрывами. Нынешний рекорд, открытый в 2014 г., представляет собой почти замкнутое кольцо из 540 непересекающихся тетраэдров с разрывом 5 × 10–18.

Дополнительную информацию см. в главе «Загадки разгаданные».

Задача о квадратном колышке

Эта математическая загадка оставалась нерешенной больше 100 лет. Правда ли, что любая простая (без самопересечений) замкнутая кривая на плоскости содержит четыре точки, представляющие собой углы квадрата с ненулевой стороной?

Под «кривой» здесь подразумевается непрерывная линия без разрывов, не обязательно гладкая. Она может иметь острые углы и вообще может быть бесконечно извилистой. Мы настаиваем на ненулевой стороне квадрата, чтобы избежать тривиального ответа, когда одна и та же точка представляет все четыре угла.

Первое печатное упоминание о задаче с квадратным колышком появилось в 1911 г. в ходе конференции на семинаре, который проводил Отто Тёплиц; судя по всему, было обещано доказательство. Однако никакого доказательства опубликовано не было. В 1913 г. Арнольд Эмч доказал, что это утверждение верно для гладких выпуклых кривых, но добавил, что услышал о задаче не от Тёплица, а от Обри Кемпнера. Это утверждение было доказано для выпуклых кривых, аналитических кривых (определяемых сходящимися степенными рядами), достаточно гладких кривых, кривых с симметрией, звездчатых дважды дифференцируемых кривых, пересекающих любую окружность в четырех точках…

В общем, вы поняли. Множество технических гипотез, но никакого общего доказательства и никаких контрпримеров. Может быть, да, может быть, нет. Кто знает?

Существуют обобщения. В Задаче о прямоугольном колышке спрашивается, действительно ли для любого действительного числа r³ 1 любая гладкая простая замкнутая кривая на плоскости содержит четыре вершины прямоугольника с отношением сторон r: 1. Доказан только случай квадратного колышка (r = 1). Существуют также несколько расширений на более высокие размерности при очень сильных ограничениях.

Невозможный маршрут

Из мемуаров доктора Ватсапа

С тяжелым сердцем…

Я бросил перо, вновь охваченный горем. Дьявольское отродье! Махинации профессора Могиарти вызвали безвременную кончину одного из величайших детективов, когда-либо хромавших по улицам Лондона под видом пожилого русского торговца рыбой. Великолепнейший ум, с каким мне приходилось сталкиваться, выслежен преступником, который – пока Сомс не избавился от него такой страшной ценой! – имел касательство ко всем злодействам в нашем королевстве. За исключением того идиота, который постоянно ставит свой экипаж прямо под нашим окном, где его лошадь…

Позвольте вашему скромному летописцу утереть скупую мужскую слезу и поведать вам об этих трагических событиях.

Целую неделю Сомс пребывал в дурном настроении. Я заподозрил, что он чем-то расстроен, когда он начал навешивать на окно шестой замок и устанавливать третий пулемет Гатлинга.

– Можно и так сказать, – ответил он, когда я озвучил свои подозрения. – Вы бы тоже расстроились, если бы вам едва удалось увернуться от падающего рояля по дороге в парикмахерскую – фирмы Chickering, между прочим, я сразу понял по чугунной раме. Не успел я собраться с мыслями, как мне уже пришлось отпрыгивать с пути ломовой телеги с пивной бочкой, которую понесла четверка лошадей – и которая взорвалась через мгновение после того, как я предусмотрительно укрылся за удачно подвернувшейся стенкой. Эта стенка тут же обрушилась в глубокую яму, что чуть не выбило меня из того скромного равновесия, которое мне удавалось еще сохранять, но я умудрился удержаться наверху, воспользовавшись крюком-кошкой, который всегда ношу в кармане на случай подобных происшествий. Для удобства он складывается, и веревка на нем легкая, но прочная. После этого ситуация несколько осложнилась.

Если бы я хуже знал своего друга, то подумал бы, что он потрясен.

– А вам не пришло в голову, Сомс, что кто-то, может быть, хочет навредить вам?

Он уважительно фыркнул на мою проницательность (по крайней мере, мне так показалось) и уверенно заявил:

– Это Могиарти. Но на этот раз я правильно его оценил. Прямо сейчас, пока мы с вами беседуем, реализуется мой хитрый план и все полицейские Лондона набрасываются на этого… Веллингтона преступного мира… и его миньонов. Скоро все они окажутся за решеткой, и тогда… веревка!

В дверь постучали, и появился какой-то уличный мальчишка.

– Телеграмма для его милости! – Сомс взял клочок бумаги и вручил мальчишке двухпенсовую монету.

– Нынче это стоит шесть пенсов, – заявил мальчишка.

– Кто это сказал?

– Тот, через дорогу, дяденька. Этот мистер Шер…

– Если ты не исчезнешь сейчас же, добавлю подзатыльник, – сказал Сомс. Мальчишка ушел, недовольно бормоча что-то себе под нос. Сомс развернул сложенную бумагу. – Несомненно, известие об успехе опера… – не договорив, он умолк.

– Что такое? – с тревогой спросил я. Лицо Сомса смертельно побледнело.

– Могиарти ушел!

– Как?

– Под видом полицейского.

– Хитрый дьявол!

– Но я знаю, куда он направился, Ватсап. У вас десять минут, чтобы сбегать домой и собрать вещи. После этого мы отправимся в путь: сначала на пароме на материк, потом на нескольких поездах, в карете, в бричке, в омнибусе и на двух осликах. По одному на каждом.

– Но… Сомс! Мы с Беатрис женаты меньше месяца! Я не могу уехать…

– Вашей молодой жене придется со временем привыкнуть к подобным вещам, Ватсап, если мы собираемся продолжать нашу совместную деятельность

– Это правда, но…

– Поверьте мне, самое время начать. Разлука укрепляет сердечную привязанность. Собака – лучший друг… в общем, достаточно клише. Ее брат позаботится о ней, пока вы будете в отъезде. Шести недель должно хватить.

Я понял, что он не стал бы просить меня поехать с ним без самой что ни на есть убедительной причины. Я ему нужен, и я должен оказаться на высоте, чего бы это ни стоило мне лично.

– Очень хорошо, – сказал я, стараясь не обращать внимания на самые дурные предчувствия. – Беатрис поймет. Куда мы едем?

– К Штикельбахскому водопаду, – еле слышно ответил он.

Я невольно вздрогнул. Это название вселяло ужас в сердце даже самого опытного альпиниста.

– Сомс! Это же самоубийство!

Он пожал плечами.

– Именно там мы найдем Могиарти. Но сначала нужно туда попасть, – и он вытащил карту.

– На карте показан интересующий нас район Швейцарии. Обратите внимание на речную сеть. Истоки рек находятся на севере, а вниз по течению они уходят за границы страны. Штикельбахский водопад располагается на конце небольшой речушки, которая ответвляется от более крупной реки.

– А куда эта река девается после водопада?

– Уходит под землю и дальше течет по какому-то подземному руслу. Никто не знает, где она вновь выходит на поверхность.

– Странная какая-то геология, Сомс.

– В Швейцарии очень сложный рельеф, Ватсап. Так, идем дальше. Имеется шесть мостов, которые я означил A, B, C, D, E, F. Это единственные мосты в пределах швейцарских границ, соединяющие показанные области. Омнибус останавливается в маленьком городке Фрошмёйзекриг. Там мы наймем осликов и направимся к водопаду. Мы должны все время оставаться в Швейцарии: довольно трудно незаметно пересечь границу государства даже один раз, и было бы в высшей степени неразумно с нашей стороны повторить такую попытку. Я уже выработал маршрут, но, может быть, у вас будут идеи получше.

Я внимательно изучил карту.

– Ну это же просто! Мы проедем по мосту A.

– Нет, Ватсап. Это слишком очевидно. Могиарти будет ждать нас там, это не годится. Мы должны оставить мост A напоследок в надежде сбить злодея со следа. Кроме того, нам следует пересекать каждый мост не более одного раза, чтобы по возможности не привлекать нежелательное внимание и не быть узнанными.

– Тогда мы должны начать с моста B, – сказал я. – Единственное продолжение пути оттуда идет через C, затем D. После этого у нас будет выбор между E и F. Тот и другой ведут к водопаду, так что можно выбрать, к примеру, E. Готово!

– Как я сказал, последним должен идти мост A. Не E.

– Ах да. Тогда мы проходим по A… Нет, это тупик, оттуда к водопаду не попадешь. Поэтому оставим A на потом и пройдем по F… Но нет: это тоже тупик.