Математические головоломки профессора Стюарта - Иэн Стюарт

Сомс объяснил:

– Единственное, что вы сказали правильно, – это то, что для меня это была посланная свыше возможность исчезнуть. Но мои резоны были совсем не такими, как вы подумали. Я тогда сильно проигрался на скачках и много задолжал, а денег рассчитаться с букмекером не было, и это грозило мне серьезными увечьями. Собрав, наконец, необходимую сумму, я заплатил долг и вновь вернулся в общество.

Мне трудно было в это поверить.

– Я понимаю ваше положение, Сомс. Такое может произойти даже с лучшими из нас. Но как?..

Как Сомс сумел избежать гибели и исчезнуть? Сделайте свои выводы, прежде чем читать дальше, поскольку повелительное наклонение требует немедленного ответа.

Окончательное решение

Сомс устроился перед камином.

– Вот как все было, Ватсап. Когда я поднялся до конца тропинки, Могиарти поджидал меня, притаившись за камнем. Он сшиб меня с ног и потащил к пропасти, чтобы швырнуть в бездну. К счастью, я пришел в сознание и сумел дотянуться до пистолета. В ходе дальнейшей борьбы было сделано несколько выстрелов, но никто не пострадал. Могиарти так старался меня убить, что сам поскользнулся и улетел в пропасть, навстречу гибели. Мне повезло, я не упал вместе с ним, – он произнес это небрежным, совершенно нейтральным тоном, как будто рассказывал мне о чем-то малозначительном.

– Я собирался уже позвать вас, Ватсап, но оглянулся и увидел единственную цепочку следов, оставленную ботинками Могиарти. Следы вели от тропинки к краю пропасти, в обратную же сторону никаких следов не было вообще. Я сразу заметил, что следы эти немного глубже, чем должны были бы быть у человека такого веса, как Могиарти, – я надеялся, Ватсап, что вы этот факт заметите, и точно знал, что полиция его не заметит. Тогда я прошел задом наперед к безопасной тропинке, оставив свои следы поверх следов злодея. Я очень старался, чтобы следы выглядели так, будто я шел в другую сторону.

– Эта мысль действительно приходила мне в голову, Сомс. Но я отказался от нее, поскольку ничего не знал о ваших долгах и, соответственно, не мог придумать никакого мотива. Но уступ был пуст, а на скалу невозможно забраться! Как же вы умудрились спрятаться?

Он проигнорировал мой вопрос.

– Я понял, что если не подам сигнал, то вы в конце концов решите, что ваше обещание потеряло силу, и подниметесь по тропинке. Хватило мгновения, чтобы взобраться вверх, на уступ, где нависающая часть скалы скрыла меня из виду. Об остальном вы можете догадаться сами.

– Но… ведь на скалу взобраться невозможно! – воскликнул я.

Он печально покачал головой.

– Мой дорогой Ватсап, я отчетливо помню, как рассказывал вам о складном крюке-кошке, который всегда ношу с собой именно на такой случай. Согласитесь, нельзя забывать такую важную информацию. Часто для того, чтобы раскрыть величайшую загадку, достаточно одного крохотного факта.

Я повесил голову, поскольку рассказ об этом полезном приспособлении совершенно вылетел у меня из головы, и я ни разу не вспомнил о нем до этого самого момента. Я попытался усмехнуться, получилось довольно криво.

– Да уж, Сомс! Это ужа… сно, э-э, изобретательно!

Он тонко улыбнулся и поменял тему.

– Чаю, Ватсап?

– Было бы замечательно, Сомс.

– Тогда я попрошу миссис Сопсудс…

Дверь распахнулась, и в комнату просунулась голова нашей квартирной хозяйки.

– Могу я чем-нибудь помочь, мистер Сомс?

– …Приготовить нам чай, – вздохнул великий детектив.

Загадки разгаданные

или, если не разгаданные, то рассмотренные в свете разнообразных выдержек из обширного архива доктора Джона Ватсапа, содержащего заметки по делам, газетные вырезки и всевозможные памятные вещицы, связанные с Сомсом; с отдельными вставками из других источников.

Скандал с украденным совереном

С лупой в руке Сомс тщательно осмотрел каждый сантиметр на кухнях и в бухгалтерских книгах «Глитца». Он велел поднять все ковры, чтобы посмотреть, нет ли чего под ними, – в результате набралась замечательная коллекция, не имеющая, однако, отношения к нашей истории, – и обыскал тесную комнатушку Мануэля в мансарде. Он взял пробу с содержимого нескольких бутылок в баре. На самом деле он сделал выводы даже раньше, чем его светлость успел закончить описание фактической стороны дела, но не годится, чтобы процесс расследования выглядел слишком простым в глазах непосвященных, а от возможности бесплатно получить некоторое количество первоклассного виски не следует отказываться без веских причин.

Владелец отеля «Глитц», ожидавший Сомса в великолепно обставленной личной гостиной, вышагивал из угла в угол и сверкал глазами.

– Нашли вы мой украденный соверен, Сомс?

– Нет, милорд.

– Тьфу! Я так и знал! Лучше мне было обратиться к мистеру Шер…

– Я ничего не нашел, потому что не было никакого украденного соверена. Он вообще никуда не пропадал.

– Но 27 фунтов и 2 фунта в сумме не дают 30 фунтов!

– Согласен. Но они и не должны их давать. Суммы сходятся, если их правильно считать.

И Сомс написал:

– Сумма в 30 фунтов, по существу, больше не должна рассматриваться, – сказал Сомс. – В конце концов, это был неправильный счет. В результате мужчины заплатили 27 фунтов, милорд, и нам следует вычесть из этой суммы 2 фунта, чтобы получить те 25, которые они были должны отелю. Вычесть, а не прибавить.

– Но…

– Ваш первоначальный расчет на первый взгляд казался вполне разумным, поскольку числа 29 и 30 так близки между собой. Но представьте, к примеру, что счет на самом деле составлял бы 5 фунтов, и официант получил бы 25 фунтов, которые следовало вернуть клиентам; он оставил бы себе 1 соверен, а гостям раздал по 8 монет. В этом случае приятели заплатили бы по 2 фунта каждый, то есть всего 6 фунтов. Мануэль, как мы уже сказали, оставил себе всего 1 фунт. В сумме эти два числа дают 7 фунтов. После этого вы бы спросили, куда делись остальные 23 фунта. Но ведь сумма настоящего счета была 5 фунтов, и отель получил ее в точности. Как же могут 23 фунта пропасть из кассы отеля? Их получили трое клиентов, уступившие при этом небольшую часть суммы Мануэлю.

Хампшоу-Смэттеринг порозовел:

– Хм, – произнес он. – Вот ведь…

Он взял себя в руки.

– Ваш гонорар, сэр?

– Двадцать девять соверенов, – ответил Сомс не моргнув глазом.

Числовая диковинка

1001

100001

10000001

1000000001

100000000001

100000000000000001

Я спрашивал также, почему так получается. Это более сложный вопрос, потому что здесь нужно думать, а не просто вычислять. Вместо формального доказательства рассмотрим типичный случай: 11 × 909091. Для начала перепишем этот пример в обратном порядке: 909091 × 11. Это равно 909091 × 10 + 909091 × 1; то есть 9090910 + 909091. Сложим числа следующим образом:

Что дальше? Начинаем справа. 0 + 1 = 1, поэтому получаем:

Затем 1 + 9 = 0, один в уме:

Теперь мы должны добавить переносимую единицу к 9 и 0, что опять же даст 0 и 1 в уме. Это ведет нас к каскаду переносов, каждый из которых превращает 9 в 0 и дает 1 в уме, до тех пор пока мы не доходим до:

Наконец, у нас остается только переносимая цифра, и получается ответ:

Железнодорожный маршрут

Дополнительную информацию можно найти в книге: R. Penrose, Railway mazes, in A Life time of Puzzles (eds. E. D. Demaine, M. L. Demaine, T. Rogers), A. K. Peters, Wellesley MA 2008, 133–148.

Фотографии Лаппитской скамьи тысячелетия можно найти на сайте: http://puzzlemuseum.com/luppitt/lmb02.htm

Сомс встречается с Ватсапом

– Десятичная запятая? – пытался найти решение Ватсап. – Нет, вы сказали, что должно получиться целое число.

Он немного помолчал, и вдруг его осенило.

– Вы сказали, что символ необходимо поставить между этими двумя цифрами, мистер Сомс?

– Нет.

– Настаивали ли вы, что эти цифры должны непременно разделяться пробелом?

– Может быть, мой рисунок и выглядит неоднозначно, но я ничего не говорил о пробеле.

– Я так и думал. Удовлетворит ли это вашим условиям? – и Ватсап написал:

√49.

– Что равняется 7.

Геомагические квадраты

Какую форму имеет апельсиновая кожура?

См. Laurent Bartoldi and André Henriques. Orange peels and Fresnel integrals, Mathematical Intelligencer 34 No. 4 (2012) 1–3.