По следам сенсаций - Лев Бобров

Теорема Гёделя легла в основу целого направления в математике и логике. Сама математическая теория, непротиворечивость которой пытаются обосновать, стала предметом изучения особой «надматематической» науки, названной метаматематикой, или теорией доказательств. Какова природа истины? На каких посылках зиждется сам фундамент математики? Какой смысл имеют математические предложения: аксиомы, леммы, теоремы? Какую логическую структуру должны иметь доказательства? Так попытки разрешить парадоксы столкнулись с более широкой проблемой обоснования математики и логики.

Загляните в книгу С. К. Клини «Введение в метаматематику». Поначалу она наверняка отпугнёт вас умопомрачительной абракадаброй символов, а потом… Потом, глядишь, и притянет — скорей всего удивительным лаконизмом, элегантной строгостью, а если разобраться, то и простотой своеобычного языка знаков. Языка, которым описываются самые замысловатые умозаключения. В том числе и комичные логические нелепицы наподобие той, что возникла в эпизоде с «сеньором губернатором» Санчо Пансой. Странное, парадоксальное сочетание, не правда ли? Полнокровная проза Сервантеса и анемичные иероглифы математической «стенографии» — ведь это на первый взгляд две вещи столь же несовместные, как гений и злодейство! Ну как втиснуть живую человеческую речь, да не просто речь, а рассуждения, в прокрустово ложе математических формул?

«Когда я, будучи мальчиком, знакомился с предложениями обычной логики и мне ещё была незнакома математика, у меня возникла, не знаю, по какому наитию, мысль о том, что можно изобрести такой анализ понятий, с помощью которого истины можно будет комбинировать и высчитывать как числа».

Так на закате жизни делился своими неосуществлёнными мечтами блестящий дипломат и гениальный математик Готфрид Вильгельм Лейбниц. Он, как никто другой, остро чувствовал изъяны классической логики. Сведённая в систему ещё Аристотелем, она с тех пор на протяжении двадцати веков оставалась неизменной. Но значило ли это, что её нельзя усовершенствовать?

Великий немецкий реформатор считал, что наши знания можно разложить на простые элементы. Обозначенные особыми символами, они составят алфавит человеческих мыслей. Спрашивается, зачем?

— Споры не придут к концу, ежели не отказаться от словесных рассуждений в пользу простого исчисления, — объяснял Лейбниц, — ежели не заменить слова неясного и неопределённого смысла однозначными символами. После введения оных двум философам, буде возникнет между ними препирательство, уже не надобно стараться перекричать друг друга. Спорщикам не потребуется ничего иного, кроме как взять в руки перья, сесть, подобно бухгалтерам, за свои конторки и сказать: давайте-ка вычислять!

Лишь через полтораста лет началось осуществление идей Лейбница. В 1847 году ирландский учёный Джордж Буль печатает «Математический анализ логики», где впервые излагает исчисление высказываний — так называемую алгебру логики. «Тот, кто знаком с современной алгеброй, — замечает автор, — знает, что правильность аналитической процедуры не зависит от истолкования символов. Поэтому один и тот же приём может дать при одном истолковании решение проблемы теории чисел, при другом — решение проблемы геометрии, при третьем — решение проблемы динамики или оптики и так далее». В булевой алгебре буквами обозначаются высказывания, причём самые громоздкие и запутанные логические построения сводятся к простым арифметическим действиям.

Вторжение формул и уравнений имело для логики столь же решающее значение, как и появление буквенных обозначений для математики. Архимед, Евклид, Диофант и другие титаны античной математики не пользовались языком формул. Нет, не потому, что не хотели. Они его не знали. И излагали свои мысли в словах и рисунках. Геометр перед геометром изображал палочкой на песке квадрат. Потом проводил внутри него крест-накрест две черты, отсекавшие от квадрата по равной продолговатой краюхе справа и снизу. Пересекаясь, линии образовали в правом нижнем углу маленький квадратик. И любой, кто смотрел на рисунок, — грек ли, римлянин или араб, — даже не зная языка, понимал без слов: квадрат суммы двух величин равен сумме квадратов этих величин, сложенной с удвоенным произведением первой величины на вторую. Труднее было объяснить, чему равен куб суммы. Приходилось чертить куб, вычленять из него меньший куб и затем суммировать объёмные дольки. Зато четвёртую степень суммы наглядно объяснить не удавалось, не говоря уже о пятой, шестой и так далее. Геометрия пасовала. Между тем с помощью буквенных обозначений по формуле бинома Ньютона можно без труда подсчитать сумму двух членов, возведённую в любую степень:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2;

(a + b)3 = a3 + Зa2b + Зab2 + b3;

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4.

И так далее. Комментарии излишни: преимущества говорят сами за себя.

А теперь вчитаемся в необычную надгробную надпись:

Путник! Здесь прах погребён Диофанта. И числа поведатьМогут, о чудо, сколь долог был век его жизни. ШестуюЧасть его составляло прекрасное детство,Двунадесятая часть протекла ещё жизни — покрылсяПухом тогда подбородок. Седьмую в бездетномБраке провёл Диофант. Пятилетие минуло; онБыл осчастливлен рожденьем прекрасного первенца сына,Коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлойДал на земле по сравненью с отцом. И в печали глубокойСтарец земного удела конец восприял, пережившиГода четыре с тех пор, как сына лишился. Скажи-ка,Скольких лет жизни достигнув, смерть восприял Диофант?

Ну-ка решите задачу в уме, рассуждая — и только, не прибегая к услугам пера и бумаги. Что, трудновато? Ладно, давайте лучше втиснем певучий гекзаметр в строгую метрику формул.

x/6 + x/12 + x/7 + 5 x/2 + 4 = х.

Это уравнение с одним неизвестным решается в два счёта. Ответ: «прекрасное детство» будущего великого математика закончилось в четырнадцать лет. В двадцать один год Диофант сыграл свадьбу, в тридцать восемь у него родился сын, умерший сорока двух лет, когда самому Диофанту стукнуло восемьдесят. Наконец, на восемьдесят четвёртом году великий грек ушёл из жизни. Его не стало (хотя это уже не вытекает из нашего уравнения) в III веке новой эры. Евклид и Аристотель жили и творили в III веке до новой эры. И несмотря на то, что биографии великих мыслителей разделяет более полутысячелетия, во времена Диофанта ещё не родилась алгебра — та самая, которая позволяет нам столь лихо расправляться с трудными арифметическими задачами.

Как ускорился прогресс, насколько богаче стали возможности математики, когда встала на ноги и окончательно утвердилась алгебра, сразу же обретшая права гражданства! А случилось это в эпоху Возрождения — через тысячи лет после появления геометрии и арифметики.

Что касается логики, тоже весьма почтенной старушки («Органон») Аристотеля создан примерно в одно время с «Началами» Евклида), то здесь алгебра не сразу получила признание. Символика и операции математической логики пришлись то ли не по вкусу, то ли не по зубам логикам середины XIX века. А кто осилил булеву алгебру, десятилетиями считали её занятным, однако никчёмным изобретением досужего ума. Положение изменилось лишь к концу XIX века, когда перед наукой во весь рост поднялась серьёзная задача — обосновать самые кардинальные идеи и понятия математики. Аристотелева логика, при всём её совершенстве, вынуждена была сложить оружие перед неодолимыми трудностями. Тут-то и пришлось идти на поклон к логике символической. И понятно почему.

В своё время, разбирая кипу откликов на статью «По следам логических катастроф», напечатанную в журнале «Техника — молодёжи», автор обнаружил массу опровержений всех знаменитых парадоксов. В том числе парадокса Сервантеса. Искренне сочувствуя бедняге Санчо, изо всех сил стараясь ему подсобить, читатели пускались на всевозможные казуистические ухищрения. Одни выискивали смысловые лазейки в формулировке закона. Другие в заявлении чудаковатого пришельца. Третьи — в процедуре исполнения приговора. Что ж, кое-кому это удавалось. Удавалось постольку, поскольку в статье фигурировала популярная версия парадокса со всеми атрибутами реальной житейской ситуации. Зато сформулированное в терминах математической логики с их однозначной трактовкой, не допускающей никаких двусмысленностей, противоречие предстало бы перед нами во всей его роковой, неумолимой, неизбежной, неуничтожимой сущности.

Разумеется, симпатии учёных притягивала и притягивает не только эта строгость и однозначность определений, скрывающаяся за символами математической логики. Сведя построение силлогизмов к буквенным преобразованиям, булева алгебра освободила человека от необходимости держать в голове содержание посылок и промежуточных умозаключений. Вся забота свелась к наблюдению за правильностью алгебраических выкладок, напоминающих решение системы уравнений, А такую, премудрость способен постигнуть даже школьник.