Игра в имитацию - Эндрю Ходжес

Мы проделали весь путь за два дня, я погостил у них два или три дня, а затем снова отправился в путь, на этот раз в Вирджинию к миссис Вельбурн. Мне никогда раньше не доводилось бывать так далеко на юге — почти 34°. Все люди здесь кажутся все еще очень бедными, несмотря на то что с момента завершения Гражданской войны прошло так времени.

Миссис Вельбурн была известна как «загадочная женщина из Вирджинии», которая по традиции приглашала английских студентов из Колледжа Градуейт к себе на Рождество. «Ни с одним из них мне не удалось завязать интересной беседы», — признавался Алан, описывая Вельбурнов в письме. Вместе с Уиллом Джонсом Алан снова устроил поиск сокровищ, хотя в этом году она и не вызвала большого ажиотажа. Примечательно, что одну из подсказок Алан спрятал в своем сборнике пьес Бернарда Шоу. А уже в апреле Алан и Уилл совершили поездку с остановками в Сент-Джонс-Колледже, Аннаполисе и Вашингтоне.

Но главным делом этого года было завершение диссертационной работы на соискание ученой степени доктора наук, рассматривающей возможность преодоления силы теоремы Гёделя. Основная идея состояла в том, чтобы добавить дополнительные аксиомы в систему, которые помогли бы найти решение для «верных, но недоказуемых» утверждений. Но в этом отношении арифметика вела себя как гидра: с решением одного вопроса, на его месте тут же вырастали новые. Было не так сложно добавить аксиомы, чтобы некоторые утверждения Гёделя обрели свои доказательства. Но в таком случае теорема Гёделя станет применимой к увеличенному набору аксиом, тем самым производя очередное «верное, но недоказуемое» утверждение. Добавление конечного количества аксиом не могло решить проблему, поэтому возникла необходимость рассмотреть возможность добавления бесконечного множества аксиом.

Это было лишь первой ступенью исследования, поскольку математикам было хорошо известно, что существует великое множество возможных способов расположить «бесконечное множество» в определенном порядке. Кантор обнаружил эту особенность, когда исследовал понятие упорядочивания целых чисел. К примеру, предположим, что целые числа расположены следующим образом: сначала идут все четные числа в порядке возрастания, а затем уже все нечетные числа. Такой список целых чисел будет буквально в два раза длиннее обычного. Его можно сделать и в три раза длиннее или даже длиннее в бесконечное количество раз, указав сначала все четные числа, затем из оставшихся — все числа, делимые на три, затем из оставшихся — все числа, делимые на пять, затем из оставшихся — все числа, делимые на семь, и так далее. Действительно, такой список мог продолжаться до бесконечности. Подобным образом расширение аксиоматики может быть представлено одним бесконечным списком аксиом, одним или двумя, или же бесконечным числом списков — в этом отношении тоже не существовало пределов. Но вопрос оставался прежним: сможет ли хоть один из таких списков преодолеть результат Гёделя.

Кантор применил по отношению к своим разным упорядочениям целых чисел понятие «порядковых чисел», или «ординалов». Подобным образом Алан назвал свои расширения набора аксиом арифметики «ординальными логиками». В некоторым смысле было ясно, что ни одна «ординальная логика» не может быть «полной» в рамках программы Гильберта. Если и существует бесконечное множество аксиом, все они не могут быть записаны. Здесь появлялась необходимость установить правило, ограничивающее их генерирование. Но в таком случае вся система снова будет основываться на конечном наборе правил, так что теорема Гёделя все еще будет применимой для доказательства существования недоказуемых утверждений.

Вместе с тем возникал еще один тонкий вопрос. В его теории «ординальных логик» правило генерирования аксиом предполагало замену «ординальной формулы» определенным выражением. Такой процесс сам по себе являлся механистическим. Но механистический процесс не мог принять решение, является ли данная формула ординальной. Так, он пришел к вопросу: может ли вся неполнота арифметики быть сосредоточена в одном месте, а именно — в неразрешимой проблеме определения, какая формула является ординальной. В таком случае в некотором смысле арифметика могла быть полной, а все утверждения могли быть доказаны при помощи аксиом, хотя и без механистического метода определения, каких именно аксиом.

Процесс определения, является ли формула ординальной, он связал с понятием «интуиции». В рамках одной «полной ординальной логики», любая теорема могла быть доказана с помощью механистического рассуждения и нескольких этапов «интуиции». Таким образом он надеялся взять под контроль «неполноту» Гёделя. Но результаты работы казались ему отрицательными. «Полные логики» действительно существовали, но обладали очевидным недостатком: никто не мог подсчитать количество этапов процесса «интуиции», требуемых для доказательства конкретной теоремы. Еще не существовало никакого способа, говоря его словами, измерить «глубину» теоремы.

Весьма интересным «штрихом» в работе оказалась идея «предсказывающей» машины Тьюринга, которая обладала способностью решить одну конкретную неразрешимую проблему (например, определения ординальных формул). Такая мысль открыла новую идею относительной вычислимости, или относительной неразрешимости, которые в свою очередь открыли целую новую область исследований в рамках математической логики. Возможно, в тот момент Алан думал об «оракуле» из пьесы «Назад к Мафусаилу», в чьи уста Бернард Шоу вложил свое решение неразрешимых задач политиков: «Убирайся восвояси, дурак!»

Также неясным из его примечаний в работе оставалось то, до какой степени, по его мнению, такая «интуиция», способность распознавать верные, но недоказуемые утверждения, соотносилась с человеческим разумом. По этому поводу он писал, что математическое рассуждение может рассматриваться в довольно схематичном виде как использование комбинации двух способностей, которые мы можем назвать интуицией и изобретательностью. (Здесь мы не учитываем наиболее значимую способность различать предметы интереса; на самом деле, мы видим задачу математика только в определении верности или ложности утверждений.) Процесс интуиции включает в себя создание спонтанных суждений, которые не являются результатом длительных рассуждений. (…)

А также заявил, что его идеи в рамках системы «ординальных логик» представляли собой один способ формализовать это различие. Но еще не было установлено, что «интуиция» имела какое-то отношение к неполноте конечно определенных формальных систем. В конце концов, никто не подозревал об этой неполноте до 1931 года, в то время как понятие интуиции было известно с давних времен. Подобная двусмысленность уже возникала в работе «О вычислимых числах», в которой он попытался механизировать человеческий разум и в то же время указывал на невозможность механизации всех его аспектов. На данном этапе его исследований, его взгляды по этому вопросу оставались неясными.