Апология математики (сборник статей) - Владимир Андреевич Успенский

Такую последовательность Броуэр называет «свободной последовательностью», характер которой может быть ограничен только указанием конечного числа её первых элементов. Но раз последовательность мыслима только как становящаяся, то исчезает сам континуум в качестве совокупности множества элементов. Континуум остаётся, как говорит Броуэр, только той средой, в которой развёртывается становящаяся последовательность. Задание конечного числа элементов последовательности лишь выделяет из континуума известную часть, в которой после этого она обязана оставаться. Геометрически становящаяся последовательность соответствует точке, положение которой на прямой определяется со всё бóльшим приближением, но никогда не даётся вполне точно.

Правда, при помощи того или иного закона развёртывания последовательности можно в этом текучем и подлинно непрерывном континууме выделить одну или несколько вполне определённых точек, но, по Броуэру, это уже вторичное явление. К тому же в силу неперечислимости [18] континуума мы никогда не исчерпаем его полностью.

Таким образом, Броуэр считает, что никакой совокупности предметов, удовлетворяющей обычным аксиомам, определяющим действительное число, нет. Естественно, что вместе с этим отпадает и возможность излагать геометрию в духе Гильбертовых «Оснований» как теорию «системы вещей», удовлетворяющих геометрическим аксиомам. Понятие множества как собрания предметов вообще почти исчезает в концепции Броуэра. Вместо этого даётся определение множества как закона построения его элементов. С этого определения начинается положительная работа интуиционистов над построением математики на новых основаниях. При этом, особенно Вейлем, подчёркивается, что вместо теоретического описания объективно данного на первый план выдвигается известная деятельность – конструктивное творчество.

Особенно много споров и недоразумений вызывает то, что Броуэр с этой перестройкой математики связывает и реформу логики, именно отрицание неограниченной применимости принципа исключённого третьего. Вопрос этот заслуживал бы более подробного освещения, но это заняло бы слишком много места. Здесь мы заметим только, что необходимость отказаться от принципа исключённого третьего тесно связывается интуиционистами с утратой математикой чисто теоретического характера. Принцип исключённого третьего по Броуэру неприменим лишь к суждениям особого рода, в которых теоретическое высказывание неразрывно связано с построением объекта высказывания. Поэтому можно предполагать, что идеи Броуэра вовсе не находятся на самом деле в противоречии с традиционной логикой, которая собственно никогда не имела дела с подобными суждениями.

V

Гильберт, давший в «Основаниях геометрии» известнейшее изложение теоретико-множественного взгляда на математику, выступает теперь в ряде статей с совершенно противоположными взглядами. Правда, их зародыши можно проследить и в некоторых местах «Оснований», и первое время вся глубина различия двух точек зрения не была замечена. Новый взгляд Гильберта заключается в том, что для оправдания построения геометрии или иной математической дисциплины нет никакой надобности доказывать существование соответствующей системы предметов конструктивным путем, достаточно доказать непротиворечивость аксиом.

Изгоняя из математики то, что считалось предметом её исследования, Гильберт приходит к выводу, что математическая теория является просто системой формул. Эти формулы не выражают никаких суждений, так как самые предметы, о которых они могли бы что-либо высказывать, упраздняются. Соответственно с этим математическое доказательство не есть больше доказательство в обычном смысле слова, это просто ряд операций над формулами, производимых по определённым вычислительным правилам, приводящих в конце к «доказываемой» формуле. «Непротиворечивость» математической теории, по Гильберту, тоже нельзя понимать в обычном смысле слова, это просто свойство принятых аксиом и вычислительных правил никогда не приводить к формулам специального вида, заранее объявленным ложными: например, 0=1.

Непротиворечивости в указанном смысле, как это ни странно, достаточно, чтобы оправдать законность практических применений математики. Именно, оказывается, что если в результате не имеющих никакого смысла формальных выкладок мы приходим к формуле, допускающей реальное истолкование, например к числовому равенству, то это реальное истолкование тем самым будет действительно доказано. Непротиворечивость же Гильберт обещает доказать для весьма широкого круга аксиом, включая в их число и разбиравшуюся выше аксиому Цермело [19].

Наиболее уязвимым пунктом Гильбертовой теории является то, что для доказательства непротиворечивости математических аксиом ему приходится построить новую дисциплину «метаматематику» [20], и есть опасения, что в «метаматематике» возродятся все трудности, изгнанные из математики.

Именно этот ряд идей Гильберта является естественным завершением логистики Пеано и Ресселя, которые, на словах оставаясь приверженцами теоретико-множественной точки зрения, в действительности работали над полной формализацией математики. Но для успеха этой формализации до последнего времени не хватало именно методов доказательства непротиворечивости, которые только и позволяют отказаться от всякого реального толкования формул.

Работы Гильберта по формализации математики и доказательству непротиворечивости ещё не закончены, что, естественно, затрудняет оценку действительной силы его методов [21].

VI

С теоретико-познавательской стороны точка зрения Гильберта сводится к строгому ограничению конечным; все математические предложения, в которые так или иначе входит бесконечность, объявляются лишёнными всякого смысла. Правда, с блестящим искусством Гильберт восстанавливает забракованные математические теории в виде формальной непротиворечивой игры символами. Всё же этот выход, не дающий никакого объяснения, чем же держалась математика до настоящего времени, почему, высказывая о бесконечности суждения, не имеющие никакого смысла, математики понимали друг друга, продиктован только неумением найти выход более удовлетворительный.

Это заставляет отнестись с особым вниманием к Броуэру, который, не пугаясь проблемы, обещает выяснить природу бесконечного.

Но позволительно сомневаться, что интуиция и конструкция новых образов, исходя из натурального ряда, окажутся при этом надёжными руководителями. В частности, Броуэр изучает континуум в форме бесконечных последовательностей натуральных чисел, так как только в такой форме его естественно получать чисто логическими средствами. Исторически же идея континуума создалась посредством идеализации действительно наблюдаемых непрерывных сред; пока трудно представить себе, как отсюда извлечь опору для развития математической теории, но только это было бы прямым путём к пониманию природы математического континуума.

Комментарии

1. Написание собственных имён во всех случаях оставлено таким, как оно было в исходном тексте. В 20-е гг. XX в. при передаче кириллицей иностранных имён стремились в большей степени отразить их написание, нежели произношение. Впоследствии тенденция сменилась на противоположную, и сейчас фамилия французского математика Hadamard передаётся как Адамар.

2. Имеются в виду письма, которыми обменялись между собой Адамар, Борель, Бэр и Лебег: Cinq lettres sur la théorie des ensembles // Bulletin de la societé mathématique de France. 1905. T. 22. P. 261–273. Возникшая по инициативе Бореля, эта переписка публиковалась затем во втором и последующих изданиях его «Лекций по теории функций» (Borel Е. Leçons sur la théorie des functions. 2ème éd., augmentée. Paris, 1914), а также в собрании его трудов (Œvres de Emile Borel. Paris, 1972. P. 1253–1265).

3. Сейчас французская фамилия Baire передаётся как Бэр.

4. Например, в параграфе 13 монографии S. С. Kleene «Introduction to Metamathematics» (N. Y., Toronto, 1952; русский перевод: Клини С. К. Введение в метаматематику. – М., 1956) показывается, что при доказательстве теоремы о существовании наименьшей верхней