Апология математики (сборник статей) - Владимир Андреевич Успенский

число – а что меняет для физика добавление одной молекулы в сосуд с газом? Если мы согласимся принять эти соображения хотя бы за отдалённый намёк на возможность математической теории нового типа, то в ней прежде всего пришлось бы отказаться от идеи, что любой член натурального ряда получается последовательным насчитыванием единиц – идеи, которая буквально, конечно, не формулируется в существующей теории, но косвенно провоцируется принципом математической индукции. Вероятно, для «очень больших» чисел присчитывание единицы вообще не должно их менять (возражение, что, присчитывая единицы, можно «присчитать» и любое число, не котируется в силу только что сказанного выше).

Разумеется, числа этой гипотетической теории были бы объектами другой природы, чем числа натурального ряда. Можно предполагать, что почти совпадение имело бы место лишь для начальных отрезков существующего и гипотетического натуральных рядов, а по мере удаления по ним различие их структуры должно возрастать; в гипотетическом натуральном ряде началось бы нечто вроде «принципиального сбивания со счёта», и он (ряд), всё более «размываясь», приобретал бы в каком-то смысле черты непрерывной структуры числовой прямой. Можно догадываться даже, что математическая индукция при этом приняла бы своеобразные черты – промежуточные между индукцией обычной и, например, интегрированием дифференциального уравнения у' = f(x, у) (здесь как бы вместо перехода п → п + 1 мы применяем переход х → х + dх).

Быть может, имеет смысл сделать такое замечание. В современных космологических теориях само собой разумеется, что сколь угодно большие космические протяжённости должны описываться на основе существующих математических представлений о натуральном ряде и числовой прямой. Но так ли это очевидно? Вспомним, что ещё в 1900-х гг. физики обсуждали вопрос о геометрической форме электрона. Считалось вполне осмысленным предположение, что электрон по своей геометрии не отличается от бильярдного шарика очень малого размера. Другими словами, считалось, что наши геометрические представления полностью применимы к обьектам микромира; только последующее появление и развитие квантовой механики показало абсурдность этой «очевидной» точки зрения.

Не следует ли ожидать, что в области очень больших протяжённостей нас ещё ждут сюрпризы, подобные встретившимся в области протяжённостей очень малых (но, конечно, сюрпризы совсем другого стиля). И не исключено, что описание ситуации потребует существенно иных конструкций в самом математическом фундаменте, т. е. наших представлениях об очень больших числах.

Впрочем, возможно, что нам даже не придётся углубляться в космос для проверки того, насколько очень большие материальные совокупности на самом деле подчиняются счёту на основе теории натурального числа. Возможно, что какое-нибудь из следующих поколений ЭВМ достигнет столь гигантских возможностей в смысле количества производимых операций, что соответствующие эксперименты станут реальными.

Ещё одно замечание в сторону. Знаменитые отрицательные результаты Гёделя 1930-х гг. в своём фундаменте исходят из убеждения: сколько бы ни продолжать построение метаматематических формул для данной (полностью формализованной) математической теории, принципы пересчёта и упорядочения формул остаются обычными, т. е. подчинёнными схеме натурального ряда. Разумеется, это убеждение даже не оговаривалось, настолько оно считалось очевидным.

Между тем построение метаматематических формул – это реальный физический процесс, производимый человеком или, как стало возможно в последнее время, машиной.

Если мы откажемся от догмата, что натуральный ряд идеально приспособлен для описания любых сколь угодно больших материальных совокупностей, то становятся сомнительными и результаты Гёделя; точнее, их придётся рассматривать, возможно, как утверждения, относящиеся не к реальному развитию данной формализованной математической теории, а к условному, идеализированному её развитию, когда при пересчёте формул, сколь много бы их ни было, и при описании их структуры, сколь громоздка ни была бы она, мы считаем законным применять схему натурального ряда. На это дополнительное условие, в сущности, и опирается тонкая игра Гёделя с двойным, математическим и метаматематическим, толкованием некоторых сконструированных им соотношений. Не успокаивает и финитность конструкций Гёделя: при полной расшифровке сокращений (что в данном контексте является принципиальным) его конструкции становятся чрезвычайно сложными, явно не выписываются, и сомнения, высказанные раньше насчёт поведения «очень больших» совокупностей, напрашиваются и здесь.

Наша гипотетическая реформа числового ряда должна, конечно, сопровождаться соответствующей реформой числовой прямой; как уже упоминалось, реформированный натуральный ряд в своих удалённых областях как бы станет походить на (реформированную) числовую прямую. И эта «реформированная» числовая прямая должна отличаться от обычной тоже некоторой размытостью своих элементов: сколь угодно точные рациональные приближения вещественных чисел возможны именно потому, что мы пользуемся обычным натуральным рядом, элементы которого определены абсолютно точно, сколь далеко мы ни зашли бы. Но если при удалении по натуральному ряду возникает возрастающая размытость его элементов, она передаётся и дробям с большими знаменателями, и мы доходим до оптимальной возможной точности в оценке (реформированных) вещественных чисел, может быть, раньше, чем знаменатель успеет «устремиться к бесконечности».

Если здесь снова вспомнить о физике, то нам придётся как бы повторить сказанное ранее, но под другим углом зрения. Вещественное число имеет в физике смысл результата измерения. Разумеется, любое измерение производится лишь с какой-то степенью точности, и та «идеальная точность», которую предлагает математика в понятии вещественного числа, физику не требуется. Однако до сих пор не существует иного способа создания физических теорий с математическим аппаратом. Что это – неизбежное, роковое обстоятельство или «просто» результат несуществования математической теории, о которой здесь идёт речь и в которой идея «приближённости» будет заложена органически; в которой «точное» будет в то же время означать в каком-то смысле «оптимально приближённое»?

Если бы такая теория стала реальностью, то можно было бы думать о новой трактовке дуализма «волна – частица» в квантовой механике и даже мечтать об автоматическом исчезновении расходимостей релятивистской квантовой механики, после того как точки пространства-времени утратят свою резкую определённость и приобретут чуть-чуть размытый вид.

Не следует ожидать, что наша гипотетическая теория, если ей когда-нибудь суждено появиться на свет, будет единственной; наоборот, она должна будет зависеть от каких-то «параметров» (по своей роли отдалённо напоминающих радиус пространства Лобачевского, когда мы отказываемся от евклидовой геометрии в пользу геометрии неевклидовой). Можно ожидать, что в предельном случае гипотетическая теория должна будет совпадать с существующей.

Построение подобной теории (если вообще верить в его возможность) будет очень трудным, но не совсем в том смысле, как бывают трудны математические проблемы типа «доказать или опровергнуть данное утверждение». Видимо, сама её логическая структура должна сильно отклоняться от общепринятых схем. Для примера: в обычной математической теории считается, что любой объект, участвуя в конструкции другого объекта, сам от этого не меняется и тем более не исчезает. Так, сопоставляя числам а, b их сумму а + b, мы в то же время сохраняем в своём распоряжении и прежние числа. Заметим, что этот принцип, общепринятый в математике, несколько парадоксален