Апология математики (сборник статей) - Владимир Андреевич Успенский

29

Не путать с сотрудником Математического института Академии наук Николаем Николаевичем Андреевым, замечательным просветителем, создателем «Математических этюдов» (см. http://www.etudes.ru).

30

Конечно, 75 тысяч марок меньше тех 600 тысяч, которые Уайлс получил бы, если бы премия хранилась в золоте, а тем более меньше 1,7 млн долларов (суммы, вычисленной исходя из того соображения, что в течение ХХ в. покупательная способность золота упала примерно впятеро). Забавно, что ошибка, содержавшаяся в доказательстве 1993 г. и исправленная в публикации 1995 г., принесла Уайлсу дополнительные 5 тысяч марок. Если бы правильное доказательство было опубликовано в 1993 г., то через два года после публикации, в 1995 г., Уайлс получил бы 70 тысяч марок, а с 1995 по 1997 г. успели нарасти проценты.

31

Никома́х из Гера́сы, Никома́х Гера́сский (1-я половина II в. н. э.) – древнегреческий философ. Гераса, в которой жил Никомах, – это современный Дже́раш, или Джа́раш, на севере Иордании.

32

Псевдослучайное число – это число, которое получено при помощи компьютерной программы и потому не может быть случайным, но очень похоже на случайное. Оно обладает рядом важных свойств числа, полученного случайно (например, при помощи подбрасывания монеты).

33

GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) – широкомасштабный проект добровольных вычислений по поиску простых чисел Мерсенна.

34

EFF (Electronic Frontier Foundation) – основанная в июле 1990 г. в США некоммерческая правозащитная организация с целью защиты – в связи с появлением новых технологий связи – прав, заложенных в Конституции и Декларации независимости.

35

Она представляет собой заключительную, 19-ю теорему статьи Эйлера (на латинском языке, как тогда было принято), опубликованной в 1744 г. в российском научном журнале «Записки Петербургской академии наук» (Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae). Статья называется «Различные наблюдения о бесконечных рядах» («Variae observationes circa series infinitas»), и всякий желающий может увидеть её оригинал в интернете на сайте http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E072.pdf.

36

Хотя и доказано, что совокупность эта ограничена, неизвестно, каким именно числом она ограничена: до сих пор не найдено ни одного её верхнего ограничителя. Доказательство Бруна представляет собой пример того, что в математике называется доказательством чистого существования. Оно доказывает существование объекта с требуемыми свойствами, но не содержит каких-либо указаний на конкретный объект с подобными свойствами. В данном случае таким объектом является верхний ограничитель.

37

Точнее, доктором философии. Это высшая американская учёная степень, примерно соответствующая принятой у нас степени кандидата наук.

38

Среди прочих наград была премия Коула (Cole prize), учреждённая в память об американском математике Фрэнке Нельсоне Коуле (Frank Nelson Cole, 1861–1926). В 1903 г. Коул сделал памятный доклад на заседании Американского математического общества, предъявив делители числа Мерсенна M67. Тот факт, что число M67, включённое Мерсенном в список простых чисел, не является простым, был известен (это доказал ещё французский математик Люкá в 1876 г.), но делители его оставались неизвестными. Во время доклада Коул подошёл к доске и в полной тишине вычислил значение M67, получив 147 573 952 589 676 412 927. Затем он перешёл на другую сторону доски и написал выражение 193 707 721 · 761 838 257 287. После этого он провёл нужные вычисления вручную и, когда оба результата совпали, вернулся на своё место, так и не произнеся ни слова. Слушатели отметили его выступление аплодисментами стоя. Позднее он сказал, что поиски делителей заняли у него «три года воскресений».

39

Выражение log(n) – одно из общепринятых обозначений натурального логарифма числа n, т. е. логарифма по основанию e, где e – иррациональная константа, равная приблизительно 2,718281828459045. Мнемонический приём для запоминания начала десятичной записи этой важнейшей константы таков: «2,7», затем «дважды Лев Толстой» (1828 – год рождения Толстого), затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника.

40

Соответствующий фрагмент письма Гольдбаха Эйлеру воспроизводится в нашей статье «К истории проблемы Гольдбаха», которая помещена в качестве приложения к настоящей главе. Мы будем придерживаться современного понимания термина «гипотеза Гольдбаха».

41

Соответствующий фрагмент письма Эйлера приведен в приложении к настоящей главе, помещённом после данного очерка.

42

Оно приведено в настоящем сборнике в статье «Простейшие примеры математических доказательств». См. пример 18 в § 6.

43

Оно приведено, в частности, в настоящем сборнике в статье «Простейшие примеры математических доказательств». См. пример 11 в § 5.

44

Примечание для тех, кто интересуется лингвистической семантикой. Считательные числа по своему смыслу близки к порядковым. По форме же выражения в русском языке они все, кроме числа раз, не отличаются от количественных чисел.

45

В школе вместо «конгруэнтны» обычно говорят «равны».

46

Пер. с фр. Н. Мавлевич.

47

Сдержанность в этом вопросе российского ионесковедения объясняется, возможно, тем, что в некоторых русских переводах (например, вошедшем в книгу: Ионеско Э. Носорог: Пьесы и рассказы / Пер. с фр. – М., 1991. – C. 208) приведены иные цифры, нежели во французском оригинале. Мы сверили этот перевод с двумя изданиями, выпущенными в 1954 г. известным парижским издательством «Галлимар» (Gallimard): 1) Ionesco E. Théâtre. V. 1. P. 73 и 2) Ionesco E. La cantatrice chauve, suivi de La leçon. P. 114. Для полной ясности приведём французский текст. Вопрос Учителя звучит так: «‹…› Combien font, par exemple, trois milliards sept cent cinquante-cinq millions neuf cent quatre-vingt-dix-huit mille deux cent cinquante et un, multiplié par cinq milliards cent soixantedeux millions trois cent trois mille cinq cent huit?» На что Ученица сразу же отвечает: «Ça fait dix-neuf quintillions trois cent quatre-vingt-dix quadrillions deux trillions huit cent quarante-quatre milliards deux cent dix-neuf millions cent soixante-quatre mille cinq cent huit. ‹…›

48

Пер. с исп. А. Борисовой.

49

[Феликс] Хаусдорф (Felix Hausdorff, 1868–1942) – выдающийся немецкий математик, заложивший основы современной общей топологии. Покончил жизнь самоубийством в Бонне, узнав о предстоящей отправке его с семьей в гитлеровский концлагерь.

50

Её русское издание, выпущенное в 1937 г. Гостехиздатом тиражом 4000 экземпляров, до определённой степени является новой книгой. Оно было не только отредактировано П. С. Александровым и А. Н. Колмогоровым, но и существенно ими дополнено. В середине XX в.