Введение в теорию риска (динамических систем) - Владимир Живетин

2. Пусть событие А происходит на интервале времени τ большем, чем τ0, за которое в динамической системе завершаются все переходные процессы, и тогда она не может возвратиться в Ωдоп. Таким образом, опасное состояние динамической системы наступает тогда, когда реализуются два события (А, В), где В: (τ > τ0).

Рис. 1.22

3. Появление события А фиксируется подсистемой контроля или оценки в некоторый момент времени t в виде хo = хизм, представляющем собой событие D : (xo < xдоп), где xo – оценка текущего (фактического) значения xф; xдоп – ограничение одностороннее снизу.

4. При появлении события D в процессе принятия решения из-за ошибок, имеющих место в системе контроля, формирующей xo, опасное состояние динамической системы может не аннулироваться, а развиваться, т. е. наступает событие E : (x(t) < xдоп, t > τ).

5. Событие А реализуется на отрезке времени [t0,T], на котором все события приняли безвозвратный характер. Это событие обозначим: С : (x(t) < xдоп, t [t 0, T]).

При этом вероятность Pос перехода динамической системы в опасное состояние записывается так:

Poс = P(A, B, D, E, C) = P(A, B) · P(D, E,C /  A, B),

где P(A, B) – вероятность появления фактора риска, обусловливающего опасное состояние динамической системы; P(D, E, C / A,B) – условная вероятность пребывания динамической системы в критической области.

Представим P(D, E,C / A, B) и соответствующие ему ситуации в виде

P(D, E, C / A, B) = P(D, E / A, B) + P (C / A, B)

в силу независимости (D, E) и (С).

Предполагая, что ошибки принятия решения и ошибки оценки, совершаемые динамической системой, есть независимые события, получим

Poс = P (A, B)[P(D / A, B) + P(E / A, B) + P(C / A, B)].

При этом вероятность P(D / A, B) позволяет оценить наши возможности в области оценок (измерений) и допускаемых ошибок, которые влияют на процесс возникновения опасной ситуации.

Вероятность P(E / A, B) равна вероятности непарирования критических значений контролируемого параметра из-за ошибок управления.

Вероятность P (C / A, B) характеризует численно величину аварийной ситуации (катастрофы).

Таким образом, нижеследующие события характеризуют:

(А, В) – усложнение функционирования динамической системы;

(А, В, D) – опасную ситуацию;

(А, В, D, Е), (А, В, С) – катастрофическую ситуацию.

При этом Pос является интегральной характеристикой риска динамической системы.

Исходной информацией при оценке Pос является область допустимых состояний Ωдоп. Задача построения Pос включает в себя:

– обоснование совокупности параметров х состояния динамической системы, подлежащих контролю и ограничению;

– разработку математического метода количественного расчета фактических значений параметров х с заданной степенью достоверности;

– разработку методов оценки погрешностей измерения параметров х с заданной степенью достоверности;

– разработку математического метода расчета допустимых значений х, т. е. xдоп.

1.4.3. Области состояний динамических систем

Процессу целереализации соответствуют три уровня состояния динамической системы:

– допустимых состояний Ωдоп(х), при которых динамическая система способна достичь поставленную цель, например, когда θ > 0, > 0;

– область критических состояний Ωкр(х), когда динамическая система не способна достичь поставленную цель в силу того, что, например, < 0, но способна возвратиться в Ωдоп;

– область безвозвратных состояний или энергетической смерти, когда θ = 0, включая энергию, получаемую от среды.

Приведем классификацию областей состояния динамической системы.

Уровень 1. Одна координата х динамической системы подлежит ограничению, при этом имеет место одностороннее ограничение по минимуму или по максимуму. Динамическая система находится в квазистационарном режиме.

Уровень 2. Один параметр х динамической системы подлежит двустороннему ограничению: по минимуму и по максимуму. Динамическая система находится в квазистационарном режиме функционирования.

Уровень 3. Многопараметрическое одностороннее ограничение векторного параметра х = (х1, …, хn); многопараметрическое двустороннее ограничение. Динамическая система находится в квазистационарном режиме.

Уровень 4. Нестационарный режим функционирования, когда скорость изменения параметров ≠ 0.

Уровень 5. Хаотический процесс изменения х(t).

Проблема построения области допустимых состояний решалась, решается и будет решаться широко и глубоко в силу ее большой значимости для среды жизнедеятельности. Пока здесь имеет место некоторая незавершенность для физических систем, где приложен талант многих великих ученых.

Часто мы познаем границы Ωдоп так же, как животные: через потери (так, например, флаттер крыла самолета, колебания шимми колеса самолета [31]). Область допустимых состояний Ωдоп имеет границу Sдоп, например, точку xдоп в одномерном случае для стационарного процесса, для случая двустороннего ограничения в виде изолированных точек хндоп, хвдоп – нижнего и верхнего значений соответственно. Область критических состояний имеет границу Sкр, которая отстоит в одномерном случае на некоторую величину запаса Δ от Sдоп.

В общем случае, когда хдоп = хдоп(t), для различных динамических систем на границе Sкр формируются процессы:

– детерминированные;

– квазидетерминированные;

– стохастические;

– квазистохастические.

Можно выделить две крайности для границы Sкр: жесткая и «эластичная». В первом случае нарушение границы Sкр приводит к «смерти» динамической системы, когда невозможен возврат в Ωдоп, во втором случае – к такой потере функциональных возможностей, когда возможен возврат в Ωдоп. Для построения математической модели оценки риска необходимо иметь достоверную информацию как о самих Ωдоп, Sдоп, Ωкр, Sкр, так и об особенностях функционирования динамических систем при их достижении.

Рис. 1.23

Приведем в качестве примера области состояния такой динамической системы, как человек (рис. 1.23). Пусть в точке М1 = М1(х1), и ее окрестности (x1 ± ε) в момент t энергия Е обеспечивает комфортное его состояние. За время жизни фактическое состояние организма, характеризуемое точкой М2 = М(х), перемещается в сторону х0 критической области. Чем дальше от х1, т. е. ближе к х0, при увеличении ρ(M, M1) состояние человека ухудшается, достигая границы Sдоп (х = х0). За границей Sдоп начинается область динамического хаоса, когда Е ≠ 0, но близко к нему. Катастрофа происходит тогда, когда Е = 0, организм полностью отключается при достижении критической точки хкр.