Мир математики. т.30. Музыка сфер. Астрономия и математика - Роза Мария Рос

Автор этих строк собрала коллекцию фотографий солнечных часов, которые, предположительно, были «исправлены». Несколько лет назад мне довелось побывать в недавно восстановленном деревенском доме. В верхней части стены были укреплены прекрасно отреставрированные солнечные часы. Я поздравила хозяина дома и отметила, что часы отреставрированы очень качественно, на что хозяин ответил: «Что вы такое говорите! Эти часы показывают неправильное время. Мы даже приглашали университетского профессора, чтобы он их исправил. Однако он приехал ночью. Как же солнечные часы будут показывать точное время, если профессор исправил их ночью?»

На самом деле часы были в полном порядке, а профессор приехал ночью, чтобы убедиться, что гномон указывает точно на Северный полюс мира, на Полярную звезду. Циферблат часов был размечен верно, а неточность была вызвана поправками на уравнение времени, долготу и летнее время. Я попыталась объяснить это крестьянину, который выслушал меня внимательно, но что он при этом думал, неизвестно. Может быть, что-то вроде: «Эти, которые из университетов, всегда горой стоят друг за дружку».

Как бы то ни было, солнечные часы стали частью нашей культуры. Я хочу, чтобы читатель понял, как они работают, и при желании мог сделать такие часы сам.

Солнечные часы представляют собой плоскость с закрепленным на ней гномоном. В зависимости от расположения плоскости часы делятся на экваториальные, горизонтальные и вертикальные. Можно изготовить и более сложные виды солнечных часов, однако мы не будем рассматривать их в этой книге, ведь наша цель — объяснить базовые астрономические понятия и математические законы, необходимые для создания этого прибора.

Принцип действия солнечных часов основан на видимом движении Солнца, которое мы наблюдаем с Земли. Так как Земля вращается вокруг своей оси с запада на восток, нам кажется, что Солнце каждый день встает на востоке и садится на западе. Так как мы видим, что Солнце движется относительно оси вращения Земли, гномон солнечных часов должен быть направлен вдоль этой оси независимо от того, где мы их установим. Таким образом, важно знать координаты места, где будут установлены наши часы, в частности широту (знать долготу нужно будет только для того, чтобы определять время по солнечным часам, но об этом мы расскажем чуть позже).

Чтобы гномон был направлен вдоль оси вращения Земли, нужно, чтобы он указывал на Полярную звезду, или на Северный полюс мира (если мы находимся в Северном полушарии), либо на Южный полюс мира (если мы находимся в Южном полушарии). В любом случае угол между гномоном и плоскостью горизонта должен равняться широте места, где установлены часы.

Высота полюса мира над горизонтом равна широте точки наблюдений. Следует отметить, что на иллюстрации не соблюден масштаб, так как по сравнению с бесконечно большим радиусом небесной сферы радиус Земли практически равен нулю. Мы изобразили Землю как шар, чтобы продемонстрировать равенство вышеупомянутых углов.

Как показано на рисунке, угловая высота полюса мира над плоскостью горизонта равна широте точки наблюдений, то есть углу между земным экватором и точкой наблюдений, отложенному на меридиане места. Широта определяется углом между плоскостью земного экватора и отвесом или, что аналогично, угловой высотой полюса, или оси вращения Земли, относительно плоскости горизонта. Эти углы равны, так как их стороны соответственно перпендикулярны.

Экваториальные солнечные часы

В зависимости от расположения циферблата существуют различные виды таких часов. Начнем с самого простого случая — солнечных часов, циферблат которых параллелен экватору. В дни осеннего и весеннего равноденствия Солнце движется по небесному экватору, а в другие дни — параллельно ему и в конце концов достигает Северного тропика (с отклонением +23,5°) или Южного тропика (с отклонением —23,5°). Для изготовления простейших солнечных часов достаточно расположить плоскость параллельно плоскости небесного экватора и закрепить на ней гномон, направленный вдоль оси вращения Земли, как показано на следующем рисунке. Таким образом, угол наклона гномона относительно горизонтали будет равен широте места, где установлены часы. Гномон необходимо направить в сторону полюса мира, то есть вдоль линии север — юг. Для этого можно воспользоваться компасом и учесть небольшое отклонение, вызванное тем, что Северный географический полюс и Северный магнитный полюс не совпадают. Впрочем, этой ошибкой можно пренебречь.

Плоскость экватора будет располагаться перпендикулярно оси вращения Земли и, следовательно, перпендикулярно прямой север — юг, лежащей в плоскости горизонта. Линия на циферблате, соединяющая точку пересечения гномона с плоскостью часов и точку пересечения плоскости часов с линией север — юг, на которой расположены часы, будет указывать полдень. Очевидно, что Солнце будет проходить над линией север — юг точно в полдень. Остальные часы размечаются под равными углами 13°, так как Солнце совершает полный оборот в 360° за 24 часа (360/24 = 15°).

Схема циферблата экваториальных часов, на которой 1 часу соответствует угол в 15°. Схему необходимо согнуть вдоль пунктирной линии, так как в течение полугода часы будут указывать время в верхней части плоскости, в течение оставшейся половины года — в нижней части плоскости.

Эти солнечные часы, несомненно, изготовить проще всего, однако они обладают любопытной особенностью: весной и летом они указывают время в верхней части плоскости, осенью и зимой — в нижней части плоскости. Следовательно, циферблат нужно разметить с двух сторон, как показано на рисунке. Это самые простые, но не самые популярные часы: чаще всего циферблат солнечных часов располагается горизонтально или вертикально. Горизонтальные и вертикальные часы можно изготовить на основе экваториальных, построив простую проекцию и применив основные тригонометрические функции.

Три разновидности солнечных часов: экваториальные, горизонтальные и вертикальные. На иллюстрации изображены солнечные часы для Северного полушария. Чтобы использовать эти часы в Южном полушарии, нужно поменять стороны света местами.

Вверху — вертикальные солнечные часы, внизу — горизонтальные солнечные часы, изготовленные из бронзы.

Горизонтальные солнечные часы

Плоскость этих часов расположена строго горизонтально. Гномон образует с линией север — юг угол, равный широте точки, в которой установлены часы, и направлен в сторону полюса мира. Прямая север — юг будет указывать 12 часов. Расположение остальных линий на циферблате определяется по следующему выражению

где α — угол между линией, указывающей 12 часов, и искомой часовой линией,

Н = 15°, 30°, 43°…, соответственно, согласно следующей иллюстрации.

Спроецировав часовые линии экваториальных солнечных часов на горизонтальную плоскость, получим линии циферблата новых часов. Нужно всего лишь учесть, что tg α = СА/АО, tg H = СА/АВ, sin ф = АВ/АО, откуда следует, что tg α = tg H sin ф. При Н = 15° а будет углом, под которым расположена часовая линия, указывающая 11 и 13 часов. При Н = 30° угол а укажет расположение часовой линии 10 и 14 часов и так далее до линии 6 и 18 часов.

Вертикальные солнечные часы

Чаще всего используются солнечные часы, укрепленные на стенах домов, то есть вертикальные. Если стена направлена вдоль линии запад — восток, изготовить такие часы не сложнее, чем горизонтальные, нужно всего лишь учесть, что угол наклона гномона относительно стены будет равен дополнительному углу к широте места. Часовые линии также определяются как проекции часовых линий экваториальных солнечных часов на вертикальную плоскость, направленную вдоль линии запад — восток», и по выражениям

где β — угол между линией, указывающей 12 часов, и искомой часовой линией,

Н = 15°, 30°, 45°…, соответственно, согласно следующей иллюстрации:

Спроецировав часовые линии экваториальных солнечных часов на вертикальную плоскость, направленную вдоль линии запад — восток, получим линии циферблата новых часов. Нужно всего лишь учесть, что tg β = СА/АО, tg H = СА/АВ, sin (90° — ф) = АВ/АО, откуда следует, что tg β = tg Н соs ф. При Н = 15° β будет углом, под которым расположена часовая линия, указывающая 11 и 13 часов. При Н = 30° угол β укажет расположение часовой линии 10 и 14 часов и так далее до линии 6 и 18 часов.