Магия математики: Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин

Для этого нам нужны хотя бы две точки. Что же делать? Придется взять еще одну линию – такую, которая пересекает кривую функции как минимум дважды (так называемую секущую). Приняв x = 1,5, мы получаем y = (1,5)² + 1 = 3,25. Согласно уже рассмотренной нами формуле, наклон секущей составляет

Для более точного результата переместим вторую точку как можно ближе к (1, 2). Скажем, если x = 1,1, то y = (1,1)² + 1 = 2,21, а наклон секущей – m = (2,21 – 2)/(1,1 – 1) = 2,1. Посмотрите на таблицу: при постепенном приближении второй точки к (1, 2), наклон секущей будет столь же постепенно приближаться к 2.

Посмотрим, что происходит, когда x = 1 + h (при h ≠ 0), но лишь чуть-чуть отличается от x = 1. Тогда y = (1 + h)² + 1 = 2 + 2h + h², а наклон секущей составит

То есть при приближении h к 0 наклон графика функции будет приближаться к 2. В записи это выглядит так:

Подобным представлением мы хотим сказать, что предел 2 + h при значении h, стремящемся к 0, равен 2. Так мы и узнаем наклон касательной к кривой y = x² + 1 в точке (1, 2) – 2.

А вот как все это выглядит в обобщенном виде. Нам нужно найти наклон касательной к кривой y = f(x) в точке (x, f(x)). Как видно на графике, наклон секущей, проходящей через точку (x, f(x)) и соседнюю с ней (x + h, f(x + h)), составляет

Представим наклон касательной, проходящей через точку (x, f(x)), как f′(x):

Выглядит не очень-то понятно, поэтому давайте возьмем парочку более конкретных примеров. Для прямой линии y = mx +b, а f(x) = mx + b. Чтобы найти f(x + h), нужно заменить x на x + h – это позволит нам подсчитать f(x + h) = m(x + h) + b. Следовательно, наклон секущей равен

Наклон касательной будет равен m при любом значении x, поэтому f′(x) = m. Объясняется это тем, что линия y = mx + b всегда имеет наклон m.

Обратимся к производной функции y = x². Согласно только что сформулированному определению,

а так как h стремится к 0, f′(x) должно быть равно 2x.

При f(x) = x³ получаем

а так как h стремится к 0, f′(x) должно быть равно 3x².

Поиск производной функции f′(x) на основании функции y = f(x) называется дифференцированием. Впрочем, все не так сложно, как кажется: потренировавшись как следует и найдя производные нескольких простых функций, мы легко сможем определить их и для сложных функций. И, что самое приятное, никаких пределов! А вот и подходящая теорема.

Теорема: Если u(x) = f(x) + g(x), то u′(x) = f′(x) + g′(x). Другими словами, производная суммы есть сумма производных. Также если с –  действительное число, производная cf(x) равна cf′(x).

Как следствие, мы можем утверждать, что, поскольку y = x³ имеет производную 3x², а y = x² – производную 2x, производная y = x³ + x² будет равна 3x² + 2x (например, производная функции y = 10x³ – 30x²).

Доказательство: Предположим, что u(x) = f(x) + g(x). Тогда

Положив h → 0 в качестве предела для обеих частей этого уравнения, получим

Обратите внимание, что, применяя этот предел справа, мы исходим из предположения, что предел суммы равен сумме пределов. Доказывать это мы, пожалуй, не станем – просто доверимся здравому смыслу, говорящему, что при приближении значений a и b к A и B значение a + b будет приближаться к A + B. Та же логика подсказывает нам, что предел произведения равен произведению пределов, а предел частного равен частному пределов. Но то, что справедливо для пределов, необязательно будет справедливо для производных. Например, производная произведения не равна произведению производных.

Что же касается второго утверждения нашей теоремы, то при v(x) = cf(x)

что и требовалось доказать.◻

Чтобы продифференцировать функцию f(x) = x4, сначала распишем ее в следующем виде: f(x + h) = (x + h)4 = x4 + 4x³h + 6x²h² + 4xh³ + h4. Коэффициенты выглядят знакомо, правда? 1, 4, 6, 4, 1… Это же числа из 4 ряда треугольника Паскаля (см. главу 4)! Следовательно,

а так как h → 0, получается, что f′(x) = 4x³. Видите закономерность? Производные x, x², x³ и x4 равны 1, 2x, 3x² и 4x³ соответственно. Применение того же алгоритма к бо́льшим степеням приводит нас к одному важному правилу. (Кстати, другое популярное обозначение производной – y′. Так и будем писать.)

Теорема (правило дифференцирования степенной функции): При n ≥ 0

Например,

а

С помощью этого закона можно дифференцировать даже функции-константы, вроде y = 1, потому что 1 = x0, а y = x0 имеет производную 0x–1 = 0 при любом значении x. Это объясняется тем, что линия y = 1 является горизонтальной. Исходя из правила дифференцирования степенной функции и предыдущей теоремы, мы сможем дифференцировать любой многочлен. Например, если

то

Правило дифференцирования степенной функции верно и при отрицательных значениях n. Например, если

Аналогичным образом, если

Жаль только, что доказать это нам пока что не по силам.

Перед тем как дифференцировать более сложные функции, применим уже полученные знания в не менее интересных и полезных целях. Например, в целях оптимизации.

Максимум против минимума

Дифференциация нужна для того, чтобы выяснять, где функция достигает своего максимума, а где – минимума. При каком, например, значении x парабола y = x² – 8x + 10 достигает своей низшей точки?