Магия математики: Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин

Обобщим и это: цепное правило говорит нам, что при y = (g(x))n y' = n(g(x))n–1g'(x). А что насчет y = (x3)5?

что полностью соответствует правилу дифференцирования произведения функций.

Продифференцируем y = √(x2 + 1) = (x² +1)½.

Со степенными функциями дело обстоит ничуть не сложнее. Так как ex является собственной производной, то при y = eg(x) имеем

Например, производная y = ex³ – y' = (3x²)ex³.

Обратите внимание, что функция y = ekx имеет производную y' = kekx = ky. Это одна из причин, почему показательные (экспоненциальные) функции так важны – они появляются, когда скорость роста функции пропорциональна величине ее значения. По этой причине показательные функции часто связаны с процессами в финансовой сфере и в биологии.

Натуральный логарифм ln x обладает одним интересным свойством:

при любом значении x, большем 0. Чтобы найти его, логарифма, производную, воспользуемся цепным правилом. Допустив, что u(x) = ln x, получим eu(x) = x. Продифференцировав обе части этого уравнения, получаем u'(x)eu(x) = 1. Но поскольку eu(x) = x, u'(x) = 1/x. Другими словами, если y = ln x, тогда y' = 1/x. Вновь применив цепное правило, получаем: если y = ln (g(x)), то

Давайте соберем все найденное с помощью цепного правила в таблицу:

Хотите применить все это на практике? Вот вам задачка, практичней некуда. Корова Клара пасется в километре на север от реки (оси x), в 3 километрах на запад и в километре на юг от коровника. Наевшись и нагулявшись, она решила попить водички и пойти домой. Естественно, ей хочется сделать это все как можно быстрее. Где именно ей нужно спуститься к реке, чтобы максимально сократить путь?

Предположим, что корова решила двинуться с луга (то есть из стартовой точки (0, 1)) к месту водопоя (то есть к точке (x, 0)) напрямик. Согласно теореме Пифагора (или формуле расстояния), длина ее маршрута до реки составит √(x² + 1), а до амбара, находящегося в точке B = (3, 2), – √((3 – x)² + 4) = √(x² – 6x + 13). Значит, задача сводится к нахождению такого значения x в диапазоне от 0 до 3, при котором достигается минимальное значение функции

Продифференцировав это уравнение (с помощью цепного правила) и приравняв его к 0, получим

Проверить это можно, взяв x = 1, тогда левая часть уравнения превращается в 1/√2 – 2/√8, что и в самом деле равно 0 (а можно добавить x/√(x² + 1) справа, возвести обе части в квадрат и умножить члены крест-накрест – после нескольких сокращений вы придете к x = 1).

Неплохим вариантом будет метод отражения, уже знакомый нам по главе 7. Представьте, что вместо коровника (точка B = (3, 2)) корова пошла к его отражению (точка B' = (3,–2)), как показано на следующем рисунке.

Расстояние до B' абсолютно такое же, как и до B. Любой отрезок, соединяющий точку, расположенную на севере от реки, с ее «отражением», расположенным к югу от реки, неизбежно пересечет ось x. Кратчайшим маршрутом в этом случае будет прямая линия от (0, 1) до (3, –2) (с наклоном –3/3 = –1), пересекающая ось x при x = 1. И никаких квадратных корней!

Фокус-покус: ряд Тейлора

Доказывая в конце прошлой главы уравнение Эйлера, мы воспользовались тремя загадочными формулами:

Перед тем как разбираться, как мы пришли к этому, давайте немного поиграем. Интересно, что получится, если взять отдельно каждый член ряда ex и продифференцировать? Правило дифференцирования степенной функции говорит нам, что производной функции x4/4! будет (4x3)/4! = x3/3! то есть предшествующий член ряда! Другими словами, продифференцировав ряд ex, мы вновь получим ряд ex, что полностью соответствует тому, что мы знаем о показательной функции ex!

Последовательно дифференцируя x – x3/3! + x5/5! – x7/7! +…, получаем 1 – x2/2! + x4/4! – x6/6! +…, что соотносится с тем, что производная синуса – это косинус. Справедливо и обратное: производная косинуса – это синус со знаком минус. А еще этот ряд лишний раз доказывает, что cos 0 = 1, и поскольку каждая степень в нем выражена четным числом, значение cos (–x) будет равно cos x. Впрочем, нам это уже известно (например, (–x)4/4! = x4/4!). Следуя той же логике, мы можем прийти к sin 0 = 0, а поскольку каждая степень выражена нечетным числом, sin (–x) = –sin x, как мы и предполагали.

Теперь давайте попытаемся понять, откуда, собственно говоря, берутся эти формулы. Мы знаем, как найти производные наиболее популярных функций. Но бывают такие ситуации, когда одну и ту же функцию нужно продифференцировать несколько раз, разыскав ее вторую (f''(x)), третью (f'''(x)) и т. д. производную. f''(x) выражает крутизну наклона функции (то есть ее вогнутость) в точке (x, f(x)), f'''(x) делает то же для второй производной и т. д.

Для этого имеются специальные формулы. Они называются рядами Тейлора, потому что первым, кто ввел их в оборот, был английский математик Брук Тейлор (1685–1731). Для функции f(x) с производными f'(x), f''(x), f'''(x) и т. д. мы имеем

при любом значении x, «достаточно близком» к 0. Что значит «достаточно близком»? В некоторых функциях – например, ex, sin x или cos x – x может быть практически любой величиной. Но есть и такие функции (мы встретимся с ними чуть позже), которые имеют смысл только при очень маленьких значениях x.

Проследим, как меняется формула для f(x) = ex. Так как ex равна своей собственной первой (равно как и второй, и третьей и т. д.) производной, следовательно

то есть ряд Тейлора для ex превращается в 1 + x + x2/2! + x3/3! + x4/4! +…, как и предполагалось. При небольшом значении x нам достаточно посчитать лишь несколько членов ряда, чтобы получить точную аппроксимацию верного ответа.

Посчитаем с его помощью проценты. Как мы выяснили в прошлой главе, если положить на счет $1000 под 5 %, то, при условии непрерывных начислений, к концу года мы будем иметь $1000 e0,05 = $1051,27. И мы знаем, как это подсчитать. Но к тому же ответу можно прийти и с помощью формул сначала второго –

а потом и третьего порядка аппроксимации: $1051,27.

Аппроксимации Тейлора могут быть представлены в виде графика, на котором вместе с первыми тремя многочленами Тейлора изображена показательная (экспоненциальная) функция y = ex.

Постепенно увеличивая степень многочлена, мы достигаем все большей точности аппроксимации, особенно если x близок к 0. Но что же такого особенного в многочленах Тейлора, что делает их настолько эффективными? Аппроксимация первого порядка (называемая линейной) утверждает, что при x, близком к 0,